метод мажорант

ХI городская научно-практическая конференция школьников

«Грани творчества»

                                  Секция математики

Метод мажорант

Научно-исследовательская работа

                                                                 Выполнена:

                                               ученицей  11 класса СОШ №5

                                                                 г. Моршанска

                                                Бучиной Ириной Юрьевной,                          

                                                                 Научный руководитель -

                                                        учитель математики МОУ СОШ №5

                                                 Терехова Надежда Анатольевна

г. Моршанск

2009

Содержание

    Введение____________________________________________________стр.3

1. Основная часть_______________________________________________стр.4

2. Практическая часть__________________________________________  стр.5

     2.1 Решение уравнений _______________________________________стр. 5

     2.2. Решение неравенств _____________________________________  стр. 9

     2.3. Задания для самостоятельного решения_____________________ стр.11

   Заключение ________________________________________________ стр.12

   Список литературы__________________________________________ стр.13

Введение

      В школьном курсе алгебры встречаются уравнения и неравенства, которые нельзя решить обычными традиционными методами.  Такие задания  в профильном учебнике «Алгебра и начала анализа» под редакцией А.Г. Мордковича отмечены    , ,  что означает повышенный уровень сложности.

    Хочу отметить сразу, что, несмотря на нестандартность, такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами. В основном, это функциональные методы, то есть методы, опирающиеся на свойства функций.

    Выдвигаю цель: «Изучение метода мажорант» и постараюсь достичь её в ходе выполнения данной работы.

Гипотеза: «Возможно, ли научиться видеть использование метода мажорант при решении  комбинированного уравнения»?

 Уравнения и неравенства, решаемые данным способом,  встречаются в вариантах ЕГЭ в части В и С. Так как на написание ЕГЭ отводится ограниченное время, то бывает крайне трудно найти тот или иной способ решения. В природе не существует такого человека, который бы гарантированно мог решать любые задачи по элементарной математике. Каждый год предметные комиссии придумывают задачи, решение которых требует принципиально нового подхода, в этом я убедилась, подбирая задачи для данной работы. Исчерпать все типы таких задач просто невозможно. Зато возможно набраться опыта в решении подобных задач и, по крайней мере, не впадать в панику, если вдруг такая задача попадётся на экзамене.

 Поэтому я хочу остановиться на методе мажорант решения уравнений и неравенств.

    Материал я постараюсь изложить так, чтобы  получилось методическое пособие для учителя и ученика  с теорией, разбором конкретных уравнений и подборкой заданий по  данной теме.

1. Основная часть

Определение: Мажорантой данной функции  на множестве Р Называется такое число М, что либо для всех , либо  для всех .

Основная идея  метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение , и существует такое число М, что для любого х из области определения  и  имеем и . Тогда уравнение равносильно системе двух уравнений

Как искать такое число? Существует несколько способов:

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций с помощью производной. Если они совпадают, то за М можно принять их общее значение.
2. Использование неравенства Коши: среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического , причём равенство достигается только при .
3. Использование области значений функций: .
4. Использование ограниченности суммы обратных функций:

В 3 и 4 пунктах производится оценка левой и правой частей уравнения с использованием данных неравенств и определяется мажоранта М.

Попробуем начать осваивать метод мажорант в процессе решения задач. Для этого рассмотрим решение задач из вариантов ЕГЭ предыдущих лет.

2. Практическая часть

2.1 Решение уравнений.

1. С2(2001г) [6, стр 5] Решите уравнение: 

                                                           Решение:

Найдём ОДЗ данного уравнения:

Оценим левую и правую части уравнения на ОДЗ:  , следовательно, мажоранта М = 1, и исходное уравнение равносильно системе: .  Найдём корни второго уравнения:

И подставим их в первое уравнение: , следовательно, уравнение имеет единственный корень х = 0.                         Ответ:  х = 0

2. В7 (2009г) [5, стр 25]  Решите уравнение: 

Решение:

Преобразуем левую и правую части уравнения:

1. В левой части выделим полный квадрат:
2. В правой части применим формулу разность квадратов:  
3. В данном случае мажорантой является число М = 3, следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:       Корнем первого уравнения является число х = -  1,2 .
4. Подставим найденное значение х во второе уравнение: - верно, следовательно, х = - 1,2 является корнем исходного уравнения.               Ответ: - 1,2

3. В.7(2009г) [5, стр 34]  Решить уравнение: .

Решение:

Данное комбинированное уравнение решим оценкой левой и правой частей.

Учитывая область значений функции , получим .

Оценку правой части получим с помощью производной:  

Таким образом, мы показали, что левая часть уравнения при любом х строго меньше правой части, т.е. уравнение решений не имеет.

4. [1, стр 6] Решить уравнение:  

Решение:

Мы знаем, что Если бы было, например,  то поскольку произведение числа, строго меньшего единицы на число строго меньше 1, будем иметь . Значит предположенного не может быть, и . В данном случае мажоранта М = 1.

