Доказательство и применение теоремы Пифагора в древнем Китае и в современном мире

XIII Научно-практическая Конференция «ОБЪЕДИНЯЕМСЯ ЗНАНИЯМИ»

Секция: математика

Доказательство и применение

теоремы Пифагора в древнем Китае

и в современном мире

Выполнила: Владимирова Полина Евгеньевна,

ученица 8 Ф класса ГБОУ Школа №1517

                        Научный руководитель: Роньжина Вероника Викторовна,

учитель математики ГБОУ Школа №1517

г. Москва

2023г

Содержание

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Введение

В этом году на уроках геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем математики – теоремой Пифагора. Теорема очень интересная, красивая и лаконичная. Во времена Пифагора она звучала так: «Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равновелик сумме квадратов, построенных на катетах». Раз она названа в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, жившего в VI веке до н.э., то логично предположить, что он и является автором и первооткрывателем данной теоремы. Однако оказалось, что это утверждение было известно задолго до рождения Пифагора еще в древнем Вавилоне, Китае, Индии. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств теоремы Пифагора. Так как я изучаю китайский язык, то конечно мне особенно интересно все, что связано с этой страной, я захотела узнать, как в древнем Китае формулировали и доказывали теорему Пифагора, где ее применяли.

В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается. Но раз эта теорема настолько важна и популярна, то наверно с ее помощью можно решать множество практических задач. Поэтому передо мной встала проблема: недостаточность школьного материала о доказательствах теоремы Пифагора и ее применении не позволяет показать практическую значимость теоремы в деятельности человека.

Цель исследования: выяснить различные способы доказательства теоремы Пифагора и изучить ее практическое применение в древнем Китае и в современном мире.

Гипотеза:

С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи.

Исходя из вышеназванной цели, были обозначены следующие задачи:

1. Исследовать различные способы доказательства данной теоремы, а именно: современное доказательство и доказательство в Древнем Китае.
2. Показать применение теоремы при решении задач в древнем Китае.
3. Собрать информацию о практическом применении теоремы Пифагора в различных источниках и определить области применения теоремы в современном мире.
4. Обработать собранные данные по теме.

Методы исследования:

1. Анкетирование среди учащихся 8-9 классов.

2. Изучение теоретического материала и анализ научных источников.

3. Изучение методик исследования.

Глава I. Современное и древнекитайское доказательство

Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг.

Самое первое упоминание теоремы Пифагора можно найти в "Математическом трактате о гономе", из чего мы можем сделать вывод, что в ХII веке до нашей эры, а возможно и ранее, китайцы знали о прямоугольном треугольнике, а уже к VI веку до нашей эры располагали теоремой в примерном виде: "Если же в угольнике принять ширину - катет гоу - за три, а длину - катет гу - за 4, то поперечина, соединяющая концы угла будет равна 5".

Как свидетельствует этот трактат, такую древнюю формулировку услышал Чжоугун Дань из уст сановника Шан Гао, который в свою очередь ссылается на ещё более древнее время, когда Фуси, который жил примерно III тысяч веков до н.э., "управлял Поднебесной с помощью чисел".

Главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений древнего Китая – «Математика в девяти книгах». В комментариях к этой книге указывается, что доказательство теоремы основывалось на следующем чертеже (рис.1):

Мы видим, что на нем четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе.

Большой квадрат (a+b)2 больше, чем внутренний квадрат c2, на четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b:

Значит, квадрат гипотенузы равен большому квадрату, уменьшенному на два прямоугольника со сторонами a и b, то есть закрашенной фигуре:

c2=(a+b)2-2ab

c2=a2+2ab+b2-2ab

c2=a2+b2

На том же чертеже можно увидеть и другое доказательство. Квадрат гипотенузы больше, чем маленький квадрат в центре (a – b)2, на те же четыре треугольника, или на два прямоугольника:

Это нас снова приводит к той же закрашенной фигуре, равной сумме квадратов катетов.

Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис.2, в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с2, а с другой – a2+b2, т.е. c2=a2+b2. Теорема доказана. Заметим, что при таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 2, б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами a и b, т.е. c2=a2+b2.

Рис. 2.

На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата «Чжоу-би...». Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете -- 16. Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете.

Рис. 3.

Глава II. Применение теоремы Пифагора в древнем Китае

В Китае теорема Пифагора называлась правилом «гоу-гу»: термины «гоу» (исходно «крюк») и «гу» («ребро», «связка») обозначали горизонтальный (обычно меньший) и вертикальный (обычно больший) катеты. В классическом китайском трактате «Математика в девяти книгах» (II в. до н. э.) последняя книга называется «Гоу-гу» и посвящена задачам, решаемым с помощью теоремы Пифагора. Вот примеры таких задач.

1. Имеется водоем со стороной в 1 чжан (10 чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

В самом трактате «Математика в девяти книгах» решение не дается, приводится только правило, по которому можно вычислить ответ, причем в общем виде: «Половину стороны водоема умножь самое на себя, надводную часть в 1 чи умножь самое на себя, вычти это из первого, остаток раздели на удвоенную надводную часть камыша, получишь глубину воды. Прибавь количество чи надводной части, получишь длину камыша». То есть, в алгебраических обозначениях, если сторона водоема равна 2a (10 чи), а надводная часть b (1 чи), то глубина водоема равна (a2–b2) / 2b, а длина камыша (((a2–b2) / 2b) +b).

Глава III. Практическое применение теоремы в современном мире

Теорема Пифагора является основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Но мало, кто из школьников знает, где эту теорему можно применить в практической жизни.

Мною был проведен опрос среди учащихся 8-х и 9-х классов нашей школы, которым был задан вопрос, где на практике можно применить теорему Пифагора. Всего в опросе участвовало 118 человек.

Вот какие результаты были получены:

Как видим, ребята смогли назвать не очень много применений теоремы Пифагора, а некоторые вообще не смогли ответить на этот вопрос. Так где же все-таки можно применить эту важную теорему?

Навигация

Теорема Пифагора полезна для двумерной навигации. Например, если вы находитесь в море и направляетесь к точке, которая находится в 300 милях к северу и 400 милях к западу, вы можете использовать теорему, чтобы найти расстояние от вашего корабля до этой точки и рассчитать, сколько градусов к западу от севера вам нужно будет следовать, чтобы достичь этой точки. Расстояния к северу и западу будут двумя сторонами треугольника, а кратчайшей линией, соединяющей их, будет диагональ. Те же принципы можно использовать для аэронавигации. Например, самолет может использовать свою высоту над землей и расстояние от аэропорта назначения, чтобы найти правильное место для начала снижения в этот аэропорт.

Архитектура и строительство

Учитывая две прямые линии, теорема Пифагора позволяет рассчитать длину диагонали, соединяющей их. Это приложение часто используется в архитектуре, деревообработке или других проектах физического строительства. Например, предположим, что вы строите наклонную крышу. Если вы знаете высоту крыши и длину ее покрытия, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину наклона крыши по диагонали. Вы можете использовать эту информацию, чтобы вырезать балки нужного размера для поддержки крыши или рассчитать площадь крыши, которую вам нужно будет покрыть дранкой. 

Теорема Пифагора также используется в строительстве, чтобы убедиться, что здания квадратные. Треугольник, длина сторон которого соответствует теореме Пифагора, например, треугольник размером 3 на 4 на 5 футов, всегда будет прямоугольным треугольником. При закладке фундамента или возведении квадратного угла между двумя стенами строители составят треугольник из трех нитей, соответствующих этим длинам. Если длины струн были измерены правильно, угол, противоположный гипотенузе треугольника, будет прямым углом, поэтому строители будут знать, что они возводят свои стены или фундаменты по правильным линиям.

Геодезия

Геодезия - это процесс, с помощью которого картографы вычисляют числовые расстояния и высоты между различными точками перед созданием карты. Поскольку местность часто неровная, геодезисты должны найти способы систематического измерения расстояния. Теорема Пифагора используется для вычисления крутизны склонов холмов или гор. Геодезист смотрит в телескоп на измерительный стержень на фиксированном расстоянии, так что линия обзора телескопа и измерительный стержень образуют прямой угол. Поскольку геодезист знает как высоту измерительной палки, так и горизонтальное расстояние палки от телескопа, он может затем использовать теорему, чтобы найти длину склона, который покрывает это расстояние, и по этой длине определить, насколько он крутой.

