Проектная работа "Квадратные уравнения и нестандартные способы их решения"

Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем решение многих практических задач сводится к решению квадратных уравнений. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они представляют собой большой и важный класс уравнений, которые решаются как с помощью формул, так и с помощью нестандартных способов. Мне пришла идея рассмотреть те способы решения квадратных уравнений, на которые недостаточно времени уделено на уроках или совсем не рассматриваются в школьном курсе. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить эффективность и качество изучения решений квадратных уравнений.

Актуальность данной темы заключается в этом, что на различных уроках мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. В последние годы выпускные и вступительные экзамены проводятся в форме тестирования, поэтому каждый ученик должен уметь верно, и рационально решать квадратные уравнения, а для этого надо знать и уметь применять эффективные способы решения. Ведь ЕГЭ выявляет не только знания, которые дают на уроке, но и умение ориентироваться в предложенной схеме, уровень тестовой культуры, а также психологическую готовность демонстрировать свои знания и умения в непривычной обстановке.

Проблема: сложность в анализе и подборе рациональных способов решения различных квадратных уравнений.

Цель проекта: систематизировать знания и разработать методическое пособие ввиде буклета для решении квадратных уравнений нестандартными способами.

Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи:

Теоретические:

найти источники информации и узнать историю происхождения квадратных уравнений;
систематизировать способы решения квадратных уравнений;

Практические:

проанализировать задания 8-10 классов изучающих квадратные уравнения;
создать буклет.

Объект исследования – квадратные уравнения.

Предмет исследования –способы решения квадратных уравнений

Методы работы над проектом:

Теоретические:

выдвижение проблемы; формулирование выводов и др.
разработка плана действий, определенных сроков, выбор формы предоставления результатов;
Поиск информации, ее анализ и систематизация, выбор главной темы.

Практические:

поиск, отбор и изучение необходимой информации (книги, журналы, газетный и литературный материал, интернет-ресурсов);
создание буклета (дизайн, экономическое обоснование, содержание и пр.);
оформление результатов, подготовка материалов для защиты;
защита проекта;
анализ достигнутых результатов.

Для того чтобы создать буклет я разработал план действий, состоящий из четырех этапов, а именно:

I этап – вводный (погружение в проект) – сентябрь–октябрь 2021 г.

II этап – поисково-исследовательский (практический) – ноябрь – декабрь 2021 г.

III этап – аналитико-оформительский – январь – февраль 2022 г.

IV этап – заключительный – март – апрель 2022 г.

Для выполнения поставленной цели я использовал научно-историческую литературу, математические энциклопедии, которые мне удалось найти с помощью своего учителя, а также интернет - ресурсы. Значимость работы и ее прикладная ценность заключаются в том, что на уроках математики говорят об общих способах решения квадратных уравнений, но про нетрадиционные ничего не говорят, а также с помощью этой работы не только я один узнаю много нового и познавательного о квадратных уравнениях, но, и смогу рассказать все это своим одноклассникам, а также ученикам 8-9 классов.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами. Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.

I. Вводный этап

Задачи:

постановка проблемы;
выбор темы проекта;
определение цели;
выдвижение задач.

Содержание и методы деятельности:

работа с биологическими и экономическими источниками;
изучение Интернет-ресурсов;
конструирование предполагаемого результата.

Итак, на первом этапе я выбрал тему своей работы: «Квадратные уравнения и способы их решения». Обозначил цели работы, задачи, подобрал необходимую литературу. В ходе изучения исторических, литературных, научных источников я узнал, что тема про квадратные уравнения очень интересная. Именно поэтому меня заинтересовало знакомство с ними. Таким образом, создание буклета о квадратных уравнениях и о способах их решения, стало главной целью моей проектной работы.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями. Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.

