Исследовательская работа "Трапеция"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Исследовательская работа "Трапеция" | 1.14 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель работы: Систематизировать все сведения о трапеции Задачи: Изучить свойства трапеции и показать их применение при решении задач ГИА и ЕГЭ. Изучить свойства равнобедренной трапеции и показать их применение при решении задач ГИА и ЕГЭ. Показать применение формул площади трапеции при решении задач ГИА и ЕГЭ.
1. Трапеция и её свойства Прямоугольная трапеция Равнобедренная трапеция
Общие свойства трапеции A D B C K M a b P 1 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 2.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований. Доказательство Доказательство Пример
Пример (задание В6 ЕГЭ по математике 2012 г) A D B C K N Решение: KN = ( 7 – 5 ) : 2 = 1 Ответ : 1. Задача: Основания трапеции равны 5 и 7. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции. (см. рис)
3. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2 ab /( a + b ), где a и b — основания трапеции.(Формула Буракова) EF – среднее гармоническое трапеции Доказательство
5.Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии. 6. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности. Доказательство
7. Сумма углов, прилежащих к любой боковой стороне, равна 180°: α + β = 180 0 γ + δ = 180 0 A B C D Пример( № 11 ГИА 9 кл 2012): Угол С трапеции ABCD на 30 0 меньше угла D (см. рис). Найдите угол D . Ответ дайте в градусах. A B C D Решение: < C + < D = 180 0 , < D = < C + 30 0 < C +< C + 30 0 = 180 0 2 8.Треугольники АОВ и DOC, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики (имеют равные площади) и площади этих треугольников равна среднему геометрическому площадей двух других треугольников, образованных основаниями трапеции и диагоналями. Доказать: 1) S AOB = S DOC 2) S AOB = S DOC = Доказательство: Пример Доказательство: Треугольники ABD и ACD имеют общее основание и равные высоты BM и CK , значит их площади равны. S AOB = S ABD – S AOD S DOC = S ACD – S COD , следовательно S AOB = S DOC A B C D О M K A B D C O S 1 S 0 S 2 S 0 2) Обозначим S AOB = S DOC = S 0 , S В O С = S 1 , S AOD = S 2 , высота СК = h, BC =a, AD =b Из подобия треугольников BOC и DOA следует, что Что и требовалось доказать. Следствие: Пример: Диагонали AC и BD трапеции АВСD пересекаются в точке О. Площади треугольников ВОС и AОD равны 9 и 16 соответственно. Найти площадь трапеции. Решение: A B D C O S AOB = S DOC = Ответ : 49. 9 . Треугольники AOD и СОВ, образованные основаниями и отрезками диагоналей, подобны . Коэффициент подобия к равен отношению оснований: Отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия. A B D C O 10.В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. 11.Около трапеции можно описать окружность, если сумма её противоположных углов равна 180 0 . A B C D 2.Свойства равнобедренной трапеции A B K C M D N 1. Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции. Доказательство Пример Доказательство: Пусть в трапеции АВС D ВС// А D , АВ = С D , К – точка пересечения продолжений боковых сторон, М и N - середины оснований, тогда М , N и К лежат на одной прямой. < A = < D как углы при основании равнобедренной трапеции. Треугольник КА D – равнобедренный (по признаку) К N – медиана (А N = ND ), значит, и высота, то есть М N ┴ AD . При симметрии относительно прямой М N точки А и В переходят в точки С и D и наоборот. Прямая М N – ось симметрии трапеции. Что и требовалось доказать. Пример: (№24 ГИА 2014) В равнобедренной трапеции АВС D длина боковой стороны равна длина основания угол А при сновании равен 60 0 , О – точка пересечения диагоналей, К – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Найти длину отрезка КО. A B K C M D N О Решение: АВС D – равнобедренная трапеция. Прямая КО проходит через середину оснований и перпендикулярно к ним (КО┴ ВС, КО ┴А D ). Пусть М и N - середины оснований. < A = < D =60 0 , поэтому треугольник АК D – равносторонний. ВС//А D , поэтому треугольник ВКС – равносторонний. KM – высота Δ BKC, KN – высота Δ AKD, ΔBOC ∞ ΔDOA, Обозначим МО = х, тогда N О = х - 21 KO= KM + MO =63 + 9 =72 Ответ: 72. a A B C D M b 2. Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований. Доказательство Пример Доказательство : A B C D M b K a Проведем высоту CK . ΔABC = Δ DCK по гипотенузе и катету) следовательно AM = KD . BC = MK = a , т.к BCMK - прямоугольник AM = KD = (AD-BC):2 = (b- а ):2 Что и требовалось доказать. C B F D A 29 21 Пример ( № 24 Гиа 2014 )Средняя линия трапеции равна 21, а диагональ – 29. Найти высоту, проведенную к основанию. Дано: MN =21, AC = 29 Найти: CF =? Решение: AF = MN =21, FC =29 ( CF ┴ AD ), По теореме Пифагора для треугольника ACF : AC 2 = AF 2 + CF 2 CF 2 = AC 2 - AF 2 CF 2 =29 2 – 21 2 = 400, CF =20 Ответ: 20. 3. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны. BD = AC Доказательство: Треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними ( AB = CD , угол А равен углу D , так как трапеция равнобедренная, сторона AD – общая), следовательно BD = AC . Что и требовалось доказать. A B M N C P D K 4. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба .( №21 ГИА 2012) Доказательство: Точки M , N , P и K - середины сторон АВ, CD и DA равнобедренной трапеции ABCD . Отрезки MN и KP параллельны AC и равны ее половине как средние линии треугольников ABC и ADC ; аналогично MK и NP параллельны BD и равны ее половине. Поэтому четырехугольник MNPK - параллелограмм. Треугольник Δ ABC =Δ DCA , MK и РК - средние линии этих треугольников, значит, MK = PK . Аналогично MN = NP по 2 сторонам и углу между ними. Таким образом, в параллелограмме MNPK все стороны равны, а значит, он является ромбом. Что и требовалось доказать. A a D B C b 5. Боковая сторона равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность равна полусумме оснований Доказательство: Окружность вписана в трапецию значит AB + CD = BC + AD , AB = CD , поэтому 2*АВ= BC + AD Что и требовалось доказать. A a D B C b M N 6. Боковая сторона равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна средней линии трапеции. AB = MN 7. Периметр равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равен 4*АВ A a D B C b H 8. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна Доказательство Из прямоугольного треугольника ABH найдем BH : AB 2 =AH 2 + BH 2 , BH 2 = AB 2 – AH 2 ) Что и требовалось доказать. A a D B C b O 9. 10. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. 11. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований. AC┴BD 3.Формулы площади трапеции 1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: Пример Пример (№17 ГИА 2012): 6 16 10 10 Найти площадь трапеции изображенной на рисунке: Решение: По теореме Пифагора: a = 10, b = 6+16 = 22 Ответ: 128 Формула площади трапеции, где a,b – основания трапеции, c.d – боковые стороны трапеции: Пример Доказательство: Рассмотрим трапецию АВС D с основанием А D и BC . Обозначим через К и М середины боковых сторон AB и CD . Рассмотрим еще одну точку - середину P диагонали BD . Тогда KP - средняя линия треугольника ABD , а PM - средняя линия треугольника BDC . KP и PM параллельны соответственно AD и BC , а поскольку AD и BC параллельны между собой, точки K , P и M лежат на одной прямой, параллельной основаниям трапеции. Кроме того, КМ=КР+РМ= ½ (А D + BC ) Что и требовалось доказать . A D B C K M a b P - середина AC , - середина BD Доказательство: Проведем в трапеции ABCD среднюю линию ML . По свойству средней линии трапеции ML || AD и ML || BC , ML = Так как в Δ BCD через середину стороны CD проведена прямая, параллельная основанию BC , то она является средней линией ΔВ CD , проходит через середину стороны BD - точку . = 1/2BC Значит, средняя линия трапеции проходит через точку . Аналогично доказывается, что = 1/2BC Что и требовалось доказать. Доказательство формулы Буракова: Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны а и в Что и требовалось доказать. Доказательство свойства № 5: Обозначаем через L и Р середины оснований AD и ВС трапеции ABCD ; М-точка пересечения её диагоналей, К - точка пересечения продолжений боковых сторон. Докажем, что точки K , L . P лежат на одной прямой. Это следует из подобия треугольников BKC и AKD . В каждом из них отрезки KP и KL соответственно являются медианами, а значит, они делят угол при вершине K на одинаковые части. Точно также на одной прямой расположены точки M , P , L . (Здесь это следует из подобия треугольников BMC и DMC .) Значит, все четыре точки K , P , M и L лежат на одной прямой, т.е прямая KM проходит через P и L . Что и требовалось доказать. A B C D Доказательство свойства № 7: Прямые BC и AD - параллельны, AB – секущая, α + β = 180 0 - как сумма односторонних углов. Что и требовалось доказать . В трапеции ABCD известны длины оснований BC =16, AD = 19 и боковых сторон AB = 5, CD = 4. Найти площадь этой трапеции. Решение: a=16 , b=19, c=5, d=4 Ответ: 70. Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. A B C D Пример Пример (№17 ГИА 2011): Найти площадь трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны и соответственно равны 19 и 26. Решение S= 0.5*19*26*sin 90 0 =19*13*1=247 Ответ: 247. A B C D
Как представляли себе будущее в далеком 1960-м году
Цветущая сакура
Любили тебя без особых причин...
Почему Уран и Нептун разного цвета
Два морехода