Спорт

Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из теоремы Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.

Сотовая телефонная связь

В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки (антенны) часто приходится решать задачу, какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.

Лазерный дальномер

Лазерный дальномер - электронно-оптический прибор, используемый для определения дальности между различными предметами, может работать, как в помещениях, так и на открытом пространстве. Погрешность измерений лазерной рулетки колеблется от 3 до 1 мм на 10 м. Некоторые модели могут производить вычисления объемов и площадей помещений, вычислять длину недостающего катета (по теореме Пифагора) и т.д. В дальномере есть функция измерения расстояний косвенным методом по теореме Пифагора. Так как стена и пол, по сути, образуют прямой угол, то можно положить дальномер на полу на определенном расстоянии от стены измерить расстояние до стены, а затем до точки, в которую вбит гвоздь. Две измеренные стороны будут являться гипотенузой и катетом одного прямоугольного треугольника. Дальномеру с функцией Пифагора не составит труда рассчитать третий катет на основе полученных данных. Это расстояние и будет являться высотой от пола до отверстия в стене.

В физике

Молниеотвод, громоотвод, устройство для защиты зданий, промышленных, транспортных, коммунальных, сельскохозяйственных и других сооружений от ударов молнии. Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

В лесной промышленности

Для потребностей строительства бревна распиливают на брус, при этом главная задача – получить как можно меньше отходов. Наименьшее число отходов будет тогда, когда брус имеет наибольший объем. При этом сечение должно быть квадратным, а теорема Пифагора и другие рассуждения позволяют сделать такой вывод.

Транспортные задачи

Теорема Пифагора позволяет решить так называемые задачи на оптимизацию, т.е. задачи, решение которых позволяет ответить на вопрос: как располагать средствами для достижения большой выгоды и т.п.

При изготовлении мебели

Как рассчитать высоту шкафа-купе? На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборка каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали, иначе можно испортить потолок.

Расчет длины лестницы при пожаре

Допустим, нужно определить, на каком расстоянии будет опираться лестница от возгорания и на какой высоте произошло возгорание. Потом, применяя теорему Пифагора, необходимо вычислить длину лестницы. Например, возгорание произошло на втором этаже, будем считать, что на высоте 7 м, лестницу отстоит от здания на 2,5 м, значит необходимая длина лестницы равняется 7,44 м.

В ландшафтном дизайне

Дизайнер просчитывает расположение объектов, имеющимся на участке, их высоту, форму, выводит прямые углы.

В дизайне одежды

При изготовлении выкройки модели необходимо в зависимости от полноты фигуры рассчитать ширину и глубину вытачек.

Заключение

В результате исследования я выяснила некоторые области применения теоремы Пифагора. Мною было собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла применение во многих аспектах нашей жизни. Сейчас невозможно представить, как без неё можно обойтись. В процессе исследования способов доказательства этой знаменитой теоремы я расширила знания в области математики. Невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе в прошлом и настоящем, проявляемом по отношению к ней.

Изучение и анализ источников информации о теореме Пифагора показал, что:

а) теорема очень важная и проста для понимания;

б) теорема Пифагора является воплощением универсального языка математики, справедливого во всем мире;

в) область применения теоремы огромна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Список использованной литературы и источников

1. «Успехи математических наук», 1962, т. 17, № 6 (108).

2. Геометрия: Учеб. Для 7 – 11 кл. сред.шк./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992.

2. Волошинов А.В. Пифагор/ М., Просвещение, 1998.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX – X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
4. Клайн М. Математика. Поиск истины: Перевод с англ. / Под ред. и предисл. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. – М.: Мир, 1998.
5. Литурман В. Теорема Пифагора. – М., 1960.
6. История теоремы Пифагора.
7. http://th-pif.narod.ru/pract.htm.
8.  https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора.
9. http://encyklopedia.narod.ru/bios/nauka/pifagor/pifagor.html.
10. http://moypifagor.narod.ru/use.htm.
11. http://moypifagor.narod.ru/literature.htm.
12. http://festival.1september.ru.