Общее правило решения квадратных уравнений, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал). Франсуа Виет родился в 1540 году в небольшом городке Фонтене-ле-Конт. Примерно в 1571 году он написал большую часть «Математического канона» — капитального труда по тригонометрии (опубликован в 1579 году). Он предложил обозначать неизвестные гласными буквами, а коэффициенты при них — согласными буквами (См. Приложение 1). В 1593 году голландский математик Адриан ван Роумен бросил вызов математикам мира. Он разослал во многие страны «страшное» уравнение (См. Приложение 2). Франсуа Виет тут же, в присутствии короля, министров и гостей, нашёл один корень уравнения. На следующий день Виет нашёл ещё 22 корня уравнения. Остальные 22 корня были отрицательными, а таких корней Виет не признавал. Виет решил это уравнение первым из получивших. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г.

Способы решения квадратных уравнений

Свойства коэффициентов (a,b,c)

Первое свойство:

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x1 = 1, x2 = (См. приложение 3)

Второе свойство:

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то x1 = -1, x2 = - (См. Приложение 4)

Метод выделения полного квадрата

Метод выделения полного квадрата основан на использовании формул:

Выделение полного квадрата — это такое тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде -суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения. (См. Приложение 5)

«Переброс» главного коэффициента

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». x12 + bx + аc = 0 Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения. (См. Приложение 6)

Графический способ решения

Если в уравнении аx2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax2 = –bx–c.

Построим графики зависимостей у = aх2 и у = –bx–c в одной системе координат.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней. (См. Приложение 7)

Решение методом разложения левой части на множители способом группировки

Дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Его необходимо привести к виду А(х) · В(х) = 0, где А(х)и В(х)– многочлены относительно х.

Так как произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при: А(х)=0 или В(х)=0. (См. Приложение 8)

Решение с помощью циркуля и линейки

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки.

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = = .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + ), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + ), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.

Два решения и

Одно решение

Нет решений. (См. Приложение 9)

Название способа решения квадратных уравнений	Плюсы	Минусы
Метод выделения полного квадрата	За минимальное количество действий можно найти корни уравнений	Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата
Свойства коэффициентов квадратного уравнения	Не требует особых усилий	Подходит только к некоторым уравнениям
Решение уравнений способом переброски	За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.	легко найти только целые корни.
Графическое решение квадратного уравнения	Наглядный способ	Могут быть не точности при составлении графиков
Разложение левой части уравнения на множители	Дает возможность очень быстро найти корни уравнения.	Нужно правильно вычислить слагаемых для группировки.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки	Наглядный способ	Могут быть не точности

Выводы по результатам этапа:

четко обозначена выбранная проблема;
выбрана тема проекта;
четко сформулированы цели и задачи проекта;
обозначены методы работы над проектом;
подобрана необходимая литература.

II. Поисково-исследовательский этап

Задачи:

определение источников информации, способов ее обработки и анализа;
выбор способа представления конечного результата.

Для достижения поставленной цели мы составили смету расходов.

Содержание и методы деятельности:

сбор и анализ информации из разных источников;
самостоятельная работа с материалами по теме проекта.

Экономическое обоснование

№	Статья расходов	Количество	Средства из других источников	Общие расходы
1	Приобретение бумаги	1 пачка		520 рублей
2	Папка с файлами	1 шт.		250 рублей
Итого:				770 рублей

Благодаря моему учителю Ан А.С., я смог найти достаточно материала (книг, журналов и пр.). Также учитель мне подсказал, где найти информацию, полезную для работы. Именно поэтому, я в полной мере смогу сделать буклет по квадратным уравнениям в помощь для подготовки к экзаменам и олимпиадам.

В ходе поисково-исследовательского этапа, я нашел информацию о квадратных уравнениях, изучил и прочитал несколько книг и интернет-статей о решении квадратных уравнений. Я изучил способы решения уравнений, которые встречаются в материалах ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадах.

Выводы:

были найдены источники информации о квадратных уравнениях;
изучены литературные источники;
найдены и решены уравнения;
составлено экономическое обоснование проекта.

