Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение Республики Крым

"Джанкойский профессиональный техникум"

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

Тема:

СИММЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

Обучающийся:

Ракита Евгений,

Группа № 25

Профессия

23.01.14) Электромонтер устройств СЦБ

Руководитель проекта:

Ибрагимова Анифе Ришатовна,

преподаватель математики

2025 г.

Оглавление

Введение        3

Глава 1. Симметрия вокруг нас        5

1.1 История возникновения симметрии        

1.2 Симметрия. Виды симметрии.        

1.3. Симметрия в природе        

1.4. Симметрия в неживой природе        

1.5 Симметрия внутри нас        

1.6 Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства        

1.7 Симметрия в технике        

1.8 Симметрия в строительстве и архитектуре.        

1.9 Симметрия в науке и в быту.        

1.10. Симметрия в русском языке        

1.11 Симметрия в физике и алгебре        

1.12 Симметрия в музыке и танце.        

Выводы:        

Глава 2 Практическая часть        

Заключение……………………………………………………………………………………………………………………………………………9

Список использованных источников        10

Введение

“Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом

разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью:

почему симметрия понятна глазу?

Что такое симметрия?

Это врожденное чувство, отвечал я сам себе.

На чем же оно основано?”.

Л. Н. Толстой

«Симметрия» - слово греческого происхождения. Оно, как и слово «гармония», означает «соразмерность», «наличие определённого порядка, закономерности в расположении частей». Творцом симметрии является сама природа. Одни из самых первых проявлений симметрии, отмеченных человеком, - это отражение в глади водоёма и симметрия человеческого тела. Позднее люди стали использовать симметрию в архитектуре, предметах быта, орнамента. В математике рассматриваются различные виды симметрии.

                 На первом курсе по геометрии мы познакомились с понятиями осевая и центральная симметрия. Мы учились строить фигуры, симметричные относительно точки и прямой. Мы узнали, какие фигуры обладают осевой и центральной симметрией.

                В учебнике говорилось, что симметрия часто встречается в искусстве, архитектуре, технике. Мы решили узнать, все ли виды симметрии мы рассмотрели на уроке и проверить, действительно ли симметрия так распространена в окружающем нас мире.

Тема: Симметрия вокруг нас.

Объект исследования: симметрия

Гипотеза: Симметрия вносит гармонию в окружающую нас природу и наш быт.

 Актуальность: В наше время трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии. Мир, в котором мы живем, наполнен симметрией, которую можно встретить в природе и в творениях человека.

                 Мы поставили цель: сформировать представление о симметрии через анализ имеющихся уже знаний, а также анализ деятельности человека и явлений живой и неживой природы.

                 Для достижения цели мы поставили следующие задачи:

1. изучить виды симметрии;
2. выяснить, где в природе встречается симметрия;
3. выяснить, в каких изобретениях человека присутствует симметрия;
4. выяснить, в каких науках, кроме геометрии, мы можем встретиться с симметрией.

                      Методы исследования заключались:

1. в изучении интернет источников и литературы по данной теме;
2. в самостоятельном построении симметричных фигур;
3. в изучении орнаментов и определении симметрии в них, а также попытались самостоятельно нарисовать орнамент;
4. в поиске симметрии в природе;
5. в определении, где в русском языке можно встретить симметрию.
6. в проведении опыта определения центра тяжести плоских фигур и выяснения того, как он связан с симметрией.
7. в выяснении того, что все ли графики изученных в курсе алгебры функций, обладают симметрией.

Практическая значимость: заключается в том, что данный материал можно использовать на уроках математики, на внеурочных занятиях. Он развивает воображение, мышление, смекалку.

Глава 1. Симметрия вокруг нас

1.1 История возникновения симметрии

                   Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений. (Приложение 1 Рис.1)

                   Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунках и предметах быта.

                  Познавательную силу симметрии оценили философы Древней Греции, используя ее в своих теориях. Например, Анаксимандр из Милета, живший в первой половине 6 в. до н.э., использовал симметрию в своей космологической теории. В центре мира он поместил Землю-главное тело мира. Она должна была иметь симметричную форму цилиндра, а на периферии вращаются огромные огненные кольца, закрытые воздушными облаками и звездами. Земля расположена точно в центре и симметрия имеет смысл равновесия.

