XXX городская научно-практическая конференция школьников «Шаг в будущее». Тема "Зри в корень"

Министерство образования и науки Республики Бурятия

Комитет по образованию Администрации города Улан-Удэ

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №1 города Улан-Удэ»

XXX городская научно-практическая конференция школьников

 «Шаг в будущее»

                                                                                                                           Математика

Зри в корень

Мункуева Татьяна Чингисовна,

8-А класс

Научный руководитель:

Шитина Марина Вакиловна, учитель математики

МАОУ СОШ №1 г. Улан-Удэ

2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………………3

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1. Квадратный корень……………………………………………………………………….........5

1.2. Способы извлечения квадратных корней………………………………………………….…5

ГЛАВА 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ

3.1. Закономерности численных значений сторон прямоугольных треугольников……………8

3.2. Глаз как оптическая система…………………………………………………………………..8

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ……………………………………………………………………………...……10

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………………………10

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………………………………11

Введение

        Квадратные корни известны человечеству с древнейших времён. Одно из первых упоминаний квадратных корней было обнаружено на глиняных табличках при раскопке Вавилона. Оно датируется возрастом более 5000 лет.

Среди афоризмов К.Пруткова, есть изречение «Зри в корень!», которое удивительно актуально в любой области науки. Данное изречение возможно связано и с математическим понятием , а может и с самым совершенным оптическим прибором – глазом человека.

Квадратным корням придают больше значения, чем есть в действительности в школьной программе. Отсутствие представления по многим свойствам квадратных корней у будущих старшеклассников, снижает их уверенность при изучении математики и естественных дисциплин. В своей работе постараюсь сориентировать одноклассников в выборе рационального способа извлечения квадратный корней и узнать многие из их свойств.

        Актуальность моей исследовательской работы заключается в том, что при исследовании мотивирующая (исходная) задача должна обеспечить «видение» учащимися более общего представления о квадратных корнях, нежели та, которая отражена в школьной программе.

        Объект исследования: квадратные корни.

        Предметом изучения является способ извлечения квадратного корня.

        Цель нашего исследования – установить наиболее рациональный способ извлечения квадратного корня из многоцифрового целого числа.

        В соответствии с целью в нашей работе решались следующие задачи:

- проанализировать учебную и математическую литературу по квадратным корням;

- выполнить пробы, для получения рационального способа извлечения квадратных корней, при использовании различных методов;

- установить связь между изречением К. Пруткова и квадратными корнями;

- провести мастер-класс для ознакомления одноклассников с самым рациональным методом извлечения квадратных корней, полученным в ходе исследования.                   

Гипотеза исследования: существует метод, по которому без особых вычислительных навыков можно извлекать квадратные корни без использования таблицы квадратов и ВТ.

Методы исследования. В качестве методов исследования нами использовались

- метод теоретического анализа специальной математической литературы;

- метод экспериментально-теоретического уровня: проба (испытание)        

- методы математической статистики: математическое выявление связей и зависимостей, анализ данных.

Научная новизна исследования заключается:

- в выявлении самого рационального метода извлечения квадратных корней без наличия ВТ и широкого спектра вычислительных навыков у учащихся на ступени ООО;

- в выявлении связи между глазом человека и квадратными корнями.

Практическая значимость исследования состоит в том, что по мере обретения опыта работы с квадратными корнями у школьников формируется особый подход к решению нестандартных задач: они начинают искать решение, применяя процедуру исследования.

Глава 1. Математический анализ

1.1 Квадратный корень

Квадратный корень из числа а (корень второй степени) - число х, дающее а при возведении в квадрат: х∙х=а . Равносильное определение: квадратный корень из числа а - решение уравнения х2=а. Операция вычисления значения квадратного корня из числа а  называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются 3 и -3, у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при   всегда неотрицательно (а на положительных а – положительно); арифметический корень из числа а обозначается с помощью знака корня (радикала).

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков. Среди таких задач: применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам; нахождение стороны квадрата, площадь которого задана; решение квадратных уравнений.

