Решение уравнений в целых числах

XVI муниципальная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Направление: математика

«Решение уравнений и задач в целых числах»

Выполнили: учащиеся 11 класса

 МКОУ «Городовиковская

 многопрофильная гимназия

имени Б.Б.Городовикова»

Колдунов Алексей Викторович,

Цой Даниилл Алексеевич

Руководитель : учитель математики

 Делеева Вера Сергеевна.

г. Городовиковск

2021г.

Оглавление .

1. Введение .
2.   Теория делимости при решении уравнений в целых числах вида

 ах + ву = с.

3. Метод полного перебора всех возможных значений переменных,      входящих в уравнение.

4. Решение задач методом  прямого перебора.

5. Решение уравнений методом разложения на множители.

6.Решение уравнений относительно х, у и z  в натуральных числах.

7. Решение уравнений в целых числах из различных математических олимпиад и ЕГЭ.

8.Заключение

9.Литература

Введение.

«Знание только тогда знание,

 когда  оно приобретено усилиями

своей мысли, а не памятью»

(Л.Н.Толстой)

Одной из труднейших и древнейших математических задач является решение уравнений и задач в целых числах.  Много  величайших ученых во всем

мире, во все времена, занимались этой задачей. Можно назвать лишь некоторых: Диофант(III в н. э), Л.Эйлер (XVIII в), К.Гаусс(XIX в) и другие.

Решение уравнений и задач в целых числах является важной задачей и для современной математики. Теоретический  интерес уравнений в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел, что и определило актуальность моей работы. Готовясь к олимпиадам, я довольно часто встречаюсь с заданиями, в которых предлагали уравнения с двумя и более переменными, где переменные могут принимать натуральные или целые значения. У меня появилось желание узнать решаемы ли такие уравнения, какие способы используются для решения, все ли они имеют алгоритм решения и где применяются. Исходя из сказанного, я выдвинул гипотезу исследования – существуют ли общего способа, единого алгоритма, позволяющий

за конечное число шагов решать в целых числах произвольные уравнения.

Цели исследовательской работы:

-показать разнообразные способы решения уравнений;

-повысить уровень математической культуры, развивать навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

Задачи:

разобрать основные приемы и методы решения и задач в целых числах; проверить их универсальность; показать наиболее рациональные способы решения;

1.Теория делимости при решении уравнений в целых числах вида

ах + ву=с.

Для решения в целых числах уравнения вида ах+ву = с , где а, в, с –целые числа, отличные от нуля. Приведем ряд теоретических положений, которые позволяют установить правило решения. Эти положения основаны на известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если (а, в) = d,  то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах + ву = d.

(Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего делителя двух чисел через сами эти числа).

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1945 и 2020.

Решение.

1.Составим равенства алгоритма Евклида:

2020=1945×1+75

1945=75×25+70

75=70×1+5

70=5×14,  (2020,1945) = 5

Выразим последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

5= 75-70×1 = 75 - (1945 - 75×25)= 75 – 1945+75×25=75×26-1945×1=(2020-1945×1)×26-1945×1 = 2020×26 - 1945×27=2020×26 + 1945×(-27).

Теорема 2. Если  в уравнении ах + ву =1,  НОД(а,в) =1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + ву =1, если НОД(а,в) =1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в.

Пример. Найти целое решение уравнения 54х + 37у = 1.

Решение.

54 = 37×1 + 17

37 = 17×2 + 3

17 = 3×5 + 2

  3 = 2×1 + 1

1 = 3 - 2×1 = 3- (17 - 3×5) = 3 – 17 + 3×5= 3×6 - 17×1= (37 - 17×2)×6-17×1=37×6-

 17×12 - 17×1=37×6-17×13=37×6 – (54 - 37×1) ×13=37×6-54×13+37×13= 37×19-54×13=37×19+(-13), т.е =19, = -13 – решение данного уравнения.

Теорема 3. Если  в уравнении  ах + ву = с,  НОД(а,в)=d˃1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример. Найти целое решение уравнения 42х + 34у =5 .

Решение. НОД(42,34)=2, 2 не делится на 5, уравнение не имеет целых решений.

Теорема 4. Если в уравнении ах + ву = с,  НОД(а,в)=d˃1 и с  делится на d, то оно равносильно уравнению ах + ву =, в котором (,) = 1.

Теорема 5. Если в уравнении ах + ву = с,  НОД(а,в)=1,то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

х = с+вt

у =с+аt, где ,решение уравнения ах+вх=1, t –целое число.

Пример. Решите уравнение в целых числах  19х+45у = 2020

45=192+7

19=72+5

7=5+2

5=21

1=5-25-(7-5)2=5-72+52=53-72=(19-72)3-72=193-78=193-(45-192)8=193-458+1916=1919-458=1919+458).

т.е =19, = -8

Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = 192020+45t,

у = -82020-19 t

при t= - 841, получим,  = 85, = 9 и общие формулы решений примут вид:

2.Метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение.

Пример. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые

являются решениями уравнения 19х+45у=1945

Решение . Выразив из уравнения переменную х через у:

х = , так как х и у – натуральные числа, то х =≥1,1945-45у≥19,45у≤1945, 1≤у≤42,8

Полный перебор вариантов показывает у=1,х=100. 

3.Решение задач методом прямого перебора.

Задача . Сколькими способами можно полностью истратить 104 рублей на покупку сувениров двух видов , цена которых 6 рублей и 10 рублей?

Решение . Предположим, что куплено х сувениров по 6 рублей и сувениров по 10 рублей. За них заплатили 6х +10у = 104.

