Задачи с параметрами практически не изучаются в ходе школьной программы, но широко представлены в материалах для подготовки к государственной итоговой аттестации по математике. Задачи с параметрами способствуют формированию логического мышления и математической культуры школьника, открывают перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Основное место в работе отведено главе «Квадратный трехчлен, квадратичная функция, квадратные уравнения и неравенства». В ней приведены известные из курса школьной алгебры сведения, касающиеся квадратного трехчлена, квадратного уравнения и квадратичной функции, а также сформулированы теоремы о расположении корней квадратного трехчлен, рассмотрено большое количество примеров решения задач с параметрами.
Данная работа может использоваться в качестве дополнительного учебного пособия для тех, кто готовится к государственной итоговой аттестации по математике, а также для проведения дополнительных занятий по алгебре.
Вложение | Размер |
---|---|
zadachi_s_parametrami.doc | 601.5 КБ |
zadachi_s_parametrami.ppt | 436.5 КБ |
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 7
городского округа г. Урюпинск
Тема:
«Задачи с параметрами»
Работу выполнила:
ученица 9а класса Панченко Анна
Руководитель: учитель математики
I квалификационной категории
Мещерякова Татьяна Викторовна
г. Урюпинск
2013
Содержание
1. Что такое задача с параметром......................................................................4
2. Решение уравнений первой степени..................................................................5
3. Квадратный трёхчлен, квадратичная функция.
Квадратные уравнения и неравенства..................................................................8
4. Заключение……………………………………………………………………..23
Литература…………………………………………………………………......24
При подготовке к государственной итоговой аттестации по алгебре я столкнулась с задачами, решение которых вызвало у меня затруднения. Это так называемые задачи с параметрами. Меня заинтересовал вопрос о том, как решать такие задачи. В большинстве изданий по решению задач с параметрами говорится о том, что такие задачи «способствуют формированию логического мышления и математической культуры школьника, открывают перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале».
Актуальность темы работы обусловлена тем, что задачи с параметром практически не изучаются в ходе школьной программы, но широко представлены в материалах для подготовки к ГИА.
Цель работы: изучить определение задачи с параметром, способы решения основных типов задач с параметром.
В ходе работы были поставлены задачи:
При написании работы применялись, в большинстве своем, теоретические методы исследования: изучение литературы, анализ и систематизация полученной информации, самостоятельное решение задач.
1. Что такое задача с параметром?
Прежде чем решать задачу – прочитай условие.
Ж. Адамар.
Если в уравнение или неравенство кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух следующих случаев:
В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором – недопустимым. При решении примеров допустимые значения параметров определяются из их конкретного смысла.
Например, в уравнении допустимым является любое значение а, кроме а=0 и а = х.
Решить уравнение или неравенство с параметром, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти значения неизвестного (неизвестных). Но допустимых значений параметра бесконечное число. Для того, чтобы решит задачу с параметром, необходимо рассмотреть такие значения параметра, при которых происходит качественное изменение уравнения (неравенства). Такие значения параметра назовем контрольными.
2. Решение уравнений первой степени
Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи – решайте их.
Д. Пойа. Математическое открытие.
Уравнение первой степени имеет вид , где х – неизвестное, a и b – числа.
При решении уравнений первой степени контрольным является значение параметра а, равного 0.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить уравнение относительно х.
Решение.
Найдем контрольные значения. ,
.
1) При а = 0 получим уравнение . Это уравнение не имеет
решения.
бесконечное число решений, х – любое число.
,
.
Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет решения;
если а = 2, то х – любое число;
если а ≠ 0, а ≠ 2, то .
Пример 2. Решить уравнение с параметром а.
Решение. ;
;
;
.
Контрольное значение а = 0.
решения.
Ответ: если а = 0, то уравнение не имеет корней;
если а ≠ 0, то .
Пример 3. Решить уравнение относительно х.
Решение. Допустимые значения параметра а: . При этих значениях параметра данное уравнение равносильно уравнению
;
;
.
Ответ: если , то ;
если , то корней нет.
Пример 4. Решить уравнение с параметром k.
Решение. Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых . Преобразуем уравнение
;
;
. (1)
Найдем значения k, при которых исходное уравнение и уравнение (1) не являются равносильными или исходное уравнение теряет смысл. Подставив в уравнение (1) , получим
;
;
.
Теперь подставим , получим
;
.
Таким образом при исходное уравнение не имеет смысла.
корней.
Ответ: если k ≠ 9, , то ;
если k = 9, , то уравнение не имеет корней.
3. Квадратный трёхчлен, квадратичная функция, квадратные уравнения и неравенства.
Квадратным называется уравнение вида , где - неизвестное, - числа, причем .
При решении квадратных уравнений с параметром контрольным значением параметра является значение, при котором , т. к. в этом случае квадратное уравнение вырождается в уравнение первой степени.