                  Пример симметрии- это весы, известные человеку с 3 в. до н.э. В состоянии равновесия массы грузов на разных концах одинаковы-положение симметрично относительно центра тяжести. Симметрия не только равновесие, но и покой: стоит добавить на одну из чашек весов еще груз, и они придут в движение. Нарушено равновесие, исчезает симметрия, появилось движение.

                Эмпедокл считал Вселенную сферой-воплощением гармонии и покоя. Сферос- это огромный шар, порождение двух противоположных стихий Любви и Вражды. Их гармония приводит к устойчивому равновесию мира.

                Леонардо да Винчи рассмотрел равновесие шара, имеющего опору в центре тяжести: две симметричные половины шара, уравновешивают друг друга, и он не падает.

               В науку симметрия вошла в 30х гг. 19 века в связи с открытием Гесселем 32 кристаллографических классов и появлением теории групп.

1.2 Симметрия. Виды симметрии.

Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. Современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.

Виды симметрии: центральная, осевая, лучевая, зеркальная симметрии.

(Приложение 1 рис.2)

Симметрия относительно точки, относительно прямой. Симметрия подобия.

Поворотная симметрия. Параллельный перенос. Скользящая симметрия.

Мы рассмотрели следующие виды симметрии:

1). Осевая симметрия.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси в точку А1, при этом отрезок АА1 перпендикулярен прямой в, называется осевой симметрией.

(Приложение 1 рис.3)

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси в фигура F переходит сама в себе, то она называется симметричной относительно оси в, а ось в называется ее осью симметрии. 

2). Центральная симметрия

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры в точку А1, симметричную ей относительно центра О, называется центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. Примерами таких фигур могут быть параллелограмм и окружность. (Приложение 1 рис. 4)

Выполняя преобразования симметрии, мы выяснили, что симметрия обладает следующими свойствами:

• отрезок переходит в равный ему отрезок;
• угол переходит в равный ему угол;
• любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник;
• параллельные прямые в параллельные прямые, перпендикулярные в перпендикулярные.

3). Зеркальная симметрия

Зеркальная симметрия является симметрией относительно плоскости.

Для того, чтобы определить является ли один объект в пространстве симметричным другому относительно плоскости, следует от каждой точки объекта провести прямую к каждой соответствующей точке второго объекта. Эта прямая должна пересекать плоскость и быть перпендикулярной ей. Тогда, если плоскость делит прямую на два равных отрезка, то объекты считаются симметричными относительно плоскости.

В этом случае плоскость превращается в условное зеркало, которое отражает один объект относительно другого, поэтому симметрия и называется зеркальной. Именно поэтому наиболее ярким примером зеркальной симметрии считается отражение в зеркале. (Приложение 1 рис. 5)

Задавая виды симметрии можно самим конструировать фигуры, орнаменты.

Например, я построил орнамент с помощью центральной и осевой симметрий. (Приложение 1 рис. 6)

Работая над проектом, мы обнаружили, что гербы некоторых республик, областей и городов в России обладают осевой симметрией. Приложение 1 рис. 7)

1.3. Симметрия в природе

                  Симметрия в природе- это мир вокруг нас. Наука, изучающая ее, называется биосимметрией.

                  Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания, защитить себя и выжить.

                  Рассмотрим виды симметрии в растительном мире.

Для листьев характерна зеркальная симметрия. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

Центральную симметрию можно наблюдать у следующих цветов: лук, одуванчик, кувшинка, мать и мачеха.

                 В основе строения любой живой формы лежит принцип симметрии. Мы убедились в этом сами.

Листья растений обладают осевой симметрией, а в строении некоторых цветов (например, кактусов) присутствует центральная симметрия.

Зеркальная симметрия характерна для представителей животного мира. Эта симметрия очень ярко выражена у бабочек. Симметрия левого и правого крыла проявляются здесь с почти математической строгостью. (Приложение 1 рис. 8)

1.4. Симметрия в неживой природе

                  Еще более ярко и систематически симметричность обнаруживается в неживой природе, например, в кристаллах. Сахар и поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов. Кристаллы – это твердые тела, имеющие естественную форму многогранников.