III. Аналитико-оформительский этап

Задачи:

обработка информации;
анализ и синтез полученных результатов, формулирование выводов;
работа над буклетом, его издание.

Содержание и методы деятельности:

Обработка информации:

из собранной информации мной был подготовлен текст, для защиты;
из различных печатных изданий, журналов, интернет-ресурс были подобраны необходимые фотографии для защиты проекта;
Изучены требования по созданию буклета.

Работа над буклетом:

корректировка текста;
подгон размеров фотографий;
создание черновика на листах бумаги вручную, затем перенос в электронный вариант.

Выводы по результатам работы III этапа:

оформление продукта-буклета;
доработка проекта с учетом рекомендаций;
подготовка к защите.

IV. Заключительный этап

Задачи:

открытый отчет о проделанной работе;
анализ и обобщение работы в целом;
анализ достижение поставленной цели;
распространение буклета для подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам.

Содержание и методы деятельности:

оформление информации об итогах осуществления проекта «Квадратные уравнения и нетрадиционные способы их решения».

Результаты работы:

в настоящее время у меня готов буклет о квадратных уравнениях;
данная работа была представлена ученикам 8-9 классов.

Выводы:

публичная защита проекта;
подведение итогов; выводы; составление отчета.

Заключение

Работа над проектом завершена. Все задачи работы выполнены. Цель проекта по созданию буклета достигнута. Созданный мною буклет помог мне и учащимся других классов узнать о различных нетрадиционных способах квадратного уравнения.

Данные приемы заслуживают внимания, так как они не отражены в школьных учебниках, но способны существенно облегчить решение некоторых видов квадратных уравнений. А потребность в быстром их решении обусловлена тестовой системой контроля знаний (ГИА и ЕГЭ).

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой учеников, всё это нам даёт возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Я считаю, что процесс решения квадратных уравнений, включающих данные математического характера, способствует развитию логического мышления, умения классифицировать и обобщать, расширяет наш кругозор.

Список используемой литературы

Арутюнян, Е.Б. Занимательная математика/ Е.Б. Арутюнян Москва «Аст – пресс» 1999.
2. Алимов, Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. / Пробный учебник для 6-8 классов средней школы. - М., Просвещение, 1981.

3. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

4. Глейзер, Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М., Просвещение, 1982.

5. Окунев , А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. / Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

6. Пресман, А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

7. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры/ Л.Ф. Пичурин. Москва «Просвещение» 1990г.

8. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение,

9. Соломник , В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

10. Энциклопедический словарь юного математика. – 2-е издание, испр. и доп. – М.:Педагогика, 1989.

11. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика.- М.: Аванта+, 1999.

12. Nsportal.ru. 10 способов решения квадратных уравнений.

13. gURL:https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2021/03/24/10-sposobov-resheniya-kvadratnyh-uravneniy [электронный ресурс].

Дата обращения: 12.09.2021

14. Infourok.ru. Различные способы решения квадратных уравнений.

URL:https://infourok.ru/proektnaya-rabota-razlichnie-sposobi-resheniya-kvadratnih-uravneniy-3686179.html [электронный ресурс].

Дата обращения: 12.09.2021

15. elementy.ru. Научно-популярный журнал “Квантик”

URL: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/436032/Fransua_Viet_uchenik_dyavola

Дата обращения: 15.09.2021

Приложение 1

Например, уравнение

x3 + 3b2x = 2z3

Виет записывает как

A cubus + B plano 3 in A aequari Z solido 2.

(Степени чисел Виет иногда обозначал иначе, чем степени переменной.) Для уравнений с числовыми коэффициентами обозначения были чуть другими: так, уравнение

x3 − 3x = 1

Виет записывает как

1C − 3N aequatur 1.