Приведённым квадратным уравнением называется уравнение, в котором первый коэффициент равен 1.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Теорема, обратная теореме Виета. Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение q, то эти числа являются корнями уравнения .
Пример 1. Найдите все целые значения , при которых уравнение имеет два корня.
Решение.
образом при = 0 уравнение имеет один корень.
2) Уравнение имеет два корня, если .
Исключим из промежутка =0. Целыми значениями , удовлетворяющими условию задачи, являются числа
Ответ:
Пример 2. ([1], № 2.40(2)) При каком значении m сумма квадратов корней уравнения минимальна?
Решение.
По условию задачи уравнение имеет корни, значит .
.
. Это неравенство выполняется при любом значении m,
т. е. исходное уравнение при любом значении m имеет корни.
Если х1 и х2 – корни уравнения , то по теореме Виета , .
.
.
Из условия задачи следует, что нам необходимо узнать, при каком значении m квадратный трехчлен принимает наименьшее значение. Т. к. графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, то наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы: .
Итак, сумма квадратов корней уравнения минимальна при .
Ответ: при .
Пример 3. ([3], Вариант 4, № 21). При каких значениях m уравнение имеет два различных корня?
Решение.
Если , то уравнение принимает вид , т. е. . В этом случае уравнение имеет два корня.
Если , то одним из корней уравнения является число 0 и уравнение должно иметь один корень. Это выполняется, если дискриминант равен нулю, но при этом корень квадратного уравнения не равен нулю.
.
,
.
Если , то квадратное уравнение имеет вид .
Корень этого уравнения .
Итак, при и уравнение имеет два различных корня.
Ответ: при , .
Рассмотрим квадратичную функцию и некоторые её свойства.
Графиком функции является парабола.
Коэффициент а показывает направление ветвей параболы. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх. Если а < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Число c - это ордината точки пересечения параболы и оси ординат.
Координаты вершины параболы: , .
Если и - корни квадратного трехчлена , то квадратный трёхчлен раскладывается на множители: .
Пример 4. ([1], № 4.39(1)) Найдите все значения а, при которых решением неравенства является любое число.
Решение. Данная задача равносильна задаче: найдите все значения а, при которых график функции лежит выше оси абсцисс. Это значит, что квадратный трёхчлен не имеет корней, т. е. D < 0.
.
,
.
.
Ответ: .
Пример 5. ([1], № 6.14 (1)) При каких значениях а парабола пересекает ось х в двух точках и её ветви направлены вниз?
Решение.
Т. к. парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, то D > 0, а ветви направлены вниз, то а<0.
Решим систему:
,
;
,
.
.
Ответ: .
Пример 6. ([1], № 6.16 (1)) При каких значениях k парабола и прямая не пересекаются?
Решение. Условие задачи выполняется, если уравнение не имеет решения, т. е. дискриминант этого уравнения меньше нуля.
.
.
,
.
Итак, при парабола и прямая не пересекаются.
Ответ: при .
Пример 7. ([1], № 6.29 (2)) При каких значениях m парабола целиком расположена выше прямой у = -4?
Решение. Из условия следует, что , т. е.
(1). Переформулируем задачу: при каких значениях m решением неравенства (1) является любое число?
Это условие выполняется, если дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля.
.
,
.
.
Итак, при парабола целиком расположена выше прямой у = -4.
Ответ: при .
Пример 8. ([1], № 6.30 (2)) Найдите значения р, при которых вершина параболы расположена в четвертой четверти.
Решение.
, .
Т. к. по условию вершина параболы лежит в четвертой четверти, то
.
,
;
,
;
.
При вершина параболы расположена в четвертой четверти.
Ответ: при .
Пример 9. ([1], № 6.32 (1)) При каких значениях р вершины парабол и расположены по разные стороны от оси х?
Решение.
Найдем координаты вершин парабол:
, ;
, .
Т. к. вершины парабол расположены по разные стороны от оси х, то и имеют разные знаки, т. е.
, ,
или .
1) ,
;
,
.
Система не имеет решения.
2) ,
;
,
.
Первое неравенство системы выполняется при любом значении р. Решение второго неравенства:
,
Вершины парабол и расположены по разные стороны от оси х при , .
Ответ: при ,
Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена.
Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена лежали на числовой прямой по разные стороны от числа d, необходимо и достаточно выполнение условия .
Доказательство.
Возможны два случая: а > 0 и а < 0.
Из рисунков видно, что:
1)если а > 0, то f(d) < 0;
2) если а < 0, то f(d) > 0.
Заметим, что при любом значении ветви параболы направлены вверх, а, следовательно, . Это неравенство является необходимым и достаточным условием для выполнения требований теоремы.
Пример 10. При каких значениях параметра а один из корней уравнения больше числа а, а другой меньше числа а?
Решение. Переформулируем задачу: при каких значениях параметра а корни квадратного трёхчлена лежат на числовой прямой по разные стороны от точки .