1.2 Способы вычисления квадратных корней

        1.2.1 Способ разложения на простые множители

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения . Данный способ рассматривается в школьной программе при нахождении квадратного корня из степени. Извлечение квадратного корня разложением на множители не всегда приводит к результату, т.е. не всегда можно разложить число на простые множители, например, при разложении числа 206116=2∙2∙51529, т.е корень не извлечь. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения квадратного корня.

1.2.1 Способ с использования таблицы квадратов двузначных чисел

Способ очень прост в применении и даёт мгновенное извлечение квадратного корня из любых целых чисел от 1 до 100 с точностью до десятых. Найдём значение .Закрываем две  последние цифры у всех чисел в таблице квадратов и находим близкие для 73, таких два числа 7225 и 7396 (7396-это много). Рассматриваем число 7225.Левый столбик таблицы квадратов даёт ответ 8 (целых), а верхняя строка 5 (десятых). Значит . Быстро, просто, доступно, но корни большие 100 этим способом извлечь невозможно. Способ удобен при наличии таблицы квадратов чисел.

1.2.3. Формула Древнего Вавилона

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня из числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2  ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а и пользовались формулой  . Извлечём с помощью этой древней формулы корень квадратный из числа. Результат извлечения корня из 68 с помощью МК равен 8,246211. Способ вавилонян даёт хорошее приближение к точному значению корня. Но без знания полных квадратов больших чисел и умения их быстро находить, результат извлечения будет найти затруднительно.

1.2.4. С помощью уравнения

Существует удобный способ нахождения квадратного корня с помощью решения уравнения. В чём его суть, рассмотрим на примере и попробуем вычислить значение корня из числа 47. Сначала определим границы искомого корня в целых числах. Легко догадаться, что это числа 36=62  и 49=72, поэтому. Пусть х – это та разница, на которую отличны друг от друга ,  значит . Возведем в квадрат обе части полученного уравнения  и раскроем скобки при помощи формулы квадрата суммы: 47 = (6 + х)² = 36 + 12х + х². Так как мы рассчитываем получить результат с точностью до десятых или до сотых, а х2 явно достаточно малая дробь, то ею вполне можно пренебречь. В результате приходим к простому линейному уравнению 47 = 36 + 12∙х, корень которого равен 0,92. Значит. Но и этот способ требует терпения и умения решать уравнения с использованием формул сокращённого умножения.

1.2.5. Канадский метод

Канадский метод был открыт молодыми учёными одного из ведущих университетов Канады в 20 веке. Его точность – не более двух-трёх знаков после запятой. Применяли формулу:    , где х – число из которого необходимо извлечь квадратный корень, а s - число ближайшего точного квадрата. Например, извлечь квадратный корень из числа 86. Запишем исходные данные для подстановки в формулу х=86, s=81, , тогда . Метод оригинальный, удобный, но главное запомнить формулу.

1.2.6. Способ вычетов нечётного числа

Способ вычетов нечётного числа заключается в том, чтобы из подкоренного выражения последовательно вычитать нечётные числа 1, 3, 5, 7 и т. д. пока разность не станет равной 0, а затем подсчитать количество вычитаний. Это и будет ответ. Например, извлечь квадратный корень из 81, т.е. 81-1=80-3=77-5=72-7=65-9=56-11=45-13=32-15=17-17=0, количество вычитаний равно 9, поэтому . Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее.

1.2.7. Деление столбиком

Данный позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Для извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Для начала мысленно или метками разобьём число справа налево на грани, содержащие по две цифры (в крайней левой грани может оказаться и одна цифра).

Вывод: Теоретический анализ исследования по проблеме установления наиболее рационального способа извлечения квадратного корня из многоцифрового целого числа показал, что самым рациональным оказался «Деление столбиком», при котором число разбивают справа налево на грани, содержащие по две цифры. Учитывая всё вышесказанное, нужно заметить, что данный метод будет самым доступным для учащихся при изучении смежных дисциплин и не требует широкого спектра вычислительных навыков, что играет существенную роль для будущих выпускников на итоговой аттестации.

