Проект по математике "Треугольник Рёло"

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Геологическая основная общеобразовательная школа»

ПРОЕКТ

«Треугольник РЁЛО»

Автор  работы:

Бураков Матвей Юрьевич,

7 класс

Руководитель:

Мамойко А.Д.

п. Вознесенский, 2023 год.

Содержание

Введение

1. Теоретическая часть

1. Что такое треугольник Рёло………………………………………..1

2. История создания треугольника Рёло……………………………..2
3. Способы построение треугольника Рёло………………………….3
4. Свойства треугольника Рёло……………………………………….4

2. Практическая часть

1.  Применение треугольника Рёло…………………………………6
2. Опрос……………………………………………………………...12
3. Можно ли ездить на треугольных колесах?.................................12

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Иногда в основе любой ширины и толщины нужно сделать отверстие с идеальным квадратным сечением. А вы когда-нибудь задумывались над тем, как сверлят квадратные отверстия? Советов, как добиться максимальной точности при минимальных затратах, множество. Я задумался над вопросом, а как бы с этой задачей справился математик и смог бы он сделать лучше. Ответ оказался положительным. Оказывается, существует еще один способ для вырезания квадратных отверстий, в реализации которого косвенно поучаствовал математик. Итак, квадратные отверстия можно сделать при помощи специального сверла, в сечение которого заложена форма треугольника Рёло. Меня заинтересовало не только само по себе данное изобретение, но и необычная геометрическая фигура – круглый треугольник. Я узнал, что он называется треугольником Рёло и посвятил свою работу изучению его свойств и областей применения. А заодно поставил задачу выяснить, как геометрия позволяет этому чуду катиться и иметь удивительно плавный ход.

Объект исследования: треугольник Рёло.

Предмет исследования: понятие треугольника Рёло, его свойства и практическое применение.

Гипотеза: Используя свойства треугольника Рёло, можно ли сделать его модель своими руками?

Цель исследования: изучение основных свойств треугольника Рёло и его областей применения.

Задачи: 

1. Познакомиться с историей изобретения треугольника Рёло;

2. Рассмотреть способы построения круглого треугольника;

3. Рассмотреть и изучить свойства треугольника Рёло;

4. Выяснить области практического применения треугольника Рёло;

5. Создать модель   велосипеда с колесами в виде круглого треугольника.

I. Теоретическая часть

Что такое треугольник Рёло.

Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то расстояние между ними не будет зависеть от выбранного направления. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить (фрезеровать) квадратные отверстия.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого так называемого криволинейного треугольника; также он использовал его в своих механизмах.

1

История создания треугольника Рёло.

Франц Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе. Mappamundi. Леонардо да Винчи, примерно 1514 год.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. Ещё раньше, в XIII  веке , создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для новых окон. (Приложение 1)

2

Способы построения треугольника Рёло

При помощи циркуля

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

При помощи закругления сторон правильного треугольника

Треугольник Рёло можно построить с помощью правильного треугольника. На каждой стороне треугольника построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло. (Приложение 2)

3

Свойства треугольника рёло

Свойство 1. Симметричность

Когда я научился строить треугольник Рёло, я вырезал треугольник из бумаги и начал его исследовать. У меня получилось, что треугольник Рёло обладает осевой и центральной симметрией.

 Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги.

Свойство 2.Треугольник Рёло – фигура постоянной ширины.

Для доказательства этого свойства, что круг и треугольник Рёло являются фигурами постоянной ширины, для исследования свойств этих фигур мною изготовлена модель, приведенная на фото.

Она состоит из двух параллельных касательных, изготовленных из картона, расстояние между которыми зафиксировано и равно ширине круга и треугольника Рёло. Эти фигуры мы построили на бумаге и вырезали   Для изображения треугольника Рёло мы использовали способ построения с помощью циркуля. На пересечении трех окружностей таким же радиусом каждая как и круг , получился треугольник Рёло.

С помощью данной модели можно доказать, что круг и треугольник Рёло являются фигурами равной ширины. Для этого будем поочередно вращать получившиеся фигуры между двумя параллельными прямыми. При вращении круг постоянно касается обеих прямых двумя точками ограничивающей его окружности. При вращении треугольника Рёло, он также касается прямых в двух точках: одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» круглого треугольника, а другая – на противоположной дуге окружности.

Вывод: ширина круга и треугольника Рёло постоянна по всем направлениям и равна расстоянию между параллельными прямыми.

4

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло. Треугольник Рёло постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рёло, а другая – на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника.

Свойство 3.Теорема Барбье: Все кривые постоянной ширины d имеют одинаковую длину, равную πd, где d – ширина.

Расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло не может превышать его ширины.

Свойство 4.Треугольник Рело можно вписать в квадрат, он может вращаться квадрате со стороной а.

Для доказательства этого свойства, что треугольник Рёло можно вписать в квадрат, он может вращаться квадрате со стороной а, была изготовлена модель. Она состоит из квадрата и треугольника Рёло, изготовленных из картона. Треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат, в котором треугольник Рёло будет вращаться, постоянно касаясь всех четырёх сторон.

