Оглавление

Введение        3

1. Математическое моделирование эпидемического процесса        5

1.1. Обзор литературных источников        5

1.2. SIR-модель Кермака-Маккендрика        5

2. Численный эксперимент        8

2.1. Реализация математической модели        8

2.2. Анализ результатов численного эксперимента        8

Заключение        9

Список литературы        10

Приложение 1        I

Приложение 2        II

Приложение 3        III

Введение

В конце 2019 года весь мир узнал о новом респираторном вирусе COVID-19, который все мы знаем под названием коронавирус. Эпидемия коронавируса в 2020 году достигла высшей степени развития и приобрела форму пандемии, угрожающей значительной части населения всех стран.

С 2020 года по настоящее время из каждой новостной передачи, на всех стартовых страницах интернет-браузеров мы узнаем сведения о заболеваемости короновирусом в масштабах планеты, страны, региона, города. Ежедневному мониторингу (наблюдению) подлежит информация о подтвержденных случаях инфицирования, госпитализации, выздоровления и смерти.Эта информация представляется в виде таблиц, диаграмм и графиков.

И, конечно же, кроме уже достигнутых показателей заболеваемости нам демонстрируютсяих ожидаемые, прогнозные, значения, полученные путем математического моделирования на основе имеющейся статистики заболеваемости.

Все мы помним, как нам предсказывалась дата выхода на «плато» заболеваемости, когда количество новых случаев заболеваемости сегодня не превышает количества новых случаев вчера. Затем эпидемиологи предупреждали нас о развитии второй, третьей и четвертой волн заболевания. Эти прогнозы также основываютсяна результатах математического моделирования эпидемического процесса.

Тогда я и заинтересовалась методами математического моделирования эпидемий и задалась целью смоделировать эпидемический процесс на примере Лицея №1 города Братска, если бы на его базе было принято решение создать обсерватор – учреждение для изоляции и наблюдения за гражданами, имевшими контакт с зараженными.

Цель работы: моделирование эпидемического процесса в Microsoft Excel.

Исходя из цели, сформулированы основные задачи:

1. Изучение литературных источников по существующим математическим моделям эпидемических процессов;

2. Описание, анализ и реализация принятой математической модели развития эпидемиив Microsoft Excel;

3. Численное моделирование развития эпидемии с различными исходными данными (далее – численный эксперимент);

4. Графическое представление и анализ результатов численного эксперимента;

5. Формулировка выводов по результатам численного эксперимента.

Продукт проектной деятельности – файл «Эпидемия на бумаге.xlsx», реализующая принятую математическую модель.

Практическая значимость работы заключается в приобретении навыков компьютерного программирования, применения информационных технологий в поиске и обработке информации, графического представления результатов проектной деятельности.

Актуальность работы вытекает из пользы продукта - «Эпидемия на бумаге.xlsx», позволяющего минимизировать время вычислений и обработки информации в ходе математического эксперимента.

Календарный график

1. Математическое моделирование эпидемического процесса

1.1. Обзор литературных источников

Практику математического моделирования распространения заболеваниявпервые в 1760 г.применил врач по образованию Даниэль Бернулли[1, 4],в 1840 г.её продолжил Уильям Фарр [2], а в 1906 г. Джон Браунли, Уильям Хаммер и Рональд Росс (см. Приложение 1).

Труды перечисленных ученыхпослужили теоретической основой для дальнейших исследований в области математического моделирования, в частности SIR-модели («Susceptible – Infected - Recovered»)Кермака и Маккендрика в 1927 г.[3, 4].

SIR-модель стала наиболее популярной и широко используется и в наши дни.Модель описывает три группы индивидов - восприимчивые к заболеванию (Susceptible),инфицированные (Infected) и переболевшие либо удалённые (умершие) (Recovered). Передача инфекции осуществляется от инфицированных индивидов к восприимчивым. Переболевшие индивиды приобретают иммунитет или умирают,поэтому не могут быть заражены вторично. Математически такие модели задаются системами дифференциальных (непрерывное время) или разностных (дискретное время) уравнений. Эти уравнения описывают закон изменения численностей групп индивидов с течением времени.

Существуют многочисленные типы моделей, производные от SIR, учитывающие приобретение переболевшими иммунитета, инкубационный период заболевания, естественную прибыль и убыль населения и пр. [5].

Наиболее известный в России метод моделирования эпидемий на основе балансов групп индивидуумов, проходящих основные стадии-состояния инфекционного процесса типа SEIR, где: S - восприимчивые, E - в инкубации, I - инфекционные больные, R – переболевшие, описан в 60-е годы XX столетия академиком О.В. Барояном и профессором Л.А. Рвачевым [2].