Для решения этой задачи достаточно решить неравенство ,
, где
,
,
.
Ответ: .
Пример 11.([1], № 2.37(2)) При каких значениях а один корень уравнения меньше 2, а другой больше 2?
Решение. Переформулируем задачу: При каких значениях а корни квадратного трёхчлена лежат на числовой прямой по разные стороны от точки .
Следовательно, требованию задачи удовлетворяет решение неравенства ,
,
,
.
Ответ: .
Пример 12. ([1], № 2.38(1)) При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена ?
Решение. Чтобы число 1 находилось между корнями квадратного трёхчлена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
.
,
,
.
.
При число 1 находится между корнями квадратного трёхчлена .
Ответ: при .
Пример 13. ([1], № 6.31(1)) Найдите значения m, при которых
парабола пересекает ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от начала координат.
Решение. Переформулируем задачу: при каких значениях m число 0 находится между корнями квадратного трёхчлена ?
.
,
,
.
.
При парабола пересекает ось абсцисс в точках, расположенных по разные стороны от начала координат.
Ответ: при .
Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трёхчлена
принадлежали отрезку [m; n], необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
,
,
,
.
Пример 14. ([1], № 2.36(1)) При каких значениях а корни уравнения
принадлежат промежутку ?
Решение.
Рассмотрим квадратный трехчлен .
=1, , ,
.
Составим и решим систему:
,
,
,
;
,
,
.
.
Ответ: .
Теорема 3 Для того чтобы корни квадратного трёхчлена были больше числа d, необходимо и достаточно выполнение условий
,
,
.
Теорема 4 Для того чтобы корни квадратного трёхчлена были меньше числа d, необходимо и достаточно выполнение условий
,
,
.
Пример 15. ([1], № 6.31(2)) Найдите значения m, при которых парабола пересекает ось абсцисс в точках, расположенных по одну сторону от начала координат.
Решение.
Заметим, что данная парабола всегда пересекает ось абсцисс, т. к. её ветви направлены вверх, а координаты вершины .
Рассмотрим два случая.
1) Обе точки пересечения параболы с осью абсцисс
положительны, т. е. корни квадратного трёхчлена больше нуля. Тогда выполняются условия:
,
;
,
.
.
2) Обе точки пересечения параболы с осью абсцисс
отрицательны, т. е. корни квадратного трёхчлена меньше нуля. Тогда выполняются условия:
,
;
,
.
.
Объединяя результаты, получим: при и парабола пересекает ось абсцисс в точках, расположенных по одну сторону от начала координат.
Ответ: при и .
Заключение.
В процессе написания работы, поставленные ранее задачи, были выполнены. Были изучены некоторые виды задач с параметром, содержащих квадратный трёхчлен, и их решение, рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена, разобрано большое число примеров. Полученная информация проанализирована и систематизирована.
Данная работа может использоваться в качестве дополнительного учебного пособия для тех, кто готовится к государственной итоговой аттестации по математике, а также для проведения дополнительных занятий по алгебре.
На сегодняшний день исследовательскую работу на данном этапе можно считать законченной. Но так как была рассмотрена всего лишь малая часть задач, то возможно продолжение написания этой работы в следующем году. Предполагается, что данная работа будет более полной и развернутой.
Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче экзамена по математике.
6. Литература
Слайд 1
Задачи с параметрамиСлайд 2
Цель работы: рассмотреть определение задачи с параметром, способы решения основных типов задач с параметром
Слайд 3
Задачи: изучить литературу по данной теме; проанализировать характер заданий с параметром в материалах по подготовке к государственной итоговой аттестации по математике; научиться решать задачи с параметрами, содержащими квадратный трёхчлен.
Слайд 4
Задача 1. При каких значениях р вершины парабол и расположены по разные стороны от оси х ?
Слайд 5
Координаты вершин парабол: ( p ; -р 2 - 1) (2 p ; 4 p 2 + p )
Слайд 6
у х Система не имеет решения.
Слайд 7
у х
Слайд 8
При вершины парабол и расположены по разные стороны от оси х.
Слайд 9
Теорема . Для того чтобы корни квадратного трёхчлена лежали на числовой прямой по разные стороны от числа d , необходимо и достаточно выполнение условия . 0 x 1 d x 2 x y af(d)
Слайд 10
Задача 2. При каких значениях а один корень уравнения меньше 2, а другой больше 2? При каких значениях а корни квадратного трёхчлена лежат на числовой прямой по разные стороны от точки х = 2?
Слайд 11
a = 1, d = 2
Слайд 12
При один корень уравнения меньше 2, а другой больше 2.
Слайд 13
Задачи с параметрами
Калитка в сад
Лесная сказка о том, как согреться холодной осенью
Распускающиеся бумажные цветы на воде
Зимняя ночь. Как нарисовать зимний пейзаж гуашью
Чья проталина?