Глава 2. Экспериментальное исследование

2.1. Закономерности численных значений сторон прямоугольных треугольников

Геометрическая интерпретация квадратных корней представляется в виде диагонали квадрата и теоретически обосновывается теоремой Пифагора. Возьмём отрезок произвольной длины и разделим его пополам на две равные части, или на два единичных отрезка. На рис.1 гипотенуза С1, соединяющая катеты |a|  правильного прямоугольного треугольника, равна , гипотенуза С2, соединяющая катеты |a| и |2a| второго прямоугольного треугольника, равна.  Если продолжим откладывать единичные отрезки по горизонтальной оси и соединять их гипотенузами с вертикальным единичным отрезком, то у нас получится ряд из прямоугольных треугольников с общим единичным катетом. В этом случае индекс гипотенузы каждого прямоугольного треугольника на рис.1 будет соответствовать длине большего катета в единичных отрезках, а для произвольного n-го отрезка длина гипотенузы будет представлена как . Если представленное геометрическое построение табулировать , то получится последовательность, состоящая из сумм квадратов натуральных чисел с единицей. Каждый последующий элемент второй строки этой таблицы равен сумме предыдущего элемента со своим нечётным числом. В общем виде эту закономерность  можно представить как: , где (нечётное число 1,2,3,5,7,9,…).

Если мы ещё раз обратимся к табличному представлению данных, то получим ещё одну таблицу , связывающую множества натуральных и нечётных чисел с длинами гипотенуз единичных прямоугольных треугольников. Каждая ячейка (кроме первой) третьей строки этой таблицы равна сумме предшествующих ячеек из второй и третьей строки таблицы. Таким образом, все элементы числового ряда, образованного гипотенузами единичных треугольников, связаны друг с другом нечётными числами.

Вернёмся к первоначальному построению и отложим по горизонтальной оси отрезок с длиной равной корню квадратному из n. Так вот, в этом случае у нового единичного прямоугольного треугольника с большим катетом равным  длина гипотенузы окажется равной . Это правило работает на всём множестве N чисел от 1 до ∞. Т.е. все корни множества натуральных чисел, буквально, «произрастают» из одного единичного отрезка, т.е. располагая только единичным отрезком и циркулем с линейкой, мы можем найти корень квадратный из любого натурального числа n. Для этого нам потребуется проделать построения, представленные на рис. 2 с n-1 единичными прямоугольными треугольниками.

2.2. Глаз как оптическая система

Глаз представляет собой шаровидное тело (глазное яблоко), почти полностью покрытое непрозрачной твердой оболочкой (склерой). В передней части глаза оболочка переходит в выпуклую и прозрачную роговицу. Склера и роговица обуславливают форму глаза, защищают его и служат местом крепления глазодвигательных мышц. Диаметр всего глазного яблока около 22-24 мм, масса 7-8 г. На рисунке изображен разрез глазного яблока и показаны основные детали глаза.

Вокруг каждой гипотенузы для первых пяти единичных прямоугольных треугольников построим окружности рис.3  . Получили схему самого совершенного оптического прибора - глаза человека. Наружная ось глазного яблока соединяет передний полюс А с задним полюсом В. Расстояние между передним и задним полюсами глазного яблока является его наибольшим размером и равно примерно 24 мм. Немного неожиданно, не так ли?! Но очень похоже на то, что здесь тоже «поработали» корни квадратные. А Козьма Прутков как всегда оказался прав.

Вывод: Рассматривая закономерности численных значений сторон единичных прямоугольных треугольников, можно говорить, что все корни множества натуральных чисел, буквально, «произрастают» из одного единичного отрезка, т.е. располагая только единичным отрезком и циркулем с линейкой, мы можем найти корень квадратный из любого натурального числа n.

