Исследовательская работа "Способы решения квадратных уравнений"

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Курганский областной лицей-интернат для одаренных детей»

РЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

 «СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Секция: Математика

Автор: Осипенок Дарья Дмитриевна, ученица 9

ГБОУ «Лицей-интернат для одаренных детей»

                                            Руководитель: Казантаева Вера Валентиновна,

                                            учитель математики ГБОУ  «Лицей-интернат                  

                                            для одаренных детей»

С.ЛЕСНИКОВО

2021 г.

Содержание

Введение                                                                                        3

1.Немного о квадратных уравнениях                                                4

2. Способы решения квадратных уравнений

Первый способ                                                                                 4

Второй способ                                                                                5

Третий способ                                                                                7

Четвертый способ                                                                        9

Пятый способ                                                                                9

Шестой способ                                                                                10

Седьмой способ                                                                                11

Восьмой способ                                                                                  12

Девятый способ                                                                                  14

Сравнение способов решения квадратных уравнений                                    14

Задания для самостоятельной работы                                                           15

3. Заключение                                                                                  16

Список использованных источников                                                17

Приложение                                                                                18

Введение

На уроке алгебры в 8 классе мы познакомились с квадратными уравнениями и несколькими способами их решения. Мне стало интересно, какими еще способами можно решать квадратные уравнения и я решила углубить знания по данной теме.

Умения решать квадратные уравнений нужны при решении задач, неравенств, уравнений более высоких степеней, систем уравнений и неравенств.

 Актуальность: в учебном процессе мы часто сталкиваемся с квадратными уравнениями и нам нужно быстро и верно их решать. Навык решения квадратных уравнений пригодится на различных уроках, при сдаче экзаменов и в дальнейшей учёбе.

Гипотеза: я предполагаю, что любое квадратное уравнение можно решить несколькими способами.

Проблема: На уроках математики изучается лишь несколько способов решения квадратных уравнений, хотя существуют ещё довольно интересные и удобные способы.

Цель: изучить и описать различные способы решения квадратных уравнений.

Задачи:  

1. Рассмотреть различные способы решений квадратных уравнений: стандартные и нестандартные.
2. Установить, путем практики, самые рациональные способы решения квадратных уравнений.
3. Научиться решать квадратные уравнения несколькими изученными способами.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: Для достижения желаемого результата мной были использованы следующие методы:

Поисковый: изучение литературы и интернет-источников по выбранной теме; 

Аналитический: обобщение и анализ изученной информации, сравнение способов решения квадратных уравнений.

Немного о квадратных уравнениях

Квадратное уравнение (уравнение второй степени) - это уравнение вида  ,       где  а-старший     коэффициент, b-второй коэффициент и с- свободный член.

Например:  где,  а=2, b=7 и с=3

Квадратные уравнения делятся на полные и неполные. В полных уравнения коэффициенты b и с не равны нулю.

Например:   (b= -5, с=6)

Неполные же уравнения могут иметь два вида:

1. где b=0 =>, например,
2. где с=0 => , например,

Первый способ «С использованием формулы корней, или с помощью дискриминанта»

Для решения квадратного уравнения  данным способом используется формула корней , где  – это и есть наш «родненький» дискриминант, знакомый всем из школьного курса алгебры.

Если D>0, т.е. положительный, то уравнение имеет два корня.

Если D<0,т.е. отрицательный, то уравнение не имеет ни одного корня.

Если D=0, то уравнение имеет только один корень.

Например,

Находим дискриминант:

Находим корни по формуле:

Корни данного уравнения равны -1 и -

Второй способ  «Теорема Виета»

. Теорема Виета гласит: сумма корней квадратного уравнения  равна второму коэффициенту с противоположным знаком+ =-p и, а произведение корней - свободному члену  =q.

Например, нужно решить уравнение .

Решение. По теореме Виета: + =-2 и  =-15.

Из записи  =-15 можно сделать вывод, что один из множителей отрицательный. Произведение -15 можно получить, используя множители -1 и 15, -15 и 1, -3 и 5, 3 и -5. Из равенства  +=-2 делаем вывод, что модуль отрицательного числа больше модуля положительного. Проверяем: находим сумму множителей: 1-15=-2 - неверно, 3-5=-2-верно. Значит корни данного уравнения -5 и 3.

