Дополнения к табличным значениям тригонометрических функций

Форум юношеских талантов:

Соревнование молодых исследователей программы «Шаг в будущее» в Центральном федеральном округе РФ,

Московская открытая конференция школьников «НТТМ-Москва’10»

Математика

Научно-исследовательская работа

по математике на тему:

«Дополнения к значениям тригонометрических функций».

Исполнитель: Гарсаян Гоар Юрьевна,  10 «А» класс

МОУ СОШ №21 г. Подольска.

Руководитель – Буянова Анна Матвеевна

 учитель математики МОУ СОШ №21 г. Подольск.

2010год.

Цель работы.

   Данная работа посвящена  изучению значений тригонометрических функций нестандартных углов  и способов построения правильных многоугольников.  

Я поставила себе следующие задачи:

1. Нахождение способов вычисления значений тригонометрических функций нестандартных углов;
2. Изучение литературы о тригонометрии;
3. Рассмотрения различных путей построения правильных пятиугольников, семиугольников, десятиугольников.

Содержание:

1. Введение…………………………………………………………………………….………..4
2. Решение задачи………………………………………………………………………...…..5-7
3. Нахождение значений тригонометрических функций нестандартных углов………..7-10
4. История построения правильных многоугольников………………………………..........11
5. Построение правильного пятиугольника…………………………………………………12
6. построение правильного семиугольника……………………………………………….....13
7. Другие способы построения правильных многоугольников. …………………………...14
8. Вывод…………………………………………………………………………..……………15
9. Литература…………………………………………………………………………………..16

Введение.

Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии.

Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) впервые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птоломею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов.
Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах
; хорды тоже измерялись градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса), минутами и секундами. Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян.

Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Таким образом в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах.

  На олимпиаде по математике в МГТУ им. Н.Э. Баумана была предложена следующая задача, которую я решить не смогла, т.к. мне не хватило знаний. В то время  мы только  стали изучать тригонометрию.

    Правильный десятиугольник со стороной 2 см вписан в окружность. Не пользуясь калькулятором и таблицами, найдите точное значение выражения , где R-радиус описанной вокруг десятиугольника окружности.

    На тот момент мне были известны табличные углы  I четверти 30°,45°,60° и т.д. Я заполнила эту таблицу и координатный круг от 0 до .

Раз в этой задаче нельзя воспользоваться таблицами значений, нужно четко знать значения тригонометрических функций угла 36° (это центральный угол для правильного 10-угольника).

   И я поставила  себе задачу узнать значения тригонометрических функций нестандартных углов, таких как 18°, 36°, 72° и т.д.  Найдем sin18°.

M

В

К

А

С

а

b

a

36°

72°

72°

а-x

x

   Рассмотрим  равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС) с углом при вершине 36°. Углы при основании треугольника АВС равны 72°. Проведем биссектрисы углов ВАС и АВС. Отрезки биссектрис, лежащие внутри треугольников, обозначив через АМ и ВК.

   Рассмотрим треугольник АМС. В треугольнике АМС  ∠ МАС=36°, ∠АМС=∠BAC. Следовательно, треугольник АМС подобен треугольнику АВС (по двум углам).

    Обозначим ВС через а, АС через b, а МС через х, условие подобия треугольников АВС и АМС можно записать в виде:

                      или     где MC=x

Так как биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, которую пересекает, на  отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то имеем

                     или  

Возьмем в треугольнике АВС высоту ВК и рассмотрим прямоугольный треугольник ВКС с острым углом  КВС в 18°

  Таким образом, для нахождения значения sin18° необходимо из системы уравнений (1) и (2) найти величину . Из уравнения (1) получаем

Подставив выражение для х в уравнение (2), получим

Введя новую переменную  , последнее уравнение можно записать в виде

z²+z-1=0

Находим корн этого уравнения :

Таким образом, величина  равна  , т.е.  .

Далее, используя формулу  и определения функций tgx, ctgx, можно найти значения cos18°, tg18°, ctg18°, а по формулам двойного угла sin36°, cos36°. Так, например, sin36° можно вычислить следующим образом:

Я узнала значения sin18°, cos18°, tg18°, ctg18°. Используя формулы двойного угла и формулы приведения, я нашла значения других внетабличных углов и заполнила таблицу:

И теперь уже моя  таблица стала больше, а координатный круг-весомее.