Выразив у через х, получим  у = . Так как х и у – целые неотрицательные числа, то число 104-6х должно делиться на 10, поэтому число может принимать лишь значения 4;9;14.

Значит покупку можно сделать тремя способами.

4.Решение уравнений методом разложения на множители.

Решение неопределенных уравнений разных степеней достаточно сложно. Некоторые такие уравнения решаются применением формул разности квадратов или другим способом разложения на множители.

Пример1.

Решить уравнение в целых числах:  - 41 =

Решение.

- = 41        

(х-у)(х+у)=41

Решив полученные системы получили ответы:

(21;20), (21;-20),(-21;-20),(-21;20).

Пример2. Решите уравнение в целых числах   - ху – х + у =1.

Решение. х(х-у)-(х-у)=1

(х-у)(х-1)=1

5. Решение уравнений относительно х, у и z в натуральных числах.

Пример1 . (х – у – z)(+=1945

Решение. Представим правую часть уравнения 1945 через произведения простых делителей 1945 = 389×5, 389 представим как сумму натуральных квадратов 100 и 289.

(17-10-2)(+)=1945.

Для полноты решения необходимо рассмотреть и другие варианты представления правой части. Так как 1945 = 1×1945,которые не дают новых решений.

Ответ. (17;10;2)

Пример 2.

 +  + =

Решение. Так как 1945 = 5×389, то два знаменателя в левой части уравнения быть кратны 5 и 389 и другому знаменателю.

Положим у = 5х, z = 389х.  Тогда получим уравнение  +  + = ,

 значит х= 2339.

6. Решение уравнений в целых числах из различных  математических олимпиад и из ЕГЭ.

Пример 1. Решите в натуральных числах уравнение  2-11ху +15=41

Решение. 3х(5х-2у) – у(5х-2у)=41

Представим левую часть уравнения в виде произведения двучленов :

 (5х-2у)(3х-у) , которые могут быть равны 1 и 41 с обоими знаками и в разных соотношения, в результате получаются вышеуказанные корни.

Ответ . (81;202),(39;118).

Пример 2. Решите в натуральных числах уравнение 2 +9- 8ху – 3у =0.

Решение. Исходное уравнение равносильно+  + = 9.

Так как девятку можно представить в виде суммы квадратов только двумя способами ++и , то первое слагаемое может быть или нулем, или четверкой, что дает две пары указанных корней уравнения.

Ответ . (6;3),(5;2).

Пример 3. Решите в целых числах  уравнение  ху = х + у

Решение. Запишем в виде ху - х – у+1=1

Произведение двух целых чисел равно 1, значит , оба равны 1 или -1.

Значит х-1=у-1=1 и х=у=2, или х-1=у-1=-1 и х=у=0.

Ответ . (0;0),(2;2)

Пример 4. Решите в целых числах  уравнение  1!+2!+…+х! =.

Решение.

Очевидно, что при х = 1   = 1 и при х = 3   = 9,

т.е находим

следующие решения:

Заметим, что при х=2 имеем 1! + 2! = 3 ≠  

и при х = 4 имеем 1!+2!+3!+4! =33 ≠  

если же х ≥ 5, то (так как 5!+6!+…+х!=10N)

1!+2!+…+х! = 33 + 10N – число , оканчивающееся цифрой 3, значит, оно не является квадратом целого числа.

Ответ.  

Пример 5. Решите в целых числах уравнение   - х = 2020.

Решение. левая часть уравнения  – х = (х-1)х(х+1)- произведение трех последовательных целых  чисел и делится на 3. Правая же часть не делится на 3.

Уравнение не имеет решений в целых числах.

Заключение.

В заключении я хотел бы сказать, что для изучения данного материала моя работа может быть полезна. В своей работе я рассмотрел различные методы решения и задач в целых числах, показал преимущества, выбранного мною способа, привел примеры задач, которые сводятся к решению линейных и нелинейных уравнений в целых числах. Некоторые уравнения составлены мною с использованием чисел 1945,2020,75,41. В процессе изучения данной темы я пришел к выводу, что нет общего метода решения уравнений в целых числах, нет единого алгоритма решения. Нередко методы могут быть и вовсе неприменимы для решения конкретного уравнения. Для каждого уравнения нужно искать свой метод, более рациональный, чем другие методы.

Выполняя работу, я углубил свои знания по теме, научился применять полученные знания к решению нестандартных задач, что в дальнейшем может помочь мне достойно выступить на математических олимпиадах и сдаче ЕГЭ. Мне представилось возможность больше поработать с интересной для меня темой и выйти за рамки того материала, который представляет нам учебник.

В дальнейшем  я планирую продолжить работу по изучению методов решений уравнений в целых числах, так как в силу возраста на данном этапе некоторые виды уравнений и методы их решении мне пока не посильны.

Список источников и использованной литературы.

1. С.Е.Ляпин, И.В. Баранова, З.Г.Борчугова. Сборник задач по элементарной алгебре. – М. Просвещение. 1973г.
2. М.Л.Галицкий , А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре. М.,Просвещение,1992г.
3. И.Р. Высоцкий,П.И. Захаров. ЕГЭ,2010. Математика. Сборник тренировочных работ.
4. В.Н.Бардушкин, И.Б.Кожухов, А.А.Прокофьев, Т.П.Фадеичева. Основы теории делимости чисел.М., МГИЭТ,2003г.
5. Ю.М.Колягин, М.В. Ткачев, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин Алгебра и начала анализа.10-11класс.М., Просвещение. 2018г.