Необычные способы умножения

МОУ «Куровская средняя общеобразовательная школа №6»

РЕФЕРАТ ПО МАТЕМАТИКЕ НА ТЕМУ:

«НЕОБЫЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ».

Выполнил    ученик 6 «б»  класса

 Крестников Василий.

Руководитель:

Смирнова Татьяна Владимировна.

2011г.

Оглавление.

1. Вступление……………………………………………………………………......2
2. Основная часть. Необычные способы умножения………………………...3

      2.1.     Немного истории………………………………………………………………..3

2.2.      Умножение на пальцах………………………………………………………...4

2.3.      Умножение на 9…………………………………………………………………5

2.4.      Индийский способ умножения……………………………………………….6

2.5.      Умножение способом «Маленький замок»…………………………………7

2.6.      Умножение способом «Ревность»…………………………………………...8

2.7.      Крестьянский способ умножения………………………………………….....9

2.8       Новый способ…………………………………………………………………..10

3. Заключение……………………………………………………………………...11
4. Список литературы…………………………………………………………….12

1

 I.       Вступление.

 Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики, нас в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе.

 Однажды  мне случайно попалась книга  С. Н. Олехника, Ю. В. Нестеренко и М. К. Потапова «Старинные занимательные задачи». Листая эту книгу, мое внимание привлекла страничка под названием  «Умножение на пальцах». Оказалось, что можно умножать не только так как предлагают нам в учебниках математики. Мне стало интересно, а есть ли еще какие-нибудь способы вычислений. Ведь способность быстро производить  вычисления вызывает откровенное удивление.

Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Цель работы:

         Показать необычные  способы умножения.

Задачи:

1. Найти как можно больше  необычных способов вычислений.
2. Научиться их применять.
3. Выбрать для себя самые интересные или более легкие, чем те которые предлагаются в школе, и использовать их при счете.

2

II.   Основная часть. Необычные способы умножения.

2.1.  Немного истории.

         Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину  пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века  мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.

          Особенно трудны  в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного  практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы  один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

         В книге В. Беллюстина  «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики»  изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».

 И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.

       Давайте рассмотрим наиболее интересные и простые  способы умножения.

3

2.2. Умножение на пальцах.

         Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто  2 и 3 пальца. Если   сложить количества загнутых  пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся   соответственно числа десятков и единиц искомого произведения  56 . Так можно вычислять   произведение любых однозначных чисел, больше  5.

4

2.3. Умножение на 9.

                      Умножение для числа 9 - 9·1, 9·2 ... 9·10 - легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится "на пальцах". Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки (это изображено на рисунке).

Допустим, хотим умножить 9 на 6. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 6. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа - количество единиц. Слева у нас 5 пальцев не загнуто, справа - 4 пальца. Таким образом, 9·6=54. Ниже на рисунке детально показан весь принцип "вычисления".

Еще пример: нужно вычислить 9·8=?. По ходу дела скажем, что в качестве "счетной машинки" не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 8-ю клеточку. Слева осталось 7 клеточек, справа - 2 клеточки. Значит 9·8=72. Все очень просто.

                                 7 клеток                                                                      2 клетки.

5

2.4. Индийский способ умножения.

       Самый ценный вклад в сокровищницу математических знаний был совершен в Индии. Индусы предложили  употребляемый нами способ записи чисел при помощи десяти знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

       Основа этого способа заключается в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от  того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких – нибудь  разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам.

       Индусы отлично считали. Они придумали очень простой способ умножения. Они умножение выполняли, начиная со старшего разряда, и записывали неполные произведения как раз над множимым, поразрядно. При этом сразу был виден старший разряд полного произведения и, кроме того, исключался пропуск какой-либо цифры. Знак умножения еще не был известен, поэтому между множителями они оставляли небольшое расстояние. Например, умножим их способом 537 на 6:

537     6

   (5 ∙ 6 =30)                                     30

537       6

   (300 + 3 ∙ 6 = 318)                       318

                                                           537     6

   (3180 +7 ∙ 6 = 3222)                    3222

6

2.5. Умножение способом   «МАЛЕНЬКИЙ ЗАМОК».