Кстати, теорема, обратная теореме Виета, также справедлива. Если для чисел q выполняются равенства + =-p и  =q, то  – корни уравнения

Теорему Виета можно использовать и для квадратного уравнения общего вида. Сумма корней квадратного уравнения  равна второму коэффициенту с противоположным знаком, поделённому на коэффициент a, а произведение корней - свободному члену, поделённому на коэффициент a. То есть, =-   и  

Например, нужно решить уравнение 2

  Нетрудно подобрать числа, удовлетворяющие этим двум условиям,.

Также с помощью квадратных уравнений можно решать текстовые задачи.

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 46 см, а его диагональ – 17 см. Найти стороны прямоугольника.

Решение. Пусть х см – одна сторона прямоугольника. Тогда другая – (23−х) см, так как удвоенная сумма сторон (периметр) равна 46 см. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, который образован смежными сторонами прямоугольника и его диагональю, и составим уравнение.

Решаем по теореме Виета. Получаем следующие корни:

Пример 2. На шахматном турнире каждый сыграл с соперником по 1 партии. Всего было сыграно 45 партий. Сколько участников было на турнире?

Решение. Пусть участников было х. Тогда каждый сыграл (х−1) партию. Итого,  партий х(х−1) … Казалось бы, приравняли к 45, решаем… А целого ответа нет. Почему так? Да потому, что мы каждую партию посчитали дважды (например, партия Вася – Петя и Петя – Вася посчитаны как разные партии, но ведь это одна и та же партия). Значит, количество партий  . Тогда получаем: .

Решаем по теореме Виета. Получаем:  Второй вариант не подходит значит, участников было десять.

Третий способ

«Разложение на множители». При использовании этого способа  нужно разложить левую часть уравнения на множители. Выглядеть все это будет так: .

К примеру,.

Разложим уравнение на множители: =0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

 х-2=0                или                х+12=0

 х=2                           или                х=-12.    Корни данного уравнения 2 и -12

Разложить квадратный трехчлен на множители удобно, используя теорему Виета. Рассмотрим случай, когда первый коэффициент равен единице:

По теореме Виета имеем =- b   и  

Выразим b из первого равенства =- b. Получим: b= Подставим полученное выражение вместо b и вмеcто коэффициента c – произведение корней в квадратный трехчлен

Раскроем скобки и выполним разложение на множители способом группировки:

Пришли к:

В формуле разложения квадратного трехчлена, в котором коэффициент а равен единице, коэффициент а можно опустить.

Рассмотрим случай, когда коэффициент а не равен единице , тогда теорема Виета имеет вид    и    

Выразим из первого равенства  переменную  b:

Из второго равенства выразим коэффициент с:

В данное уравнение подставим вместо коэффициентов а и с полученные выражения: 

  Таким образом, получили разложение квадратного трёхчлена на множители

=0. Осталось решить это уравнение.

Если квадратное уравнение не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Если квадратное уравнение имеет только один корень (два одинаковых корня), то его подставляют и вместо , и вместо  

Четвертый способ «Метод выделения полного квадрата».

В этом способе используются формулы сокращенного умножения: квадрат суммы ( и квадрат разности (). Рассмотрим пример: . В левой части выделим полный квадрат:

Получаем:

Преобразуем уравнение:

Используем формулу сокращенного умножения−разность квадратов, ).  Находим корни:

Пятый способ  Его называют способом «переброски».

Обе части квадратного уравнения  нужно умножить на а, получим,

Пусть ах=у, тогда .  Подставляем в уравнение .

Далее находим корни по теореме Виета и переходим затем к старой переменной, находим х.

 При этом способе коэффициент а переходит, «перебрасывается» к свободному члену. Способ применяется, когда удобно использовать теорему Виета или когда дискриминант является точным квадратом.

Пример: Решите уравнение      

Решение. «Перебросим» коэффициент а к свободному члену. Получим   Решим данное уравнение любым способом. Например, с помощью теоремы Виета:         ,   

Переходим к старой переменной х:   ,  

                                                                                                      Ответ:1; 2

Шестой способ «По свойству коэффициентов».

Рассмотрим три случая решения квадратного уравнения с учётом коэффициентов.

1. Дано квадратное уравнение,

• если , то =1,
• если , то ,

Решим примеры:  

Т.к. а+b+с= 269-185-84=0. Значит  =1, = - .           Ответ:1, - .          