                  Каждая снежинка – это маленький кристалл замершей воды. Сфотографировать и увеличить фото снежинки у меня не получилось, поэтому я нашел фотографию в интернете. (Приложение 1 рис. 9)
                Нередки случаи переносной симметрии, например, веточки рябины. Также можно встретить симметрию в виде конуса. Она видна на примере практически любого дерева. Ствол служит осью симметрии. Симметрия- это базовое свойство большинства живых существ. Быть симметричным очень удобно. (Приложение 1 рис. 10)

Существует два основных типа симметрии у животных.

Центральная симметрия. Встречается у животных, чье тело имеет шаровидную форму, а условные линии, проходящие через центр тела, разрезают тело животного на равные части. Этот тип характерен для животных, которые плавают в воде, сидят или качаются, для таких животных еда доступна во всех направлениях.

Двусторонняя симметрия тела животного отличается тем, что правая сторона тела является зеркальным отражением левой стороны тела. У двустороннесимметричных животных можно различить левую и правую половины, передний и задний концы тела. Данная симметрия присуща животным, способным к самостоятельным передвижениям. 

1.5 Симметрия внутри нас

Несмотря на то, что огромное количество предметов, обладающих симметрией находится вокруг нас, в нашем теле есть органы, которым тоже не чуждо понятие «симметрия». Почти все подобные органы симметричны относительно той или иной оси (т.е. осевая симметрия). Например, легкие, почки, глаза, руки, ноги. (Приложение 1 рис. 10)

1.6 Симметрия в предметах декоративно-прикладного искусства

Принцип симметрии используется в построении орнамента.  Орнамент предназначен для украшения различных предметов, одежды, женских украшений, жилища человека и архитектурных сооружений. (Приложение 1 рис. 11)

1.7 Симметрия в технике

Практически все технические объекты обладают симметрией. Симметрия в технике обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит минимальное сопротивление движению. Колёса, различные механизмы обладают осевой и центральной симметрией. Автомобили обладают осевой симметрии. (Приложение 1 рис. 12)

1.8 Симметрия в строительстве и архитектуре.

Осевую, зеркальную и центральную симметрию довольно часто можно встретить в архитектурных строениях.

Например, Большой театр в Москве обладает зеркальной симметрией, МГУ – осевой, а фонтаны, купола соборов и храмов – ещё и центральной симметрией.

 (Приложение 2 рис. 13)

1.9 Симметрия в науке и в быту.

Симметрия в физике— это свойство физических величин, детально описывающих поведение системы, оставаться неизменными (инвариантными) при определенных преобразованиях. (Приложение 1 рис. 14)

1.10. Симметрия в русском языке

В русском алфавите 33 буквы и некоторые из них обладают осевой и центральной симметрией (А, В, Е, Ж, З, М, Н, О, П, С, Т, Ф, Х, Ш, Э, Ю) (Приложение 1 рис. 15)

Так же мы нашли слова, которые обладают осевой симметрией, например,

шалаш, оно, топот, око, дед, кабак.

В русском языке есть даже фразы, которые обладают симметрией (их называют палиндромами), например,

• город дорог;
• барин и раб;
• бел хлеб;
• Лёша на полке клопа нашёл;
• Вор в лесу сел в ров.
• А роза упала на лапу Азора.

1.11 Симметрия в физике и алгебре

                     В физике существует понятие «центр тяжести тела».

Центр тяжести - это геометрическая точка, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении этого тела в пространстве.

                    При подготовке к экзамену по математике мы повторяли построения графиков всех изученных функций и выяснили, что почти все графики (линейной функции, обратной пропорциональности, квадратичной функции) обладают осевой симметрией, а графики функции у = х3 – центральной симметрией относительно начала координат.

А у =    не имеет центра симметрии и оси симметрии. (Приложение 1 рис. 16)

Зеркальная симметрия в числах: числа, состоящие из 0 и 8 симметричны.

Например, 8 808 888 88088.

Так же симметричны знаки арифметических действий, скобки- ( ) = + х.

 1.12 Симметрия в музыке и танце.

Симметрия часто используется в таком виде искусства, как музыка. Ряд музыкальных форм строятся симметрично. В этом отношении особо характерно рондо (от фр. rond – круг). В рондо музыкальная тема многократно повторяется, чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях.