Умножение чисел сейчас изучают в первом классе школы. А вот в Средние века совсем немногие владели искусством умножения. Редкий аристократ мог похвастаться знанием таблицы умножения, даже если он окончил европейский университет.

 За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачоли в своём трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности»(1494 г.) приводит восемь различных методов умножения. Первый из  них  носит  название «Маленький замок», а второй не менее романтичное название «Ревность  или  решетчатое  умножение».              

Преимущество   способа умножения «Маленький замок»  в  том,  что  уже  с  самого  начала  определяются  цифры старших  разрядов,  а  это   бывает  важно,  если  требуется  быстро  оценить  величину.

Цифры верхнего числа,  начиная со старшего разряда,  поочередно умножаются на нижнее число и записываются в столбик с добавлением нужного числа  нулей. Затем результаты складываются.

7

2.6. Умножение чисел  методом «ревность».

Второй способ носит романтическое  название  «ревность», или «решётчатое умножение».

Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь».  

Умножим этим способом 347 на 29. Начертим таблицу, запишем над ней число 347, а справа число 29.

В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишем под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме. В результате получаем искомое  произведение 10063.

            3                       4                         7

2

  9

10       0                      6                         3

8

2.7.   Крестьянский способ умножения.

          Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который  употребляли   русские крестьяне. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат.

          В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением

37……….32

74……….16

148……….8

296……….4

592……….2

1184……….1

Произведение всех пар соответственных чисел одинаковое, поэтому

37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184

В случае,  когда одно из чисел  нечетное или оба числа нечетные, поступаем следующим образом:

24 ∙ 17

   24 ∙ 16 =

= 48 ∙ 8 =

= 96 ∙ 4 =

= 192 ∙ 2 =

=384 ∙ 1 = 384

24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408

9

2.8.   Новый способ умножения.

Интересен  новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения.  Изобретатель новой системы устного счёта кандидат философских наук Василий Оконешников  утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.  По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

Считать по такой таблице очень просто. К примеру, умножим число 15647 на 5. В части таблицы, соответствующей пятёрке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, пятёрке, шестёрке, четвёрке и семёрке. Получаем: 05 25 30 20 35

Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие цифры складываем попарно: пятёрку с двойкой, пятёрку с тройкой, ноль с двойкой, ноль с тройкой. Последняя цифра также без изменений.

В итоге получаем: 078235. Число 78235 и есть результат умножения.

Если же при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место.

10

 III.       Заключение.

Научившись считать всеми представленными способами, я пришел  к выводу: что самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе, может быть они для нас более привычны.

Из всех найденных мною необычных способов счета более интересным показался способ «решетчатого умножения или ревность». Я показал его своим одноклассникам, и он  им  тоже очень понравился.

Самым простым мне показался метод «удвоения и раздвоения», который использовали русские крестьяне. Я его использую при умножении не слишком больших чисел (очень удобно его использовать при умножении двузначных чисел).

 Заинтересовал меня новый способ умножения,  потому что он  позволяет в уме «ворочать»  огромными числами.

Я думаю, что и наш способ умножения в столбик  не является совершенным и  можно придумать еще более быстрые и  более надежные способы.

11

5. Литература.

1.  Депман И. «Рассказы о математике».  – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
2. Корнеев А.А.  Феномен русского умножения. История. http://numbernautics.ru/
3. Олехник  С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К.  «Старинные занимательные задачи». –  М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
4. Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л., 1941 — 12 с.
5. Перельман Я.И.  Занимательная  арифметика. М.Русанова,1994--205с.
6. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика». – М.: Астрель Ермак, 2004.
7. Энциклопедия для детей. «Математика». – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.

12