Приложение 2

45x − 3 795x3 + 95 634x5 − 1 138 500x7 + 7 811 375x9 − 34 512 075x11 + 105 306 075x13 − 232 676 280x15 + 384 942 375x17 − 488 494 125x19 + 483 841 800x21 − 378 658 800x23 + 236 030 652x25 − 117 679 100x27 + 46 955 700x29 − 14 945 040x31 + 3 764 565x33 − 740 259x35 + 111 150x37 − 12 300x39 + 945x41 − 45x43 + x45 = а,

предлагая решить его, к примеру, для

Приложение 3

Приложение 4

8x2 − 12x + 4 = 0.

a=8; b=-12; c=4;

a-b+c=8-12+4=0

Следовательно, это второе свойство коэффициентов, тогда

Ответ: -1; -0,5

Приложение 5

x2 + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат х2+ 6х = х2 + 2· х ·3.

числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2·х · 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

x2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2· х · 3 + 32 – 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2- 16 =0, (х + 3)2= 16.

Следовательно, х + 3 =4 , х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

Приложение 6

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

х2 – 11х + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

х2 – 11х + 30 = 0.

x1=2,5; x2=3

Ответ: 2,5; 3.

Приложение 7

х2 ‒ 2х ‒ 3 = 0

Можно представить наше уравнение в виде х2 = 2х + 3. Далее построим в одной системе координат графики функций у = х2 и у = 2х + 3. График

у = х2 представлен на рисунке 1, а оба графика на рисунке 2 $C:\Users\Виталя\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.Word\.yo,utre.png$ рис. 1

$C:\Users\Виталя\AppData\Local\Microsoft\Windows\INetCache\Content.Word\nthbrgvefcd.png$ рис. 2

Графики пересекаются в двух точках, в них и будут находиться корни, абсциссы точек пересечения являются решением уравнения, х1 = – 1 и х2= 3.

Приложение 8

Решим уравнение х2 - 6х + 8 =0. Разложим левую часть на множители:

х2 - 6х + 8 = х2- 4x- 2x+ 8= x(x- 4)- 2(x- 4)= (x-2)(x-4).

Следовательно, уравнение можно переписать так:
(x-2)(x-4)= 0.

Произведение равно нулю, если, по крайней мере, один из его множителей равен нулю.

x-2=0 или x-4=0;
х = 2 или х = 4.

Это означает, что числа 2 и 4 являются корнями уравнения х2 - 6х + 8 =0.

Приложение 9

Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

Приложение 10

План работы над проектом

Этап

Сроки

Деятельность ученика

Результат работы

Вводный

Сентябрь – октябрь 2021 г.

Определение проблемы, формулирование темы, цели, задачи. Составить план работы над проектом.

Определена проблемы проекта. Сформулирована тема, определена цель и задачи. Составлен план работы над проектом.

Поисково-исследовательский

Ноябрь –декабрь 2021 г.

Поиск источников информации.

Составление примерного списка использованных источников информации.

Аналитико-оформительский

Январь – февраль

2022 г.

Работа с информацией,

решение промежуточных задач. Анализ информации, оформление проекта.

Оформление продукта проектной деятельности.

Подготовка презентации.

Оформление буклета.

Заключительный

Март - апрель 2022 г.

Защита проекта, участие в коллективной

оценке путем обсуждения результатов.

Защита, объяснение полученных результатов,

Оценка.

Я решил провести опрос среди 8-10 классов с целью выяснения у учащихся о знании нетрадиционных способов решения квадратных уравнений. Было проведено анкетирование среди 90 учащихся по трем вопросам:

какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?
какие вы используете чаще всего?
надо ли уметь решать квадратные уравнения?

По результатам анкетирования были получены следующие результаты:

Вывод: проанализировав полученные результаты, я пришел к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений теорему Виета и формулы корней с использованием дискриминанта, а также недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.

Соленая снежинка

Снегири и коты

Северное сияние

Акварельные гвоздики

Л. Нечаев. Про желтые груши и красные уши