Другой вариант зеркального отражения в музыке более понятен для не музыканта. В этом случае зеркальная плоскость ориентирована перпендикулярно к нотным линейкам. Отраженные ноты кажутся такими, какими они действительно выглядели бы в зеркале. Начиная от зеркальной плоскости оригинал проигрывается в обратном направлении. Такое зеркальное нотное письмо носит название «ракоходное», по ассоциации с обыкновением раков пятиться назад.

                     Симметрию в балете составляют уравновешенное расположение тела танцора, местонахождение тела в пространстве. Симметрия – это спокойный, невозмутимый, логичный и простой элемент хореографии. Принцип симметрии прослеживается во множестве ранних балетов, где танцоры в одинаковом количестве выстраивались в линии и формировали на сцене однородную структуру. Также симметрией называется ситуация, при которой все танцоры одновременно исполняют одно и то же движение. Симметрия присуща немалому числу балетных позиций.

Выводы:

- Симметрия играет огромную роль в искусстве, математике, музыке, поэзии; в технике, в быту;

- В природе: у растений и животных. Ветки растений – симметричны. Симметрия форм, окраски цветков придает им красоту. У цветков, как правило, много осей симметрии;

- Человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии;

- В русском языке больше всего букв, которые имеют вертикальную ось симметрии, а меньше всего букв поворотной симметрии;

- Симметрия широко используется в архитектуре. Симметрия форм зданий, отдельных их элементов придает им красоту. Использование симметрии в конструкции зданий, симметричных элементов в отделке, а также симметрично расположенные строения создают красоту и гармонию.

Глава 2 Практическая часть

Провели анкетирование среди обучающихся первого курса.

1. Что означает слово "симметрия"?

2. Какие виды симметрии вы знаете?

3. Какие из предложенных объектов симметричные?

 4. Является ли симметрия неотъемлемой частью нашей жизни?

Результаты анкетирования. (Приложение 2 рис.1, 2, 3)

Заключение

                     В процессе работы над проектом мы расширили свои знания о симметрии, убедились, что симметрия присутствует во многих областях жизни, с ней мы сталкиваемся в живой и не живой природе, при изучении различных предметов. Симметрия действительно создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

                     Симметрия – это фундаментальное свойство природы, с которым связаны различные законы и свойства.
                  В своем проекте по математике "Симметрия вокруг нас" мною была изучена теория принципа симметрии, рассмотрены классы симметрии, а также исследован принцип симметрии в природе, в организме человека, в предметах декоративно-прикладного искусства, в музыке, в технике, в русском языке, в физике и в геометрических преобразованиях графиков функций.

                  Исследовательская работа по математике на тему "Симметрия вокруг нас" будет интересна обучающимся первого курса, рассматривает симметрию как основу порядка, красоты и совершенства в окружающем нас мире.

                 В своей работе приводил примеры осевой симметрии, центральной симметрии, скользящей и зеркальной симметрии.

В процессе своей работы я расширил свои знания о симметрии, убедился, что симметрия присутствует во многих областях жизни, с ней мы сталкиваемся в живой и не живой природе, при изучении различных предметов. Симметрия действительно создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

                 Над темой я работал с сентября месяца. В дальнейшем я планирую расширять свой кругозор и пополнять, и расширять знания по этой теме.

               Я выбрал эту тему потому, что люблю математику.

Надеюсь на то, что моя исследовательская и практическая работа вам была понятна, интересна и познавательна.

Список использованных источников

1. Атанасян Л.С. учебник по геометрии для 10-11 классов.
2. Вейль Герман. Симметрия. М: «Наука», 1968.
3. Л. Тарасов «Этот удивительно симметричный мир».
4. Кошелев А.И. Проявление симметрии в различных формах материи.
5. О. Иванова. Этот симметричный мир. - Первое сентября. – 2006 № 6.
6. Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство «Наука». – Москва 1971г. – 416 стр.
7. Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997 г. – 704 стр.
8. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль.
9. Гильде В.  Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982 г.
10. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М: «Наука»,1972
11. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. М: «Недра», 1968

Интернет- ресурсы