Математические лайфхаки. Как быстро считать в уме

XIX международный конкурс научно- исследовательских и творческих работ учащихся

«Старт в науке»

 Научно-исследовательская работа

 Предмет математика

 НАЗВАНИЕ РАБОТЫ 

«Математические лайфхаки. Как быстро считать в уме»

Выполнил: Косых Иван

обучающийся 7а класса

 МОУ «Подовинновская СОШ».

Руководитель: Глазырина С.Н.

учитель математики

 МОУ «Подовинновская СОШ» 

с. Подовинное, 2023

Содержание

1. Введение…………………………………………………………………………
2. Основная часть………………………………………………………………….

1. Анкетирование………………………………………………………………
2. Старинные способы вычислений…………………………………………
3. Приемы быстрого умножения натуральных чисел……………………

3. Заключение……………………………………………………………………….
4. Литература………………………………………………………..

1. Введение.

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.  

Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Я хочу остановиться на способах умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Я поставил перед собой задачу, найти и опробовать различные приёмы быстрого вычисления, узнать приемы устного счета, которые использовали наши далекие предки, сравнить с приемами, применяемыми в наше время.

 Знание упрощенных приемов устных вычислений ос­тается необходимым даже при полной механизации всех наибо­лее трудоемких вычислительных процессов. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результатах вычислений, выполненных с помощью калькуля­тора. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Мною была выдвинута гипотеза: знание старинных и современных приемов вычислений могут облегчить сам процесс вычисления, улучшить навыки устного счета, а также повысить вычислительную культуру учащихся.

 Цель исследования:

1. Изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша и бумаги;
2. Изучить старинные приемы вычисления.
3. Создание мини справочника, содержащего приемы устного счета.

       В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

1. Исследовать, владеют ли школьники приемами устного счета
2. Изучить приемы счета, используемые в старину.
3. Изучить влияют ли приемы устного счета на скорость вычисления.
4. Собрать материал по теме, проанализировать и представить в виде исследовательской работы.

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы:

• опрос (анкетирование),  
• анализ (статистическая обработка данных),
•  работа с источниками информации,
•  практическая работа,
• наблюдения.

• поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
• практический метод выполнения вычислений с применением старинных и современных приемов вычисления;
• анализ полученных в ходе исследования данных.

2. Основная часть.

1. Анкетирование.

За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос.

Для начала, я провела анкетирование в 5 - 11 классах нашей школы. Задавала ребятам простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении, каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы старинного счета? Хотели бы научиться?  

В опросе приняли участие 77 человек. Проанализировав результаты, я сделала вывод, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы старинного счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться.  

Про анализировав полученные ответы, получила следующие результаты:

1. Уметь считать нужно, потому, что это пригодится в жизни, считают 21 ученик, чтобы хорошо учиться в школе – 11, чтобы быстро решать – 11, чтобы быть грамотным – 51 ученик и не обязательно уметь считать – всего 3 человека.
2. Навыки хорошего счета необходимы при изучении математики, считают 68 учащихся, а также при изучении физики – 33 учащихся в основном это ребята из старшего звена, химии – 26 старшеклассников, информатики – 28, технологии – 12 человек.
3. Приемы быстрого счета знают 20 учеников (много приемов), 48 учеников (несколько приемов), не знают приемов быстрого счета – 13 учащихся.
4. Применяют приемы быстрого счета 57 учащихся, не применяют – 23 ученика.
5. Хотели бы узнать приемы быстрого счета 67 из 77 опрошенных учащихся.

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не слышали ни о каких старинных приемах вычисления, так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Было принято решения не просто познакомить их с приемами быстрого счета, а также с приемами, существовавшими в старину и выпустить мини справочник, содержащий наиболее распространенные и не сложные приемы быстрого вычисления.

2. Старинные способы вычисления.

1. Умножение для ленивых или крестьянский способ умножения.

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим  47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                          

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

2. Метод «решетки».

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).    

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

• рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
• затем квадратные клетки делим по диагонали;
• вверху таблицы записываем число 987;
• слева таблицы число 12;
• теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;
• после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;
• результат читаем по стрелке.

        Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

        Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

3. Умножение на пальцах.

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

3. Приемы быстрого умножения натуральных чисел.

1. Умножение на 11

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превыша­ет 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72x11 = 7(7 + 2)2 = 792;

35x11 = 3(3 + 5)5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которо­го 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оста­вить без изменения.    

Пример:

94 х 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

2. Умножение на 22, 33, .... 99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 х llj 55 = 5 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11 (см. выше п. 1):

24 х 22 = 24 х 2 х 11 = 48 х 11 = 528;

23 х 33 - 23 х 3 х 11 = 69 х 11 = 759;

18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792.

Кроме того, можно применить закон об одновременном увели­чении в равное число раз одного сомножителя и уменьшении дру­гого:

28 х 33 = (28 х 3) х (33: 3) = 84 х 11 = 924,

48 х 22 = (48 х 2) х (22: 2). «96 х 11 = 1056 и т.д.

3. Умножение на число, оканчивающиеся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчи­вающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а дру­гой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 х 5 = (44: 2) х 5 х 2 = 22 х 10 = 220;

28 х 15 = (28: 2) х 15 х 2 = 14 х 30 = 420;

32 х 25 = (32: 2) х 25 х 2 = 16 х 50 = 800.

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать неболь­шие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное чис­ло (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузнач­ные числа:

Примеры:

48 х 65 = (48: 2) х 65 х 2 = 24 х 130 = (24 х 10 + 24 х 3) х 10 = (240 + 72) х 10 = 312 х 10 = 3120;

36 х 85 = (36: 2) х 85 х 2 = 18 х 170 = (18 х 10 + 18 х 7) х 10 = (180 + 126) х 10 = 306 х 10 = 3060.

Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95, надо хорошо знать, как умножать устно двузначные числа такого вида:

14 х 18 - 14 х (10 + 8) = 14 х 10 + 14 х 8 = 140 + 112 - 252;

13 х 19 = 13 х (20 - 1) = 13 х 20 - 13 = 260 - 13 = 247.

4. Умножение и деление на 25 и 75

Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4. На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4:

Примеры:

124 делится на 4, так как 24 делится на 4;

1716   делится   на   4, так   как 16   делится   на   4;

1800   делится   на   4, так   как   00   делится   на   4.

Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100.

Примеры:

484 х 25 = (484: 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 - 124: 4 х 100 - 3100.

Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4.

Примеры:

12 100: 25 = 12 100: 100 х 4 = 484; 3100:25 = 3100:100x4 = 124.

5. Умножение и деление на 75

Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умножить на 300.

Примеры:

32 х 75 = (32: 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400; 48 х 75 = 48: 4 х 300 = 3600.

Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4.

Примеры:

2400:75 = 2400:300x4 = 32; 3600: 75 = 3600: 300 х 4 = 48.

6. Умножение и деление на 50

Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100.

Примеры:

432 х 50 = (432: 2) х 50 х 2 = 216 х 100 = 21 600; 848 х 50 = 848: 2 х 100 = 42 400.

Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.

Примеры:

21 600: 50 = 21 600: 100 х 2 = 432; -.' 42 400: 50 = 42 400: 100 х 2 = 848. 

7. Умножение и деление на 111,1111 и т.д.

Кто знает, как умножать и делить на 11, может легко умно­жать и делить на 111. Рассмотрим примеры. Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.

Примеры:

24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664;

36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996;

24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664;

36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996.

Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.

72 х 111 111 = 7 999 992.

Раздвинуть 7 и 2 на 5 шагов.

Если единиц 7, то шагов будет на 1 меньше, то есть 6.

Если единиц 9, то шагов будет 8 и т.д.

Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.

Примеры:

48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328;

75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325.

В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8, далее 2 + 1 = 3;

а последние цифры 2 и 5 оставляем без измене­ния.

Получаем ответ:8325

85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425;

69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659.

8. Умножение на 9, 99, 999

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором

множителе, и из результата вычесть первый множитель.

286∙9=286∙ (10 - 1) =2860 – 286=2574,

23∙99=23∙ (100 - 1) =2300 – 23=2277,

18∙999=18∙ (1000 - 1) =18000 – 18=17982

9. Умножение на 5, 25, 125

Разделить число соответственно 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.

46∙5=46:2∙10=230,

48∙25=48:4∙100=1200,

32∙125=32:8∙1000=4000.

10. Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков

    К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат

числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число. 

Этот способ основан на тождестве: (50+а)2=100∙(25+а) +а2.

51²=2601

Решение.                        

а) 25+1=26, пишем 26;

б) 1²=1, приписываем 01.

58²=3364,                     

а) 25+8=33;

б) 8²=64.

11. Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 единиц

      Примеры.

 25²=625,          

а) 2(2+1) =6, пишем 6;

б) 5²=25, пишем 25.

75²=5625,          

а) 7(7+1) =56, пишем 56;

б) 5²=25, пишем 25.

То есть, число десятков умножаем на число, большее его на единицу и приписываем справа квадрат 5.

12. Способ изменения сомножителей

     24∙25 = (24:4)∙(25∙4) = 6∙100 = 600,
    17∙12 = (17∙3)∙(12:3) = 51∙4 = 204.

При этом сведение одного из множителей к однозначному числу - лишь частный

 случай, скажем:

28∙55 = (28:2) ∙ (55∙2) = 14∙110, что вычислять уже легче.

13. Умножение чисел, близких к 100

97       *   96    =  9312

100-97  100-96  100-7

3        +        4 = 7

                3 *4 = 12

3. Заключение.

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется, чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в IV веке д.н.э. – Пифагора– «Всё есть число!».

Описывая старинные способы вычислений, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.

 Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

А чтобы помочь ребятам научится пользоваться приемами вычисления без калькулятора, мной был выпущен мини-справочник для школьников «Считаем в уме, считаем быстро, считаем правильно!», который включает в себя приемы вычислений, описанных в данной работе.

4. Список использованных источников.

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.
2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся, - М. Просвещение, 1986г.
3. Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г.
4. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи.  М., Просвещение, 1977г.
5. Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.