Таким образом, исходное уравнение сводится к совокупности двух систем:

Объединяя решения систем, мы получим:

5.   [2, стр 43] Решите уравнение:

Решение:

1) Множеством значений функции  является промежуток , следовательно, .

2)

3) Мажорантой является число М = 0;

4) уравнение может иметь решение тогда и только тогда, когда левая и правая части одновременно равны 0.

5) 

6) Проверим найденные значения, подстановкой в левую часть

                                                                      Ответ: х = - 3

6. [2, стр 48] Решить уравнение:  .

Решение:

.   Так как   то   или  , как сумма двух взаимно обратных величин. Следовательно, в этом случае получается две мажоранты М = 2 и  М = - 2, а значит исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:

                                                     , нет решений

                Ответ:

7.  [3, стр 12] Решите уравнение: .

Решение:

1. Рассмотрим функцию ,

пусть  .    Так как , то

2. Оценим правую часть, выделив полный квадрат: . Приравнивая обе части уравнения к 2, получим: х = -3.                                              Ответ: х = - 3

8.   [2, стр 26]Решить уравнение:  

Решение:

Левая часть уравнения не превышает значение равное 2, а правая часть принимает значения больше или равные 2, но меньше или равные 3, следовательно, обе части равенства должны одновременно быть равны 2. Это возможно тогда и только тогда, когда система уравнений  имеет решение:  ,                     Ответ: .

2.2 Решение неравенств.

1. [2, стр 30] Решите неравенство:  

Т.к. , то сумма этих выражений никогда не может быть отрицательной, следовательно, неравенство будет иметь решение тогда и только тогда, когда . Решим первое уравнение и его корни подставим во второе уравнение:

Подставим: 1)

                      2)

Хотя решалось неравенство, но решением является только одно значение х.

                                                                     Ответ: х = -2

2. [2, стр 35] Решите неравенство:  

Решение:

Т.к. неравенство содержит логарифм, то найдём сначала ОДЗ неравенства. ОДЗ: R.

Оценим каждый из множителей:

, т.к. показательная функция с основанием большим 1, является возрастающей функцией.

, т.к. логарифмическая функция с основанием меньшим 1, является убывающей функцией.

Т.о. при умножении двух чисел, меньших 3, никогда не может получиться число большее 9, а вот равное 9 – может. Следовательно, мажоранта М = 3, а неравенство будет иметь решение, если каждый множитель при одних и тех же значениях х равен 3, т.е.

Ответ: х = 0.

3. [2, стр 42] Решите неравенство:  

Решение:

Найдём область допустимых значений неравенства:

ОДЗ:

При любом х из ОДЗ  следовательно, в силу свойства суммы взаимно обратных положительных функций, получим: .

По определению арифметического корня:  тогда

при всех х из ОДЗ.

                                                                                        Ответ:

4. [2, стр 19] Решите неравенство:  

Решение:

                                                             Ответ: x>1

2.3. Задания для самостоятельного решения:

Решите уравнение:

Решите неравенство:

 Тест для проверки:

 Заключение

В ходе выполнения работы я подтвердила правильность выполненной мною  гипотезы. Глядя на комбинированное уравнение, можно определить, решается ли оно методом мажорант или нет. Проанализировав все решённые уравнения, я могу сделать вывод, что метод мажорант применяется к комбинированному уравнению, если оно содержит:

• Тригонометрические функции: ;
• Квадратичную функцию ;
• Показательную функцию ;
• Сумму взаимно обратных функций;
• Иррациональные функции.

При работе с вариантами ЕГЭ, я столкнулась только с использованием метода мажорант. Такие уравнения содержатся в части В и С.

Тем, кого заинтересовал изложенный метод, я предлагаю для решения несколько заданий из вариантов ЕГЭ, и тест для самопроверки.

Литература

1. В.В. Ткачук; Математика – абитуриенту, М.: Теис,  1995 – 368с.
2. ЕГЭ 2009. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся /Сост. Л.О.Денищева, Ю.А.Краснянская и др. – ФИПИ – М.:  Интеллект – Центр, 2009 – 272с.
3. Математика ЕГЭ 2001 /Сост. С.В.Климин и др. – М.: Просвещение,

     2002 – 46 с.

4. Математика №20 /Сост. Г.И. Ковалёва, Е.В.Конкина. -

М.:  Чистые пруды, 2008 – 35с.

5. Математика ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания / Под общ. ред.

        Ф.Ф.Лысенко -  Ростов – на – Дону, Легион, 2008 – 400 с.

6. Математика ЕГЭ – 2009. Тематические тесты / Под общ. ред.

        Ф.Ф.Лысенко - Ростов – на – Дону, Легион, 2008 – 200 с.