Эмпирическое исследование одной функции ступенчатого соответствия

Республиканский фестиваль

исследовательских работ

учащихся 9-11 классов

«паруса науки»

Естественные науки: математика

Эмпирическое исследование одной  функции ступенчатого соответствия.

Корнев Павел

Елабужский район,

МБОУ Старокуклюкская «СОШ», 10 класс

Научный руководитель:  Кругленко В.И.

Набережные Челны

 2013

Оглавление

1. Введение ………………………………………………….………………3
2. Основная часть. …………………………………………..………………5

1.  Ступенчатое соответствие для кривой y=f(x)...……………..….5
2.  Характеристическая функция соответствия для параболы……7
3.  Нули характеристической функции для разных f(x) .…….…..10

3. Заключение………………………………………………………….…....14
4. Список используемой литературы………………………………..….... 15

Введение

        В декартовой системе координат математически кривая, например парабола, рассматривается как функция непрерывного аргумента. С физической точки зрения кривую можно рассматривать как траекторию движения материальной точки на плоскости. Причем мы не ограничиваем степени свободы для движения. А если предположить, что точка, чтобы попасть с новое положение испытывает какие-то ограничения, например может двигаться только параллельно или оси абцисс или оси ординат. Или, чтобы попасть в какую-либо точку плоскости, необходимо двигаться только по прямым, которые все проходят через единственную центральную точку.

Рис.1. Виды ограничений для движений.

А если пространство движения не плоскость, а множество изолированных точек? Такие соображения наводят на мысль о выделении множества точек на плоскости, по которым можно перескакивать от одной к другой по каким-то заранее определенным «правилам», учитывая какие-то ограничения на переходы. Если расстояние между ними будет очень маленькое, то на «макроуровне» точка движется вроде бы, скажем, по параболе, а на самом деле она «перескакивает» по изолированным точкам плоскости вблизи той же параболы. Получаем новую траекторию движения. А если изменять «правила» формирования, то получим  таких траекторий множество.  Параболу y=x2 в декартовой системе координат мы будем понимать как множество влияния, а переходы на другом, дискретном множестве - как ступенчатое соответствие. Это понятие вводилось например в [1]. Т.е. для одного множества влияния можно получать множество траекторий, ступенчатых соответствий. Ступенчатые соответствия имеют различные характеристики. Например, чтобы перейти по какому-то «правилу» от точки (0,0) в точку (1,1) на плоскости, учитывая какое-либо множество влияния, можно задать вопрос о количестве проходящих точек или количестве переходов, о числе кратных точек, об описании этой новой «кривой» и др. Далее эти интуивные соображения мы уточним и с помощью системы автоматизированных расчетов MATHCAD[2] и системы программирования PASCAL[3] просчитаем некоторые характеристики так называемых характеристических функций соответствия для возрастающей непрерывной кривой   y=f(x) в интервале [0,1]. Можно задать вопрос, зачем это нужно делать? В связи с новейшими исследованиями в различных областях знаний появляются объекты, которые в рамках классических теорий сложно описываются или вообще нет теоретических подходов для исследований. Это современные проблемы криптографии в математике и информатике, проблемы анализа сложных биологических процессов в клетках живых организмов, проблемы динамики поведения в молекулярных структурах при увеличении количества взаимодействующих элементов в химии и физике, проблемы космологии и др. Много работ в наше время посвящено так называемым параллельным мирам. И физики, и математики в последнее время высказывают мнение о их бесконечности. Приведем пример одной математической модели. Если выделить в декартовой системе координат две прямоугольные граф-решетки с несоизмеримыми очень малыми единицами, то «тела» построенные на них  никоим образом не будут связаны друг с другом, хотя множество влияния для них может быть одно и то же. Они не «видят» друг друга, могут проникать друг через друга. Они существуют параллельно. Следуя такой модели, можно сделать вывод, что таких параллельных пространств бесконечное множество.  Все новые возникающие проблемы требуют от математиков разработки новых математических теорий в то время как существующие устаревают даже с применением компьютерных технологий. Мы затронули этот вопрос потому, что в представленных ниже моделях для одного множества влияния – можно построить множество «миров», у которых может и не быть точек соприкосновения.        