Свойство 5.Площадь Также как и обычный треугольник, круг, треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой, которая имеет определенную площадь. Площадь треугольника Рело равна

SРело=(, что меньше площади круга. Рис.10

5

II. Практическая часть

Применение треугольника Рёло

1. Сверление квадратных отверстий  в сечении к оси фрезы отверстий

Фреза с сечением в виде треугольника Рёло и режущими лезвиями, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата в сечении состоит лишь в немного скруглённых углах. Другая особенность подобной фрезы заключается в том, что его ось при вращении не должна оставаться на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает в плоскости сечения кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажата фреза, и крепление инструмента не должно препятствовать этому движению.

Впервые реализовать подобную конструкцию крепления инструмента удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для этого он использовал направляющую пластину с отверстием в виде квадрата, в котором могло радиально перемещаться сверло, зажатое в «плавающем патроне». Патенты на патрон и сверло были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году.

2. Двигатель Венкеля

Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор

6

обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания.

3. Грейферный механизм

Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это грейферный механизм, осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинотеатрах. Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат, закреплённую на двойном параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом. Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная тректория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла).

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два кулачка, работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи.

7

4. Крышки для люков

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк. В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.

5. Кулачковый механизм

Треугольник рёло использовался в кулачковых механизма некоторых паровых двигателей начала XIX века. В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение. По терминологии Рёло, это соединение образует «высшую» кинематическую пару, поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен.

 Треугольник Рёло ранее широко применялся в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31».

8

6.Каток

Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса. При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно.

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения.

7. Медиатор (Плектр)

Треугольник Рёло — распространённая форма медиатора (Плектора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на струнах щипковых музыкальных инструментов.

9

8. Дизайн

Треугольник Рёло используется как элемент логотипов компаний и организаций, например: FINA (Petrofina, Bavaria, Колорадская горная школа. В США система национальных троп и система велосипедных маршрутов оформлены с помощью треугольников Рёло. Форма центральной кнопки смартфона Samsung Corby представляет собой треугольник Рёло, вложенный в серебристое обрамление такой же формы. Центральная кнопка, по мнению экспертов, является главным элементом дизайна лицевой стороны телефона.

Треугольник Рёло в искусстве

1. Архетиктура

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив.

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру.

10

2. Литература

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

11

Опрос

При изучении темы «треугольники» на уроках геометрии я узнал, что среди них можно выделить: равнобедренные, равносторонние, прямоугольные.   Для того, чтобы выяснить, знают ли ученики нашей школы  и педагоги о «круглом» треугольнике, мною был проведен опрос. Было опрошено 20 учащихся 5-9 классов и 9 педагогов

 Опрос показал, 2 человека имеют представление о треугольнике, а желают узнать о таком треугольнике почти  93 % опрошенных. Таким образом, понятно, что учащиеся желают узнать для себя новый материал, который не изучается в школьной программе. (Приложение 3).

Можно ли ездить на квадратных колесах?

- Нет, нельзя.

Можно ли ездить на треугольных колесах?

- Смотря на каких треугольных.

Есть один треугольник на свете, на котором вполне можно прокатиться. Но этот треугольник необычный, он называется – треугольник  Рёло.

Попробуем прокатиться на этих треугольниках. Возьмем 3 треугольника Рёло, изготовленные мной. Попробуем прокатиться на этих треугольниках. Уверяем, велосипед будет себя вести точно также, как будто мы катаемся на двух цилиндрических колесах.

12

Заключение

Несколько тысяч лет назад было изобретено колесо, которое произвело переворот в жизни человека. Определяющим свойством, следствием которого стало техническое завоевание мира, стало свойство постоянства ширины. Но, как оказалось, круг – не единственная фигура, которая обладает этим свойством. Вызвавший мой интерес, треугольник Рело, также принадлежит этому семейству.

Систематизируя и углубляя теоретические знания, я в треугольнике Рело   обозначил его сильные и слабые стороны.  В своей работе я не только изучил его свойства, геометрические характеристики, историю изобретения, но и рассмотрел сферы применения этой выпуклой, симметричной фигуры постоянной ширины. Выдвинутая нами гипотеза о свойствах этой фигуры нашла свое подтверждение. Кроме того, я ответил для себя на ряд вопросов познавательного характера: какие геометрические свойства обеспечивают плавность хода с «треугольными» колесами, почему канализационные люки делают круглыми или в форме треугольника Рело?

Не менее познавательной оказалась информация о сферах применения «круглого» треугольника не только в технике, но и в архитектуре, литературе.

Таким образом, поставленные мною задачи, реализованы в полном объеме.

Перспективы дальнейшей работы в этом направлении:   лежащую в основе треугольника Рело, идею построения можно обобщить для построения многоугольников Рело

Список литературы

https://ru.wikipedia.org/wiki

13

Приложение 1

Франц Рёло и Леонард Эйлер

Немецкий учёный в области механики и машиностроения, лектор Берлинской королевской технической академии, ставший впоследствии её президентом.

Родился: 30 сентября 1829 г., Эшвайлер, Пруссия

Умер: 20 августа 1905 г. (75 лет), Берлин, Германия

Карта мира Леонардо да Винчи в восьми октантах треугольника Рело Рис. 1

14

Приложение 2

2.2.Понятие треугольника Рёло.

рис. 2рис. 3

2.3.Построение треугольника Рёло.  

рис.4                           рис.5  

15

Приложение 3

16