Магический квадрат "Математические модели головоломки"

Конкурс научных проектов школьников

в рамках краевой научно-практической конференции «Эврика-юниор»

Малой академии наук учащихся Кубани

 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»

                               Секция: «математическая»

Автор:

Зиганшин Олег Русланович, 5 класс,

МОБУ СОШ № 1,

МО  Кореновский   район Краснодарский  

 край

Научный руководитель:       :                                                                                                учитель математики

Краснова Надежда Николаевна,             ,                           МОБУ СОШ № 1                                                                      

г. Кореновск                                                                                      

2011 г

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученик 5 «В» класса

Содержание:

Введение.                                                                                                                             3

Глава 1. Магический квадрат как произведение искусств.                                     5

1.1.История возникновения  магического квадрата                                           5        

1.2 Свойства магического квадрата                                                                     6

Глава 2. Расчёты и составления магических квадратов.                                         9

1.  Расчет  9-ти клеточного магического квадрата.                                          9
2.  Расчет  16-ти клеточного магического квадрата.                                        9

Заключение                                                                                                                       10

Список литературы                                                                                                      11

Приложения                                                                                                                      12

          Приложение I                                                                                                          12

          Приложение II                                                                                                        13

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученик 5 «В» класса

                Кто с детских лет занимается математикой,

                                                                                      тот развивает внимание, тренирует свой

                                                                                                            мозг, свою волю, воспитывает              

                                                                                                            настойчивость и упорство в достижении                    

                                                                                                            цели.

А. Маркушевич

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Я выбрал магический квадрат, потому что  я люблю математику. Математика – королева всех наук. Ее применяют  во многих областях и в повседневной жизни . Математические  головоломки – это мое хобби. Я люблю различные  головоломки, такие как судоку, какуро, морской бой и многие другие. Головоломки развивают внимание, улучшают логику, укрепляют память. Когда я их решаю, я не скучаю. Магический квадрат, всех очаровывает своими комбинациями чисел. Его секрет до сих пор  не разгадан. Магический квадрат  - это  лучшая головоломка,  которую я видел.  

Цель исследования: изучить свойства магического квадрата, необходимые для составления своих квадратов.

Задачи исследования:

1. .Изучить историю магических квадратов, свойства их составления, подбор квадратов.

2. Рассчитать свои магические 9-ти и 16-ти клеточные квадраты.

Методы исследования:

1.Метод анализа научно-популярной литературы.

2.Метод наблюдений и обобщений.

3.Метод математического расчета.

Исследование проходило в 3 этапа:

1.Февраль – март 2011г. – изучение и анализ литературы.

2.Апрель-май 2011г. - обобщение полученных данных.

3.Август-сентябрь 2011г. – систематизация  и оформление работы.

Новизна исследования для нас состоит в том, что я рассчитал, опираясь на  литературу, и нашел свои магические 9-ти и 16-ти клеточные квадраты.

Продукт исследования:  создание своих магических квадратов.

Практическая значимость работы решение сложных математических головоломок, развитие логического мышления. На основе этой работы можно в дальнейшем провести в школе математический вечер, организовать кружок юных мыслителей, создав инициативную группу, состоящую из учителей, классных руководителей и учащихся. В действительности  заинтересовать учащихся, привить любовь к математике.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

МОБУ СОШ № 1, ученик 5 «В» класса

Магический квадрат как произведение искусств.

1.1.История возникновения  магического квадрата.

Магический квадрат один из наиболее древних головоломок. Первые упоминания о магическом квадрате встречаются в китайской книге, написанной  за 4-5тыс. лет до нашей эры. [1] По легенде, считается, что китайский император  Ию,  живший приблизительно около 4 тыс. лет назад однажды на берегу реки  увидел  священную черепаху с узором из белых и черных кружков на панцире. Этот символ китайцы назвали «ло-шу» и использовали в магических обрядах при заклинаниях. От этого  и произошло название магический квадрат. [3]

Основное свойство волшебного квадрата в том, что девять порядковых чисел  размещены в девяти клетках так, что суммы чисел в каждом столбце, в каждой строке  и каждой из двух диагоналей одинаковы. Позже примерно в I веке до н.э. магический квадрат появился в Индии. Древние индусы и арабы приписывали этим числовым сочетанием магическое значение. Тайну которых они не могли постичь.

В этом квадрате уже 16 порядковых чисел, размером в 16 клеток, так, что выполняется его основное свойство.

1+14+15+4=34

12+7+6+9=34

8+11+10+5 =34

13+2+3+16=34

34, 34, 34, 34 в строках и столбцах  каждое число участвует  в двух суммах, а по диагоналям даже в трех. И, что самое удивительное в том, что все полученные суммы  равны между собой. [1]

Затем магический квадрат в средневековье проник в Западную Европу. Там таинственные числа почитались, считались волшебными. И люди носили их, как талисманы, считая, что они защищают  от разных бед тех, кто их носит. Эти расставленные мозаикой числа привлекаю не только  математиков, но и художников, как произведение искусства. [1]

Великий и немецкий художник Альбрехт Дюрер был так очарован  магическим квадратом, что даже изобразил его  на своей гравюре «Меланхолия».