2.1 Ступенчатое соответствие для кривой y=f(x).

       Пусть дано какое – либо пространство элементов. Выделим какое-либо множество, которое назовем множеством влияния. Выделим еще какое-либо множество изолированных элементов. Построим какой-либо граф на этих элементах. Введем в граф координатную систему. Возьмем какую-либо точку графа и будем переходить от вершины к вершине, учитывая, что на переходы влияет то множество влияния, по какому- либо «правилу». Это и будет ступенчатое соответствие.

       В работе рассматривается случай, в котором пространство элементов есть  плоскость с введенной в ней декартовой системой координат. За множество влияния примем непрерывную монотонно возрастающую функцию f(x) от f(0)=0 до f(1)=1. За граф примем граф-решетку с какой-то единицей е.

Рис.2 Примеры граф-решеток с разными единицами.

      «Правило»  переходов будет следующее. Мы будем двигаться от точки (0,0) к (1,1) как бы навиваясь на кривую f(x) по ребрам решетки чередуя вертикальные и горизонтальные ребра графа, не делая самопересечений ребер, интуивно понятно как из рисунка 2. Таким образом получим ступенчатое соответствие для выбранной функции f(x).

Рис.3 Ступенчатые соответствия.

Здесь показаны два соответствия – обход кривой начинается с одной координаты В-Г и с другой Г-В от точки (0,0) до точки (1,1). При фиксированной единице е эти представления единственны для данной функции f(x). Введем характеристики для ступенчатого соответствия. Присвоим каждому ребру значения 0 или 1. Если двигаемся по ребру в положительном направлении по любой координате – то 1, если в отрицательном – то 0.

Рис.4. Направления переходов

Примерам на рис.3 соответствуют двоичные последовательности:

ФВ-Г – 111011101101101101101101110111

ФГ-В – 11011101111111101110110110

Заметим, что длина последовательностей ФВ-Г и ФГ-В разная. В данной работе нас будет интересовать именно длина – число ребер решетки, принадлежащему ступенчатому образу. Как указано в [1] формулы для вычисления длин последовательностей в интервале (0,0)-(s,s) следующего вида ФВ-Г и ФГ-В

где

Нас будет интересовать вариант, когда длины обходов равны.

Это будет в случае, когда выражение со знаком суммы обращается в нуль.

2.2 Характеристическая функция соответствия для параболы.

      Наша задача будет эмпирически исследовать поведение характеристической функции ступенчатого соответствия -

,

где единица решетки е=1/к, y=f(x) – множество влияния, функция trunc(z) определяется как целая часть z  и функция рассматривается в интервале (0,1).

Например, для параболы y=x2 характеристическая функция соответствия   выглядит так

Ниже на рис.5 приведены виды ступенчатых соответствий в зависимости от единицы граф-решетки  е=1/к  при малых к с их описаниями ФВ-Г и ФГ-В.

k=1                       k=2                                     k=3

ФВ-Г =11              ФВ-Г =11011011                 ФВ-Г =11011011011011

ФГ-В =110110      ФГ-В =11110110                  ФГ-В =1111110110

k=4                                                                   k=5

ФВ-Г =11011011011011011011                       ФВ-Г =110111111011011011

ФГ-В =111111110110                                       ФГ-В =1110110110110111110110

k=6                                                                  

ФВ-Г =11011111111011011011                      

ФГ-В =1110110110110110110111110110                                        

Рис.5. Виды ступенчатых соответствий для параболы y=x2 .

        Для анализа ее поведения использовалась программная система MATHCAD[2]. Ниже приведены результаты моделирования для y=x2. Расчеты проводились с шагом 0.1 в разных числовых диапазонах. Функция записана так, как требуют правила системы MATHCAD.

Рис.6. Поведение характеристической функции для параболы в зависимости от единицы граф-решетки.

      По этим эмпирическим расчетам в диапазонах (1000, 1100), (10000, 10100) и (100000,100100)  заметно, что функция как бы периодическая и ее период во всех промежутках приблизительно равняется 8.