На основе модели Барояна - Рвачева в 1960-1970-е годы Национальный исследовательский центр эпидемиологии имикробиологии имени академика Николая Федоровича Гамалеи(«НИЦЭМ им. Н. Ф. Гамалеи»)разработал уникальные модели эпидемий гриппа.

Что примечательно, именно «НИЦЭМ им. Н. Ф. Гамалеи» первым разработал и зарегистрировал 11 августа 2020 г. вакцину Гам-Ковид-Вак (Спутник V) от коронавирусной инфекции COVID-19.

1.2. SIR-модель Кермака-Маккендрика

Математическая модель - это представление объекта, явленияили процесса посредством математических уравнений, повторяющее одни свойства, существенные для целей конкретного моделирования, и опускающее другие, несущественные свойства, в которых модель может отличаться от прототипа.

Эпидемический процесс - это прогрессирующее распространение инфекционного заболевания среди людей, значительно превышающее обычно регистрируемый на данной территории уровень заболеваемости, способное стать причиной чрезвычайной ситуации.

Эпидемический процесс на практике выглядит следующим образом. Происходит контакт инфицированного (зараженного) индивида (I) с незараженным, восприимчивым (S). Восприимчивый после такого контакта может стать инфицированным. Если иммунная система инфицированного не справляется с инфекцией, он становится заразным. Не всегда у заразного индивида проявляются клинические признаки заболевания (температура, насморк, кашель и пр.), поэтому заразный при наличии клинических проявлений заболевания становится больным, а при их отсутствии носителем. Спустя какое-то время инфицированные и заразные становятся переболевшими(R). К переболевшим относят выздоровевших и умерших индивидов[1, 4,6]. Такую систему:

«»

моделировать сложно, поскольку очень сложно получить статистические данные о бессимптомных носителях (выявить бессимптомных носителей можно только в лабораторных условиях), поэтому ее упрощают. Считают, что все восприимчивые при контакте с инфицированным становятся инфицированными. С биологической точки зрения это не правдоподобно, но почти не сказывается на качестве математической модели. Таким образом, из всех многообразий стадий эпидемического процесса в математическую модель, которую я приняла к реализации,включается три:

«.

Если рассматривать эту систему с точки зрения математики, то на каждом этапе эпидемии количество восприимчивых уменьшатся на количество инфицированных. Количество инфицированных увеличивается на количество вновь инфицированных и уменьшается на количество переболевших. Количество переболевших увеличивается на количество выздоровевших и умерших.

Именно эту модель почти сто лет назад описали Кермак и Маккендрик. В зарубежной литературе она называется «SIR»[3. 4].

Для математического описания эпидемического процесса к трем уже описанным параметрам - количеству восприимчивых S, инфицированных I и переболевших R необходимо добавить еще три:

 – общая численность популяции;

интенсивность заражения, количество заражаемых индивидов одним инфицированным за единицу времени, как правило, за сутки. Один инфицированный индивид встретит и заразит в конкретный момент времени конкретного восприимчивого с вероятностью, всего он заразит восприимчивых индивидов, а все инфицированные вместе заразят восприимчивых .

интенсивность выздоравливания, доля от числа инфицированных, которые становятся переболевшими за единицу времени, за сутки. Интенсивность выздоровления рассматривают как число обратное продолжительности болезни. Например, если болезнь длится 10 дней, то инфицированный индивид в конкретный день выздоровеет с вероятностью .Количество выздоравливающих на каждом шаге эпидемического процесса будет равно.

Таким образом, на каждом шаге эпидемического процесса баланс групп индивидов в популяции будет меняться по законам[7]:

Еще одним важным показателем математической модели эпидемии является число репродукции[3, 7, 8]:

 показывает сколько индивидов заражает один инфицированный за период собственной заразности. При  распространение инфекции угасает само по себе, при  инфекция долго циркулирует в популяции не приводя к эпидемии, при  происходит развитие эпидемии.

Число репродукции зависит от длительности заразного периода, количества контактов и вероятности передачи. На число репродукции оказывает влияние скорость выявления инфицированных, изоляция и лечение больных, режимно-ограничительные мероприятия (карантин), ношение средств индивидуальной защиты, гигиена и дезинфицирующие средства.

2. Численный эксперимент

2.1. Реализация математической модели

Для решения системы разностных уравнений математической модели SIR, описанной в подразделе 1.2, я выбрала Microsoft Excel - программу, предназначенную для организации данных в таблице и графического представления информации.

Для проведения численного эксперимента были приняты следующие исходные данные:

1) человек (такое количество индивидов вмещает здание Лицея №1) - общая численность замкнутой популяции индивидов, которые постоянно находятсяв одном месте и не выходят на улицу, не контактируют с индивидами не из числа N.;

2) индивидстановится заразным сразу после вторжения вируса в его организм;

3)  дней - период заразности, принят равным продолжительности болезни (5 дней – развитие симптомов, 10 дней – прохождение курса лечения);

4)- число репродукции, переменная[8];

5) - интенсивность выздоравливания;

6) интенсивность заражения,.

7) эпидемия считается законченной, когда на протяжении трех суток не появляются новые инфицированные.

Решение системы уравнений на каждом шаге эпидемического процесса n, измеряемого в сутках, сведено в таблицу (см. Приложение 2), содержимое ячеек таблицы является данными для построения диаграмм (см. Приложение 3).

2.2. Анализ результатов численного эксперимента

Анализ результатов численного эксперимента показал, что развитие эпидемии главным образом зависит от репродуктивности (скорости распространения) вируса.

Чем больше репродуктивность вируса, тем быстрее происходит заражение максимального числа индивидов в популяции и тем выше этот максимум (см. Приложение 3), но тем быстрее эпидемия заканчивается.

Чем меньше репродуктивность вируса, тем медленнее достигается максимальное число инфицированных и тем меньше этот максимум, при этом эпидемия длится дольше.

Кривая количества инфицированных имеет форму «колокола», кривой нормального распределения, что подтверждает адекватность реализованной мной математической модели, соответствие результатов численного моделирования научно доказанному (см. Приложение 1) характеру развития эпидемии.

Заключение

В ходе работы проведен численный эксперимент с применением файла «Эпидемия на бумаге.xlsx» Microsoft Excel. Выполнен анализ полученных данных, представленных графически. Задачи, поставленные для достижения цели, решены.

Численный экспериментпоказывает, если искусственно не влиять на скорость распространения вируса (число репродукции ) такими мерами, как вакцинация, применение средств индивидуальной защиты, изоляция и самоизоляция инфицированных, запрет массовых общественных мероприятий и пр., эпидемия закончится быстрее, однако при таком сценарии единовременно будет инфицировано максимальное количество индивидов, нагрузка на органы здравоохранения превысит их возможности по оказанию помощи всем нуждающимся, что приведет к росту смертности.

Карантинные меры позволяют снизить скорость распространения вируса, а, следовательно, уменьшить количество единовременно инфицированных, снизить нагрузку на здравоохранение, сократить смертность, при этом вирус циркулирует в обществе дольше, а сами карантинные меры вызывают недовольство индивидов, не готовых мириться с ограничениями и запретами.

Таким образом, математическое моделирование позволяет создавать различные сценарии эпидемического процесса с оценкой возможного диапазона человеческих жертв и экономического ущерба и ресурсов, необходимых для ликвидации последствий эпидемии.

Список литературы

1. Андерсон Р., Мэй Р. Инфекционные болезни человека. Динамика и контроль. М.: Мир, 2004. 784 с.

2. Бароян О.В., Рвачев Л.А. Математика и эпидемиология.– М., «Знание»,1977.– С. 63.

3. Бейли Н. Математика в биологии и медицине.– М., «МИР», 1970.– С. 326.

4. Леоненко В.Н. Математическая эпидемиология. Учебно-методическое пособие по выполнению лабораторных работ. Учебно-методическое пособие. – СПб: Университет ИТМО, 2018. – 38 с.

5. Бузин Павел.Зараза, гостья наша. Как математика помогает бороться с эпидемиями// N+1 [Электронный ресурс].https://nplus1.ru/material/2019/12/26/epidemic-math(дата обращения 12.10.2021 г.).

6. Математическое моделирование процесса пандемии: теория и практика // Институт развития стратегических инициатив [Электронный ресурс]. https://u.to/WU1mGw (дата обращения 12.10.2021 г.).

7. Подзолков Павел. Конструирование эпидемиологических моделей // Хабр [Электронный ресурс]. https://habr.com/ru/post/551682/ (дата обращения 12.10.2021 г.).

8. Коронавирус COVID-19 // Zdrav.ExpertМедтех-портал[Электронный ресурс]. https://u.to/ik1mGw(дата обращения 12.10.2021 г.).

Приложение 1

Историческая справка

Приложение 2

Интерфейс «Эпидемия на бумаге.xlsx»

Приложение 3

Результаты численного эксперимента

Длительной эпидемии 145 дней, максимальное количество заболевших на 40-ые сутки эпидемии 209 человек

Рис. П.2.1 – Диаграмма эпидемического процесса при

Длительной эпидемии 119суток, максимальное количество заболевших на 20-ые сутки эпидемии 325 человек

Рис. П.2.2 – Диаграмма эпидемического процесса при

Длительной эпидемии 114суток, максимальное количество заболевших на 14-ые сутки эпидемии 380 человек

Рис. П.2.3 – Диаграмма эпидемического процесса при

Длительной эпидемии 244суток, максимальное количество заболевших на 89-97 сутки эпидемии (плато)78 человек

Рис. П.2.4 – Диаграмма эпидемического процесса при