Проект на тему: "Комплексные числа"

Слайд 1

«Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир» (Гете). Проект на тему«Комплексные числа» Учащиеся 11 А класса: Закутаева Светлана, Мальцева Ксения.

Слайд 2

Кубическое уравнение Х³+1=0

Слайд 3

Мнимая единица

Слайд 4

Дата рождения: 24 сентября 1501 Место рождения: Палия Дата смерти: 21 сентября 1576 (74 года) Место смерти: Рим Страна: Италия Научная сфера: математик, инженер Джероламо Кардано

Слайд 5

Бомбелли ( Bombelli ) Раффаэле (около 1530—1572), итальянский математик и инженер. В «Алгебре» Б. (1572) дано первое изложение простейших правил действий над комплексными величинами и их применение к исследованию т. н. неприводимого случая кубического уравнения.

Слайд 6

Rene DESCARTES (1596 - 11.2.1650), французский философ, математик . Дата рождения: 31 марта 1596 г Место рождения: Франция Дата смерти:11 февраля 1650 (53 года) Место смерти:Стокгольм , Швеция

Слайд 7

Леонард Эйлер (1707-1783) — математик, механик, физик и астроном. Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле 15 апреля 1707 года. В 1783 г. Леонард Эйлер скончался от апоплексического удара. Похоронен он в Петербурге на Смоленском кладбище.

Слайд 8

Жозеф Луи Лагранж Родился 25 января 1736 в Турине, Италия. Некоторые источники утверждают, что французский математик, а другие говорят о нем, как итальянский математик.

Слайд 9

Якоб Бернулли ( 1654-1705 ), швейцарский математик сформулировавший закон больших чисел.

Слайд 10

1. Алгебраическая запись комплексного числа z = a + b∙ i , a ∈ R, b ∈ R, . а = Re z - действительная часть z (вещественная часть); b = im z - мнимая часть числа z . Если а≠0, b ≠0, то z - мнимое число ( z = 97- 7 i ). Если а=0, b ≠0, то z - мнимое число ( z =55 i ). Если а≠0, b =0, то z -действительное число ( Z = -4) Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Слайд 11

Степени числа i

Слайд 12

Комплексные числа Сопряженные числа Противоположные числа

Слайд 13

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами. Условие равенства комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i z 1 = z 2 , если a 1 = а 2 и b 1 = b 2 . Сумма комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i равна z 1 + z 2 = (a 1 +b 1 i )+( a 2 +b 2 i )=( а 1 +a 2 )+(b 1 +b 2 )∙ i , сумма двух противоположных чисел равна 0. Разность комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i равна z 1 - z 2 = (a 1 +b 1 i )-( a 2 +b 2 i )=( а 1 -a 2 )+(b 1 -b 2 )∙ i , Произведение комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i равно z 1 ∙ z 2 =(a 1 +b 1 i )∙ ( a 2 +b 2 i ) = ( а 1∙ а 2 - b 1∙ b 2 )+(a 2 ∙b 1 +b 2 ∙ a 1 )∙ i ; Частное комплексных чисел z 1 = a 1 + b 1 i и z 2 = a 2 + b 2 i равно . .

Слайд 14

Тест. Назвать действительную и мнимую часть комплексного числа: 2 + 3i а) ( 0;3) б) (2;-3) в) (-2;0) г) (2;3) . Найти сумму комплексных чисел a) 16+ i ; б) 10+ 2i ; в) 10+ i ; г) -10- i Найти разность комплексных чисел a) 25 ; б) 20- i ; в) 25-6 i ; г) -4 i .

Слайд 15

Тест. Назвать действительную и мнимую часть комплексного числа: 2 + 3i а) ( 0;3) б) (2;-3) в) (-2;0) г) (2;3) . Найти сумму комплексных чисел a) 16+ i ; б) 10+ 2i ; в) 10+ i ; г) -10- i Найти разность комплексных чисел a) 25 ; б) 20- i ; в) 25 +4i ; г) -4 i .

Слайд 16

Тест. Найти произведение комплексных чисел: z= 2 +3i и z=2-3i а) 13 ; б) -5 ; в) 4 - 9 i г) 4 Найти сумму комплексных чисел a) -5; б) 0 ; в) - 10+ i ; г) -10- i Найти частное комплексных чисел a) 2 ; б) 12- i ; в) -5-0,2 i ; г) -4 i .

Слайд 17

Тест. Найти произведение комплексных чисел: z= 2 +3i и z=2-3i а) 13 ; б) -5 ; в) 4 - 9 i г) 4 Найти сумму комплексных чисел a) -5; б) 0 ; в) - 10+ i ; г) -10- i Найти частное комплексных чисел

Слайд 18

Понятие комплексной плоскости. Геометрическая форма комплексного числа. Y Z(a ; b) O X у Z(a ; b) Х

Слайд 19

Сумма и разность комплексных чисел. Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, т.е. по правилу параллелограмма: Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов: Y Z1 Z(x ; y) Z2 0 x Z (x ;y )= Z(x1;y1)+ Z(x2:y2) Y Z(x ; y) Z1 Z2 Z (x ;y)= Z(x1;y1) + -Z(x2:y2)

Слайд 20

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Слайд 21

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Слайд 22

Для комплексных чисел Z 1 =r 1∙ ( cos φ 1 + i∙sin φ 1 ) Z 2 =r 2 ∙( cos φ 2 + isin φ 2 ) c праведливы равенства: Z 1 ∙Z 2 = r 1 ∙ r 2 ∙ ( cos ( φ 1 + φ 2 )+ i ∙sin( φ 1 +φ 2 )); Z 1 : Z 2 = r 1 : r 2 ∙ ( cos ( φ 1 - φ 2 )+ i ∙sin( φ 1 -φ 2 )); Для n-o й степени числа Z справедливо равенство: Z n = r n ( cos (n φ)+ i ∙ sin(n φ)), n ∈N Если r=1 ,то Формула Муавра (c о s φ + i ·sin φ )ⁿ= cos (n φ )+ i·sin (n φ )

Слайд 23

Решение задач ( простых и более сложных)

Слайд 24

1.Решить квадратное уравнение

Слайд 25

1. Решите уравнения

Слайд 26

2. Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями:

Слайд 27

2. Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями:

Слайд 28

3.Построение комплексных множеств на плоскости

Слайд 29

Графическое решение системы 1 1 Y x

Слайд 30

Несколько высказываний знаменитых ученых о комплексных числах «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» (Г.Лейбниц) «Помимо и даже против воли того или другого математика , мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно , по мере того как обнаруживается польза от их употребления , они получают все более широкое распространение» (Ф.Клейн)