Заключение

Какой исследователь не задает себе вопросы, похожие на те, которые возникают в голове? И какой школьник не превращается в исследователя, обдумывая новый математический факт, или решая ту или иную задачу? Данное исследование появилось не в результате строгих логических рассуждений, а именно при попытке ответить на простой вопрос: «А что, если …?». Умение задавать себе вопрос, привели меня к поиску ответа.

При изучении темы «Квадратные корни» на уроке мы научились извлекать квадратные корни с помощью таблицы квадратов, МК, разложением на множители и с использованием ФСУ. После изучения данной темы, у меня возникла такая мысль, может есть другие способы извлечения квадратных корней, при котором извлечение квадратных корней не будет привязан к наличию всех тех знаний, которые есть в школьной программе.

В результате проведенного исследования по отсутствию представления по способам вычисления квадратных корней у будущих старшеклассников, что снижает их уверенность при изучении математики и предметов естественных дисциплин, пришли к выводу, что есть доступный способ по извлечению квадратных корней без использования Таблицы квадратов и ВТ. Таким образом, гипотеза нашего исследования нашла подтверждение. Цель исследования – установить наиболее рациональный способ извлечения квадратного корня из многоцифрового целого числа – достигнута. Таким образом, на основании результатов данного исследования изучены различные способы по извлечению квадратного корня, в которых представлены различные алгоритмы, а также степень сложности вычислений, проведён мастер-класс для одноклассников по практическому применению Способа деления уголком, а также изречение «Зри в корень» показало, что строение глаза человека каким – то образом, всё-таки связано с квадратными корнями. В ходе работы было доказано на практике, что умение извлекать корни без калькулятора не только полезно и актуально, но и очень увлекательно. Приобрести умения и навыки, удовлетворяющие таким требованиям, как правильность, осознанность, рациональность и прочность и есть уверенность в математическом образовании.

Список литературы

1. Бевз Г.П. Сборник по элементарной математике. – Киев: «Наукова думка», 1973.
2. Баранова Е.В. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. - Арзамас,2004.
3. Арцев М. Н. Учебно-исследовательская работа учащихся (методические рекомендации для учащихся и педагогов) // Журнал «Завуч». 2005. – № 6. – С.4 – 2
4. https://ru.wikipedia.org (Википкедия свободная энциклопедия)

Приложение 1

Деление столбиком: чтобы получить первую цифру корня (5), извлекают квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27). Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98). Слева от полученного числа (298) пишут удвоенную первую цифру корня (10), делят на неё число всех десятков ранее полученного числа (29:10≈2), испытывают частное (102∙2=204 должно быть не больше чем 298) и записывают его (2) после первой цифры корня и.т.д.

                    25

           102     298

              2      204

         1049       9441

               9       9441

                             0

Приложение 2

Рисунок 1

Приложение 3

Полученная зависимость, отличается от классического ряда Фибоначчи только тем, что каждое последующее число этого ряда вместо суммы двух предыдущих, равно сумме предыдущего числа с предыдущим нечётным числом.

Приложение 4

В полученной закономерности численных значений сторон единичных прямоугольных треугольников, мы не можем не заметить, что первые четыре члена представленной последовательности совпадают с номиналами монет современной РФ (1, 2, 5, 10 рублей). У этой последовательности денежных номиналов есть строгое математическое обоснование, утверждающее, что именно такой набор номиналов является оптимальным для размена монет.

Приложение 5

Рисунок 2

Приложение 6

Вокруг каждой гипотенузы для первых пяти единичных прямоугольных треугольников построим окружности. Получили схему самого совершенного оптического прибора - глаза человека. Наружная ось глазного яблока соединяет передний полюс А с задним полюсом В. Расстояние между передним и задним полюсами глазного яблока является его наибольшим размером и равно примерно 24 мм. Немного неожиданно, не так ли?! Но очень похоже на то, что здесь тоже «поработали» корни квадратные. А Козьма Прутков как всегда оказался прав.

Рисунок 3