Реферативно-исследовательская работа на тему «Математический анализ для решения физических задач»

Математический анализ для решения физических задач
Выполнил: Рыбаков Денис Сергеевич, ученик 11 В класса ГБОУ СОШ №618 г. МосквыРуководитель: Макарова Татьяна Павловна, учитель математики
Реферативно-исследовательская работа на тему: «Математический анализ для решения физических задач»
Содержание.
Радиоактивный распадВытекание водыАтмосферное давлениеТрение намотанного канатаУскорение как производная от скоростиРеактивное движение
1.Радиоактивный распад.
Основной закон радиоактивного распада: Отношение числа распавшихся за любой фиксированный промежуток времени атомов к общему числу атомов, имевшихся в начале это промежутка времени, не зависит от общего числа атомов: Количество распавшихся атомов за время t: (1)
Задача.
3а 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?Т.к. за 30 дней распалось 50% первоначального количества вещества, то 30 дней – период полураспада данного вещества ( T=30 дней).1% от первоначально количества - это 0,01y, где y – первоначальное количество атомов данного радиоактивного вещества.Используя формулу (1), получаем: t=30•3.2•2 t=192 (дня). Ответ: 192 дня.
2.Вытекание воды.
Скорость вытекания воды через небольшое отверстие: Дифференциальное уравнение вытекания воды:
Задача.
За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака высотой 2м и диаметром основания 1м через отверстие в дне 1см?Площадь сечения цилиндра здесь постоянна и равна S(h) = ∏(0,5)2.Тогда, .Используя формулу , получаем По формуле дифференцирования сложной функции, имеемТеперь определим С. Для этого воспользуемся начальным условием H=2м – высота бака. Отсюда, Теперь можем найти время T вытекания всей воды из бака Ответ: 3 часа.


3. Атмосферное давление.
Универсальный газовый закон: Связь между давлением и плотностью при фиксированной температуре: Дифференциальное уравнение для давления при переходе от высоты h к высоте h+∆h:
Задача о трении намотанного каната.
Для остановки речного судна у пристани с него сбрасывают канат, который наматывают на столб, стоящий на пристани. Один конец кана­та прикреплен к судну, а другой тянет рабочий на пристани. Известны коэффициент трения каната о столб k (например, характерное значе­ние k = 1/3), число витков каната вокруг столба (например, 3 витка). Пусть рабочий тянет с си­лой 100 Н. Какая сила тормозит судно? Рассмотрим силы, действующие на кусок ка­ната, лежащий от направления, составляющего угол φ с некоторым начальным направлением отсчета углов, до направления, составляющего угол φ+Δφ с этим же начальным направлени­ем. Векторная сумма всех этих сил должна быть равна нулю: В итоге получим: Откуда, деля обе части на ∆φ и приходя к пределу ∆φ→0, получаем: T(φ) = Если канат делает 3 оборота, то сила , действующая на судно, получается при φ=6π, то есть T(φ)=T(6π)=50 000 Н. Ответ: 50 000 Н.
,
Ускорение как производная от скорости.
Ускорение точки в момент времени t: Второй закон Ньютона для материальной точки, движущейся по прямой:
Реактивное движение.
Формула для скорости V ракеты в космосе в момент времени t: Формула Циолковского: (2)Формула для скорости V ракеты в момент времени t с учётом силы тяжести:
Задача
Ракета массой 1 кг, содержащая заряд пороха 2ОО г, поднялась на высоту 500 м. Определите скорость выхода газов, считая, что сгорание пороха происходит мгновенно. Сопротивление воздуха не учитывать. 1. Определим начальную скорость ракеты: Значит, 2. Используя формулу (2), получаем: Ответ: 62,5 м/c.
Заключение.
Благодаря математическому анализу для решения физических задач в виде дифференциального и интегрального исчислений, я смог решить достаточно много задач – олимпиадных, конкурсных и задач, требующих углубленного знания предмета.