Т.к. а−b+с=4−6+2=0. Значит =−1, = - = - 0,5

Ответ: -1, - 0,5

2) Если второй коэффициент чётный, т.е.  b=2k (k=b/2), то дискриминант и формула корней следующие: ,  

Пример: k=5.   

Так как D=0, то корень будет один  x                      Ответ: -0,2

3) Для приведенного квадратного уравнения формула корней следующая: ,  а для чётного коэффициента .

                                     ,

Пример:

Ответ: 6;-1

Седьмой способ «С заменой переменной»

Для уравнения  введем новую переменную x  и подставим её в данное уравнение. Возведём двучлен в квадрат, раскроем скобки и упростим полученное выражение    a)+c=a(

Получим выражение  уравнение , приведём дроби и свободный член  к одному знаменателю 4а и получим уравнение

   ,  

Выразим из этого выражения у и подставим

 ,  найдём корни уравнения х 

Пример: Решите уравнение

Подставляем в уравнение:  

Приводим подобные члены, получаем уравнение

, решаем его  ,  

Находим х:  , отсюда    

 ,    

Ответ: 0,5; 2

Восьмой способ «Графический способ»

При этом способе, чтобы решить уравнение нам нужно построить график функции, заданной квадратным трёхчленом. Рассмотрим несколько вариантов построения графика функции у=

Первый вариант: Функция у=квадратичная, график её – парабола, ветви которой направлены вверх (а=1>о).

Найдём вершину параболы  

Вершина параболы - точка (1;-4), а ось симметрии параболы является прямая  х=1.

Найдём точки, в которых функция

у=равна нулю.    Для этого решим уравнение  Корнями уравнения будут являться абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ,  т.е. точки    

Рисунок 1                         Второй вариант:  В квадратном уравнении , перенесем в правую часть, т.е.   и построим графики    функций  и  .

Парабола и прямая пересекаются в точках (-1;1) и (3;9). Корнями уравнения являются абсциссы этих точек, т.е.  (рис.2)

 Рисунок 2      Третий вариант. В квадратном уравнении  , 2х перенесем в правую часть и получим . Построим графики функций

 . Парабола и прямая пересекаются в точках (-1;-2) и (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы этих точек, т.е. .

Есть и другие способы построения графика, но эти, как я считаю, являются самыми простыми и быстрыми.

Девятый способ («С помощью номограммы»)

Для решения квадратного уравнения этим способом понадобится  номограмма.

Криволинейная шкала построена по следующим формулам:

,

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а, из подобия треугольников CAH и CDG получаем пропорцию    , откуда после подстановки и упрощений вытекает , причем z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Номограмма (См. Приложение)  дает значения положительных корней уравнения. Если уравнение имеет два корня с разными знаками, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят, вычитая положительный из – p. Когда же оба корня отрицательны, берут z =-t, находят два положительных корня  уравнения , а затем   и . Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполняют подстановку z=kt и решают посредством номограммы уравнение                      , где k берется с таким расчетом, чтобы имели место неравенства -12,6≤  ≤12,6 и  -12,6≤  ≤12,6;

Сравнение способов решения квадратных уравнений

Проанализировав все способы, я выявила их недостатки и преимущества:

Практическая часть

Изучив вышеуказанные способы, я подобрала примеры, которые помогут научиться решать квадратные уравнения наиболее рациональным для ученика способом.

Решите уравнения:

Заключение

В ходе исследовательской работы я нашла девять способов решения квадратных уравнений и научилась решать квадратные уравнениями этими способами.

В ходе решения квадратных уравнений я поняла, что не каждое квадратное уравнение можно решить всеми девятью способами. Вместе с тем любое квадратное уравнение можно решить способом «С использованием формулы корней, или с помощью дискриминант», но также я считаю, что удобными являются: «Разложение на множители»,  «Метод выделения полного квадрата». Для себя я нашла альтернативный способ, которым я буду пользоваться − метод «Переброски».

Список использованных источников

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.
2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990.
3. https://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations/.
4.  https://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniia-11021/formuly-kornei-kvadratnogo-uravneniia-9115/re-7fc77e6b-731f-49f6-a4f9-b47915b58517.
5.  https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-kvadratnyh-uravnenij/.
6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Квадратное_уравнение.
7.  https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/reshenie-zadach-s-pomoschyu-kvadratnyh-uravneniy

Приложение