От себя хочу добавить, что совсем необязательно зубрить значения функций этих углов, достаточно уметь их вывести с помощью формул.

И опять я возвращаюсь к той задаче, которая сподвигла меня на это исследование. Вот её решение:

    Мы вычислили, что   . Тогда:

Ответ:

   Вопрос: а как же построить правильный пятиугольник, не используя транспортира? Мы умеет строить правильные треугольники, четырехугольники, шестиугольники. Исходя из этого делением отрезка пополам можно построить правильные восьмиугольники, двенадцатиугольники и т.д.

   А как же построить правильный пятиугольник, семиугольник, десятиугольник?

История

Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.

Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m — 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2 — числа 3 и 5, а k1,k2 принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма*, к которым, кроме 3 и 5, относятся 17, 257 и 65537, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно , где k0 — целое неотрицательное число, принимают значения 0 или 1, а pj — простые числа Ферма.

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.

Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.

С тех пор проблема считается полностью решённой

*Числа Ферма — числа вида , где n — неотрицательное целое число. Последовательность чисел Ферма начинается так:

3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617, …

Построение правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D. Обозначьте её пересечения с оригинальной (зелёной окружностью) как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Построение правильного семиугольника

Приближённое построение правильного семиугольника

Точное

Согласно теореме Гаусса — Ванцеля, правильный семиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки, но можно построить с помощью циркуля и размеченной линейки то есть линейки, на которой можно делать отметки и с помощью которой можно проводить прямые, проходящие через какую-нибудь точку, причём отмеченные на линейке точки будут принадлежать данным линиям (прямым или окружностям).

Приближённое

Приближённое (но с достаточной для практики точностью ≈0,2 %) построение семиугольника показано на рисунке. Из точки A на окружности радиусом, равным радиусу окружности, проводим дугу BOC. Отрезок и даст искомое приближение.

Существуют и другие пути построения правильных многоугольников. Германский математик Г а у с с (умерший в 1755 г.) доказал, что посредством циркуля и линейки можно делить окружность на такое число равных частей, которое, будучи п р о с т ы м, выражается формулой 2n+1. Например; можно разделить окружность на 17 равных частей и на 257 равных частей, так как 17 и 257 суть простые числа вида 2°+ 1 (17=2+ 1, 257=2 n+I). доказательство Гаусса выходит из пределов элементарной математики. Доказано также, что с помощью линейки и циркуля окружность  можно делить на такое с о с т а в н о е число равных частей, в состав которого не входят никакие иные простые множители, кроме: 1) множителей вида 2 n+ 1

2) множителя 2 в какой угодно степени.

   Например, в окружность с помощью циркуля и линейки можно вписать правильный 170-угольник (170=2·5·17).

  На всякое иное число равных частей окружность может быть раз делена только п р и б л и ж е н и о. Пусть, например, требуется разделить окружность на семь равных частей (или вписать правильный семиугольник). Тогда предварительно вычислим величину центрального угла; он равен  . Построить точно такой угол

мы не можем, но по транспортиру приблизительно мы можем отложить при центре угол в 51° и тогда получим приблизительно  часть окружности.

                                               Вывод.

   Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока.

    Таким образом, мы видим, что роль тригонометрии в науке очень велика. Поэтому, её исследование очень актуально в наше время.

    В своей работе я  исследовала способы нахождения значений тригонометрических функций нестандартных углов и рассмотрела проблемы построения правильных пятиугольников, семиугольников, десятиугольников и других правильных многоугольников.

                                     Литература.

1. Научно-методический журнал «Математика  в школе.» №6 1986 года издания (стр. 59-60).
2. Киселёв А.П. «Элементарная геометрия». 1980г. Издательство «Просвещение».
3. Гельфанд И.М. «Тригонометрия».
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Tg
5. http://neive.by.ru/trigonometrija.html
6. Колмогоров А.Н. «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс.
7. Алгебра 9 класс. Макарычев.