Лист Мёбиуса

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с. Макарово»

                                                                                             Выполнила:

        Ученица 7 класса

        Хорошева Юлия

        Руководитель:

        Учитель математики

        Потапова Галина                                  

        Сергеевна

с. Макарово

 2011 год

Содержание

Титульный лист        1

Оглавление                                                                        2

Цели и задачи                                                                   3

Введение                                                                           4                                                                          

Исследовательская работа                                           5 - 9

Выводы                                                                          10

Список  литературы                                                       11

Приложения                                                                    12

Цель:

   Показать, что в математике  много  увлекательного и интересного.

Задачи:

Узнать:

• В чём состоит феномен  листа Мёбиуса и какие загадки он хранит;
• Что можно сделать с лентой Мёбиуса;
• Где можно встретить ленту Мёбиуса;

Изучить:

• Историю жизни А. Мёбиус
• Применение ленты Мёбиуса
• Свойства Ленты Мёбиуса, найти, где используются её свойства
• Эксперименты с лентой Мёбиуса

Введение

Заинтересованность данного проекта началась во внеурочное время на занятиях кружка "Математик". Занятия проходят один раз в неделю.

На одном из занятий нас познакомили с Лентой Мёбиуса. Мне стало интересно. И я решила углубить свои знания по данной теме. У меня возникло желание узнать,  откуда лента получила такое название? Каковы её свойства, что так волнуют человечество? Почему космический корабль может вернуться к месту старта? Какова связь между лентой Мёбиуса и жизнью человека? И верна ли гипотеза о том, что лента Мёбиуса бесполезное открытие. А так же раскрыть загадку: можно ли в бутылку Клейна налить воду?

Исследовательская работа

Выполнение исследования начала с бумажными и электронными документами, с ножницами и бумагой, с красками и кистями.

Работу мы начали с проверки гипотезы "Является ли топология разделом математики?". Таких сведений мы не нашли.

А вот гипотеза о том, что это раздел математики нашла свое подтверждение.

В результате наших исследований по теме было выяснено следующее:

Топология — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре. 

• Односторонность 

Нельзя попасть на другую сторону поверхности не переходя через край, другой стороны поверхности просто не существует

• Непрерывность 

Если двигаться от края ленты по ее центру, то конца движению не будет

• Связность 

любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нудно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Ну, а наш лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

• Ориентированность 

Конечно, можно было подробно рассказать что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – нессиметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

Вторым вопросом стал исторический вопрос

«Как появилась лента Мёбиуса?»

Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790 – 26.09.1868), немецкий геометр и астроном, профессор Лейпцигского университета. Родился в Шульпфорте. Некоторое время под руководством К.Гаусса изучал астрономию. С 1816 года начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818 году стал её директором, а позже – профессором Лейпцигского университета.  Лента Мёбиуса была обнаружена в 1858 г. До него считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны. Мёбиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону.

Говорят, что придумал свою ленту Август Фердинанд Мёбиус, когда наблюдал за горничной, которая надевала на шею шарф.

Лента Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей». В 1858 г. Мёбиус отправил в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус – в 1862 г. Открыть свой «лист» Мёбиуса помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Затем стали рассматривать вопрос «Что можно сделать с лентой Мёбиуса?»

Изготовим лист Мёбиуса: возьмите бумажную полоску – длинный узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см). Перекрутив один конец полоски на 180º, склейте из нее кольцо (точки А и С, В и D). Модель готова. А по этому листу Мебиуса шагает пешеход (еще картинка).

Лист Мебиуса преподнесет вам сюрприз, если вы попытаетесь его разрезать. Разрежьте лист по центральной линии. Что у вас получилось?  Вместо того, чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску. Полученную после первого разреза ленту снова разрежьте по центральной линии. Перед последним сжатием ножниц попробуйте угадать, что будет?

А теперь попробуем изготовить такую модель: в полосе АВСD прорезать щель и продеть сквозь неё один конец. Повернув, на пол оборота, склейте, как показано на рисунке. А теперь продолжите разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось?

Чтобы получить ленту Мебиуса, мы переворачивали полоску бумаги на 180º, на пол оборота. Теперь полоску скрутите на 360º, полный оборот. Склейте, затем разрежьте её по центральной линии. Какой получиться результат, трудно предугадать.

Опыты с листом Мёбиуса. Что произойдет с Листом Мёбиуса, если его разрезать на разное количество полосок?

Результаты первого опыта

Можно, конечно, провести ещё немало опытов с перекручиванием ленты на 3, 4 оборота с последующим разрезанием кольца вдоль посередине, на расстоянии 1/3 её ширины от края. Но усложнение эксперимента часто не приводит к более эффектным результатам. Недаром говорят: «Просто, как всё гениальное».

Существуют ли ещё подобные объекты?

Да, существуют, и ещё более замысловатые. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка - Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. Как она выглядит смотри приложение.

Запустите суда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.

На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» - нет зазора, хотя это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться после того как он куда то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!

И последним вопросом рассмотрели применение ленты Мёбиуса.

Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса, появившийся в 1858 году, волновал художников и скульпторов. Много рисунков с изображениями листа Мебиуса оставил известный голландский художник Морис Эшер. Целую серию вариантов листа Мебиуса можно встретить в скульптуре.

Во многих странах мира: России, Белоруссии, Германии, Латвии многих других есть памятники этому необычному объекту. В Казахстане существует   Библиотека в форме ленты Мёбиуса.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“».

Лист Мебиуса удивительная поверхность и притягивает к себе внимание не только математиков, но и людей искусства. Посмотрите, скульптуры и картины в основе которых лежит лист Мебиуса. Математика не является отвлеченной наукой. Очень многие математические знания и факты связаны с природой. Посмотрите лист Мебиуса, созданный природой.

Выводы

Занимаясь этой исследовательской работой,  я узнала:

• в чём состоит феномен листа Мёбиуса и какие загадки он хранит;
• что можно сделать с лентой Мебиуса и где её можно встретить.

Я  изучила  историю жизни А. Мёбиуса.

Рассмотрела её применение и использование в нашей  жизни.

Убедилась,  что  лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется.

Провела эксперименты с лентой Мёбиуса. И пришла к выводу, что главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям.

Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках.

Список использованных материалов при создании проекта:

1. Геометрия: учеб. для 11 кл. школ с углубл. изучением математики / А.Д.Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – М.: Просвещение, 2006.
2. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мёбиус, Август Фердинанд в архиве MacTutor
3. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

4. INTEL. Обучение для будущего: при поддержке Microsoft.2003 Intel Corporation.

5. Интернет: www.yandex.ru
6. Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука. Том 2 Геометрия. Теория аналитических функций. 1981. 
7. Материал из свободной энциклопедии %20Википедия: «Бутылка Клейна»; «Искусство и технология»; «Открытые проблемы»; «Подобные объекты»; «Геометрия и топология».
8. Математика. 9-11 классы: Проектная деятельность учащихся / авт.-сост. М.В.Величко. – Волгоград: Учитель, 2007.

Приложение 1