Интересно сравнить ее поведение с кубической параболой. Ниже приведены результаты моделирования для y=x3. Расчеты проводились с шагом 0.1 в разных числовых диапазонах. Функция записана так, как требуют правила системы MATHCAD.

Рис.7. Поведение характеристической функции для кубической параболы в зависимости от единицы граф-решетки.

      По этим эмпирическим расчетам в диапазонах (1000, 1100), (10000, 10100) и (100000,100100)  заметно, что функция также как бы периодическая и ее период во всех промежутках приблизительно равняется уже 5,28.

Замечена вот такая закономерность. Считаем, что нахождение квазипериода неэмпирическим способом, трудная задача.

3.  Нули характеристических функций.

      Если мы опять обратимся к рис.5, то заметим, что длины ФВ-Г и ФГ-В при фиксированных единицах граф-решетки в большинстве случаев различны. Т.е., если мы будем осуществлять одновременные переходы с нижней точки до верхней, то их число будет не одинаковым. Можно сказать, что будет происходить «запаздывание» как раз на разницу длин ФВ-Г и ФГ-В.  Но иногда они совпадают. Например, как на рис.8 при e=1/18. В этом случае L1=L2=72.

Рис.8.

По графикам рис.6 и рис.7 трудно сказать, при какой единице решетки функции обращаются в 0. Нами на языке Паскаль[3] была написана программа, которая находит корни уравнения и одновременно разлагает полученные единицы на множители, чтобы приблизительно оценить их. Даже рассмотрен более общий случай:

y(k)=p,

где p-целое и

Ниже приведены некоторые эмпирические расчеты.

  y=x2      p=0                                            y=x2     p=2

 y=x3      p=0                                            y=x3     p=2

3. Заключение

         В работе рассмотрено понятие ступенчатого соответствия. Оно вводилось ранее в литературе, например в [1]. В нашем случае, из соображений ограничения на движения точки на плоскости, учитывая некие «множества влияния»  и «правила» формирования новых движений. В качестве множества влияния использовалась квадратичная и кубическая параболы. Движения – это переходы от одной точки к другой по узлам прямоугольных граф-решеток различных единиц. Правило формирования переходов сформулировано интуивно, из соображения переходов по узлам граф-решеток как бы навиваясь на множества влияния. Отмечено, что такие «кривые» описываются ФВ-Г и ФГ-В последовательностями 0 и 1.

        Для расчетов длин ФВ-Г и ФГ-В применялась система математических расчетов MATHCAD. В разных диапазонах моделировалось поведение характеристической функции, которое описывало поведение длин соответствий. Но вид этой функции труден для аналитической обработки. Поэтому в работе произведен некоторый эмпирический анализ для предсказания возможных закономерностей. Выявлено, что функция независимо от рассматриваемого диапазона ведет себя квазипериодически в зависимости от единицы граф-решетки. Период для квадратичной параболы колебался приблизительно около 8, а для кубической приблизительно около 5.8.

         Далее интересен вопрос о нулях характеристической функции. Т.е. при осуществлении одновременных переходов с нижней точки (0,0) до верхней (1,1) по законам соответствий ФВ-Г и ФГ-В , их число будет одинаковым. Это будет происходить при таких единицах решетки, когда характеристическая функция будет равна нулю. Из-за того, что аналитический анализ ее трудный, произведены эмпирические расчеты с помощью программы, написанной нами на языке Паскаль для выявления возможных закономерностей. Рассматривался более общий случай, т.е. уравнение вида y(k)=p, где р-целое. Произведены расчеты также для квадратичной и кубической парабол. Одновременно программа раскладывала получаемые корни на множители. Отмеченые эмпирические наблюдения оформлены в виде таблиц и графиков, которые требуют дальнейшей теоретической обработки.

4. Список используемой литературы.

1. Кругленко В.И., Шурыгин В.Ю. Моделирование поведения ступенчатых

соответствий. Тезисы XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии.  РУДН, Москва. 2010. с.103-105.

2. Дьяконов В. Mathcad 2001. учебный курс. – СПб. Питер.2001 – 624с: ил.
3. Культин Н.Б. Программирование в Turbo Pascal 7.0 и Delphi.-СПб.:

 «BHV-Санкт-Петербург»,1997