Людям до сих пор, не известно, знал ли Дюрер раньше магический квадрат, или же придумал его сам. На гравюре мы видим, что в нижней строке, магического квадрата   изображены числа  обозначающие  год создания произведения (1514). Дюрер был не только художником, но и немного математиком. Он изобразил магический квадрат как настоящее произведение  искусства, в которое чем больше вглядываешься, тем больше находишь прекрасных сторон  и новых вещей. [3]

1.2 Свойства магического квадрата

Волшебный квадрат является математическим произведением искусства, в котором помимо  основного есть  еще не мало дополнительных  свойств. Вот еще 6 дополнительных свойств  магического квадрата:

1. Сумма чисел,  расположенных  по углам  волшебного квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль ряда квадрата.
2. Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов  (в 4 клетки), примыкающих  к вершинам  данного квадрата, и в таком же центральном квадрате, тоже одинаковы и каждая из них равна 34.

1+14++12+7=34

8+11+13+2=34

10+5+3+16=34

7+6+11+10=34  

3. В каждой его строке  есть пара  рядом стоящих чисел, сумма которых  15, и еще пара  тоже рядом стоящих  чисел, сумма которых 19.
4. Подсчитайте-ка теперь сумму  квадратов  чисел  отдельно  в двух крайних строках  и в двух средних:

12 +142 +152 + 42 = 438

122  +72 +62 +92 = 310

132 +22 +32 + 162 =438

82 +112 +102 + 52 =310

Как видите, получились  попарно равные суммы!

5. Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой  и суммы  квадратов чисел двух средних столбцов  тоже одинаковы.
6. Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, то:

а) сумма чисел, расположенных вдоль одной  пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных  вдоль другой пары  противоположных его сторон  и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34:

12+14+3+5=15+9+8+2=34

б) еще интереснее, то, что  равны между собой  даже суммы  квадратов и суммы кубов этих чисел:

12+14+3+5=15+9+8+2

12+14+3+5=15+9+8+2  

Если все столбцы  волшебного квадрата  сделать строками, сохраняя  их чередование, то есть числа  первого столбца  в той же  последовательности расположить  в виде первой строки, числа  второго  столбца  в виде  второй строки  и т.д., то квадрат останется «волшебником» с теми же его свойствами.

При обмене  местами  отдельных строк  или  столбцов волшебного  квадрата некоторые  из вышеперечисленных  его свойств могут исчезнуть, но могут  и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем местами  первую и вторую строки  данного квадрата:  

Суммы чисел  вдоль строк  и столбцов, конечно, не изменились, но суммы  чисел  вдоль диагоналей  стали иными, не равными 34. Волшебный квадрат  потерял  часть  своих  основных  свойств, стал «неполным» волшебным квадратом.

Продолжая обменивать  местами  строки  и столбцы  квадрата, вы будете  получать  все новые  и новые  волшебные квадраты  из 16 чисел. Некоторые  из них снова будут полностью  обладать  основными свойствами. [2]

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученика 5 «В» класса

Расчёты и составления магических квадратов.

 2.1 Расчет  9-ти клеточного магического квадрата.

Магический квадрат существует  около 7 тыс. лет, постепенно увлекая  как и любителей математических развлечений, так и специалистов – математиков. До сих пор еще продолжаются  поиски объяснений  этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За это время,  придуманы сотни остроумных  способов  и правил составления различных волшебных квадратов.

Если числа  расположенные в квадрате  имеют одинаковую  сумму  в любой строке, в любом столбце, а также  в каждой  из его диагонали, то такой квадрат называется  магическим.

Сейчас мы попробуем  составить 9-тиклеточный  магический квадрат.

Существует  почти  400 000  расстановок чисел в 9-ти клеточном магическом  квадрате. Сумма  всех чисел  от 1 до  9 равна 45. Всего в квадрате 3 строки.   Значит,  в каждой строке магического квадрата сумма чисел равна 15. Выпишем все возможные представления  числа 15 в виде  суммы 3 слагаемых.

9+5+1                  8+6+1               7+6+2                     6+5+4

9+4+2                  8+5+2               7+5+3

                             8+4+3

При этом число 5 стоит в центре  таблицы т.к. оно встречается  4 раза  в выписанных суммах (столбец, строка  и две диагонали). Числа 2,4,6,8 мы поставим в углы таблицы, т.к.  они встречаются  3 раза в суммах (строка, столбец, диагональ).      Остальные числа  встречаются в суммах  2 раза (строка, столбец) это  числа – 13,7,9. Меняя местами  комбинации цифр мы составляем все новые квадраты.  Приложение I.

2.2 Расчет  16-ти клеточного магического квадрата.

Теперь перейдем к составлению  квадратов  из 16-ти  клеток. При составлении  этого квадрата можно использовать пошаговый способ. Приложение II.

 На первый взгляд кажется, что в расположении  чисел нет никакой системы. Тем, не менее, квадрат  обладает  совершенно магическим  свойством, которое удивит многих.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученика 5 «В» класса

                                                                  Заключение

В своей работе я рассмотрел вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Я изучил и рассчитал свои магические 9-ти и 16-ти клеточные квадраты. Мне кажется, что моя работа интересна и увлекательна.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученика 5 «В» класса

ЛИТЕРАТУРА

1. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.

2. Мартин Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.

3. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

4. Сайт:

1. http://ru.wikipedia.org/wiki 

Приложение I.

9-ти клеточные  магические квадраты

Приложение II.

16-ти клеточный  магический квадрат

Первый шаг:

Расположить в 16-ти клетках все целые числа от 1 до 16 по порядку.

Второй шаг:

Порядок  следования чисел в строках III и IV  изменить на обратный и поменять местами строки II и III

Третий шаг:

Порядок следования чисел во втором  и третьем столбце изменить на обратный:

Четвертый шаг:

Порядок  следования чисел в строках III и IV  изменить на обратный: