Исследовательская работа по физике на тему: «Оптико-механическая аналогия»

ВВЕДЕНИЕ

В мире существует великое множество интересных, увлекательных вещей! Человек любознателен по своей натуре, и если он сильно чем-то заинтересован, то никакой силой его от предмета своего увлечения не оторвешь. Стоит глубже копнуть, как сразу же понимаешь, насколько удивительно устроена наша Вселенная. Одним из представителей такого рода людей являюсь я. И вот внезапно меня осенило – я задал себе такой вопрос: «Существует ли нечто общее между различными явлениями?» И, подумав немного, я понял, что это так! Например, колебания в механике и в электродинамике. Что же еще?! Меня очень сильно заинтересовал данный вопрос, и на ближайшем уроке я с нетерпением задал его своему учителю по физике, Любови Александровне. Из беседы с ней я узнал, что в природе бесчисленное множество аналогий, одна из которых заинтересовала меня более всех – оптико-механическая.

Оптико-механическая аналогия – это сходство траектории движения частицы в потенциальном силовом поле с траекторией лучей в оптически неоднородной среде. Траектория материальной точки и траектория светового луча совпадают при определенном соответствии потенциальной энергии и переменного в пространстве показателя преломления среды. Этот факт был теоретически открыт выдающимся ирландским математиком и физиком У. Р. Гамильтоном (1805–1865) в 1834 году [1] и уже в нашем столетии оказал влияние на установлении связи между волновой оптикой и волновой (квантовой) механикой.

Актуальность исследуемой темы: практическое значение оптико-механической аналогии связано с использованием ее в электронной оптике, которая занимается формированием и фокусировкой пучков электронов (или ионов) для получения с их помощью изображений и созданием на этой основе электронных и ионных микроскопов и проекторов.

Цель работы: привести элементарное доказательство оптико-механической аналогии Гамильтона, раскрывающей связь механики с геометрической оптикой.

Задачи:

• рассмотреть сходство траектории движения частицы потенциальном силовом поле с траекторией лучей в оптически неоднородной среде;
• сформулировать алгоритм расчета траектории;
• сопроводить изложение вопроса краткими историческими комментариями.

Объект исследования:

• Закон преломления луча в неоднородной среде;
• Закон преломления в механике для движения частицы в потенциальном поле.

Предмет исследования: установление конструктивной связи между геометрической оптикой и классической механикой.

Методы исследования:

• изучение научной литературы;
• проведение практических работ по оптике;

Работа состоит из введения, содержания, теоретической и практической частей, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Теоретическая часть.

Глава I.

Закон преломления в оптике.

Закон преломления является одним из основных законов геометрической оптики:

Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью к границе раздела двух сред. При прохождении света из среды с показателем преломления n1в среду с показателем преломления n2отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно обратному отношению показателей

преломления:

n1 sin a1= n2 sin a2                                        (1)

или

 =                                                 (1a)

Первая попытка установить количественно закон преломления принадлежала, по-видимому, греческому астроному К. Птолемею (II в. н.э.). Птолемей объяснял изменение видимого относительного углового положения небесных светил преломлением световых лучей в атмосфере, то есть атмосферной рефракцией. Составленные им таблицы оказались достаточно точными, но так как его измерения относились к сравнительно небольшим углам наблюдения, то он пришел к неправильному заключению о пропорциональности углов (а не синусов) падения и преломления. Эта ошибка была замечена только через тысячу лет (!) арабским ученым Альгазеном (965–1039), но правильного выражения закона он дать не смог.

Около 1270 года итальянский монах Вителиус написал десятитомную(!) оптическую энциклопедию. В ней, в частности, содержались таблицы углов падения и преломления при переходе световых лучей из воздуха в стекло, из воздуха в воду и из воды в стекло. Однако приведенные там данные были неточными. Они ввели в заблуждение И. Кеплера (1571–1630), пытавшегося найти форму поверхности, которая преломляет параллельный пучок так, чтобы он сходился в одной точке. Кеплер был близок к правильному результату – гиперболической поверхности вращения, но отказался от него, так как он не согласовывался с данными Вителиуса.

Честь открытия закона преломления принадлежит голландскому физику В. Снеллиусу (1580–1626) и французскому математику, физику и философу Р.Декарту (1596–1650). К сожалению, книга Снеллиуса, которая содержала этот закон, была вскоре утрачена, так что “Диоптрика” Декарта является первым сохранившимся изданием, содержащим закон преломления. После смерти Декарта была поставлена под сомнение независимость его открытия. Утверждали, что Декарт видел книгу Снеллиуса. Возможно, что это было и так, однако сравнительно недавние исследования показали, что Декарт знал закон преломления еще до своей поездки в Голландию, где он познакомился со Снеллиусом.

Закон преломления в форме (1) для двух сред, разделенных плоской поверхностью, легко обобщается на случай неоднородной среды с изменяющимся в пространстве показателем преломления. Именно такую среду представляет собой атмосфера. Неоднородность показателя преломления в атмосфере связана с неоднородностью плотности воздуха. Будем считать ради простоты, что слой воздуха плоский и что показатель преломления зависит только от высоты. Тогда  можно мысленно разбить этот слой воздуха на тонкие параллельные слои, в каждом из которых показатель преломления будем приближенно считать постоянным и изменяющимся скачком от слоя к слою (приложение 1, рис. 1). С уменьшением толщины этих вспомогательных слоев и увеличением их числа мы будем приближаться к реальной ситуации. При переходе из одного слоя в другой луч света будет испытывать преломление в соответствии с законом (1):

ni sin ai = ni+1sin ai+1                                        (2)

На каком-то k-м шаге луч может испытать и полное внутреннее отражение, если окажется, что sin ak = . Если же полного внутреннего отражения не происходит, то можно без труда доказать, используя (2), что угол преломления в i-м слое полностью определяется углом падения в нулевом слое и наоборот:

                                        (3)

Поэтому истинное угловое положение светила a∞, которое исследовал Птолемей, может быть определено по наблюдаемому положению a0 с помощью уравнения

                                        (4)

У поверхности Земли показатель преломления n0 = 1,0003, а n∞ полагается равным точно 1. Конечно, простая формула (4) справедлива только для светил, высоко стоящих над горизонтом, когда луч света проходит плоский слой атмосферы и можно пренебречь шарообразностью Земли (приложение 1, рис. 2).

Изменение плотности воздуха (и вместе с ней показателя преломления) с высотой оказывается выраженным гораздо сильнее, если имеет место сильный перепад температуры с высотой. Например, в холодных странах плотность воздуха понижается с высотой более резко, чем в странах с умеренным климатом. Наоборот, в жарких странах сильное нагревание воздуха у поверхности Земли приводит к тому, что воздух внизу оказывается более разреженным, чем при несколько больших высотах. Поэтому в первом случае имеется область, в которой показатель преломления уменьшается с высотой, а во втором увеличивается. При достаточно резком изменении показателя преломления может возникнуть мираж, обусловленный полным внутренним отражением лучей. Чтобы объяснить это явление, предположим для определенности, что показатель преломления убывает с высотой. Тогда луч, исходящий от какого-то предмета на поверхности Земли, испытает полное внутреннее отражение на высоте h, которую можно найти, согласно (3), из уравнения

Где n(0) – показатель преломления воздуха на нулевой высоте; a0 – угол, определяющий начальное направление луча относительно вертикали; n(h) – показатель преломления на высоте h. Наблюдателю тогда будет казаться, что предмет находится наверху – это так называемый верхний мираж (приложение 1, рис. 3,а). Если же показатель преломления возрастает с высотой, то может возникнуть нижний мираж: наряду с истинным изображением предмета появится изображение внизу и в перевернутом виде (приложение 1, рис. 3,б). Даже в наших не слишком жарких условиях мы часто наблюдаем нижний мираж: блестящие пятна на нагретом шоссе – отражение неба.

Оптически неоднородные среды представляют и большой практический интерес. Их используют для конструирования так называемых абсолютных оптических приборов, то есть оптических систем, дающих резкое (без аберрации) изображение трехмерного предмета. Они имеют широкое применение для создания безоболочечных световодов – так называемых сельфоков. В частности, имеются сельфоки, созданные на основе кварцевого стекла с параболической зависимостью показателя преломления от радиуса (показатель преломления максимален на оси световода). Интересно, что при диаметре такого световода 0,1 мм и длине 1 км по нему можно передать изображение с разрешающей способностью 500 линий/мм.

Глава II.

Закон преломления в механике

для движения частицы в потенциальном поле

Пока лишь рассмотрен вопрос о траектории луча в оптически неоднородной среде и сформулировали алгоритм расчета этой траектории. Теперь рассмотрим, как определяется траектория материальной точки массы m, движущейся в потенциальном поле U(x,y,z). Ее полная энергия складывается из кинетической и потенциальной и сохраняется (в силу закона сохранения энергии) в процессе движения

Где V – абсолютная величина мгновенной скорости.

Потенциальная энергия определяется как работа по перемещению тела из данного положения в некоторую другую точку, в которой потенциальная энергия принимается за нуль. В простейшем, известном из школьного курса случае для потенциальной энергии в однородном поле тяжести имеем

Здесь координата z определяет высоту подъема над поверхностью Земли, принимаемую за уровень, для которого потенциальная энергия полагается равной нулю. Более точное выражение для потенциальной энергии тела над поверхностью Земли следует из закона всемирного тяготения

Где g – постоянная всемирного тяготения, m – масса тела, M – масса Земли, R – радиус Земли, r – расстояние от поверхности Земли. В данном случае нуль потенциальной энергии выбирается в бесконечно удаленной точке.

В дальнейшем будет важно, что при движении в потенциальном поле при заданном начальном значении энергии абсолютная величина скорости однозначно определяется, согласно (6), положением материальной точки в пространстве:

Для простоты дальнейшего изложения рассмотрим случай, когда сила, действующая на материальную точку, всюду имеет одинаковое направление, как в первом примере, но может изменяться по величине, как во втором примере. В этом случае потенциальная энергия будет зависеть только от одной координаты, которая отсчитывается вдоль направления, по которому направлена сила.

Аналогично тому, как сделано при рассмотрении траектории луча, разобьем пространство на слои в направлении, перпендикулярном направлению силы. Пускай в каждом слое скорость материальной точки считать приближенно постоянной.

Положим, что материальная точка массы m, имеющая скорость V1, пересекает границу первого и второго слоев. Во втором слое скорость частицы V2. Согласно второму закону Ньютона,

где ∆t1– время прохождения первого слоя.

Согласно формуле (10), составляющая скорости, перпендикулярная силе, не изменяется. Поэтому движение частицы будет происходить в одной плоскости, проходящей через направление начальной скорости и направление силы. Это утверждение представляет собой аналог первой части закона преломления.

Выберем в плоскости движения декартову систему координат (x, y), причем ось Oy выберем вдоль направления силы. Тогда из (10) следует

где V1x , V1y , V2x , V2y – проекции скорости в первом и втором слоях на выбранные оси координат, F – составляющая силы вдоль оси Oy. Первое уравнение (11) можно заменить на

где a1 и a2 – углы, которые образуют скорости в первом и втором слоях с направлением силы. А это как раз аналог второй части закона преломления, выражаемой формулой (1а).

В каждом слое абсолютная величина скорости однозначно определена. Поэтому угол ai, под которым скорость направлена к действующей силе в каждом слое, может быть найден с помощью закона преломления (12) по углу ai - 1. Таким образом, для определения траектории материальной точки получается тот же алгоритм, что и для определения траектории луча (приложение 2, рис. 4).

Роль показателя преломления в рассматриваемом случае играет величина скорости. Очевидно, что траектория луча и траектория частицы будут в точности совпадать, если показатель преломления пропорционален скорости и направление луча в начальной точке совпадает с направлением скорости. Согласно (9), первое условие может быть выражено равенством

где b – произвольный положительный коэффициент пропорциональности.

Если необходимо найти одно из возможных потенциальных полей, в котором частица движется по такой же траектории, что и луч в заданной неоднородной среде, то это проще сделать для случая E = 0.Тогда

При этом потенциальная энергия U(y) должна быть отрицательной. Величина b произвольна. Из сказанного выше следует, что она не должна влиять на траекторию. На что же она влияет? Так как показатель преломления является безразмерной величиной, то очевидно, что b зависит от выбираемой единицы энергии. Если масштаб координаты фиксирован, то изменение единиц энергии можно достичь изменяя единицы массы и времени. Таким образом, изменение b можно интерпретировать как переход к случаям движения частиц с другими массами или при фиксированной массе в другом масштабе времени (быстрее или медленнее). При определенном выборе единиц величину b можно положить равной 1.

Таким образом, сформулированная выше оптико-механическая аналогия доказана. Правда, она доказана для случая силы, имеющей постоянное направление в пространстве. Но это не умаляет общности результата, поскольку в достаточно малой окрестности направление силы можно считать фиксированным, а оптическую среду – слоистооднородной.

Практическая часть.

Экспериментальное подтверждение закона преломления в геометрической оптике.

Измерение показателя преломления стекла.

Оборудование, необходимые измерения.

В работе измеряется показатель преломления стекляной пластины, имеющей форму трапеции. На одну из параллельных граней пластины наклонно к ней напрвляют узкий световой пучок. Проходя через пластину, этот пучок света испытывает двукратное преломление. Источником света служит электрическая лампочка, подключенная через ключ к какому-нибудь источнику тока. Световой пучок создается с помощью металлического экрана с щелью. При этом ширина пучка может меняться за счет изменения расстояния между экраном и лампочкой.

Показатель преломления стекла относительно воздуха определяется по формуле

где α – угол падения пучка света на грань пластины (из воздуха в стекло); β – угол преломления светового пучка в стекле.

Для определения отношения, стоящего в правой части формулы, необходимо следующее: перед тем как направить на пластину световой пучок, ее располагают на столе на листе миллиметровой бумаги (ил листе бумаги в клетку) так, чтобы одна из ее паралельных граней совпала с предварительно отмеченной линией на бумаге. Эта линия укажет границу раздела сред воздух – стекло. Тонко очиненным карандашом проводят линию вдоль второй паралельной грани. Эта линия изображает границу раздела сред стекло – воздух. После этого, не смещая пластины, на ее первую параллельную грань направляют узкий световой пучок под каким-либо углом к грани. Вдоль падающего на пластину и вышедшего из нее световых пучков тонко очиненным карандашом ставят точки 1,2,3 и 4 (приложение 3, рис.1). После этого лампочку выключают, пластину снимают и с помощью линейки прочерчивают входящий, выходящий и преломленный лучи (приложение 3,рис. 2). Через точку В границы раздела сред воздух – стекло проводят перпендикуляр к границе, отмечают углы падения α и преломления β. Далее с помощью циркуля проводят окружность с центром в точке В и строят прямоугольные треугольники АВЕ и СВD.

Так как  ,  и АВ = ВС, то формула для определения показателя преломления стекла примет вид

Длины отрезков АЕ и DC измеряют по миллиметровой бумаге ил с помощью линейки. При этом в обоих случаях инструментальную погрешность можно считать равной 1 мм. Погрешность отсчета надо взять также равной 1 мм для учета неточности в расположени линейки относительно края светового пучка.

Максимальную относительную погрешность ε измерения показателя преломления определяют по формуле

ε =

Максимальная абсолютная погрешность определяется по формуле

Окончательный результат измерения показателя преломления записывается так:

Вычисления:

nпр1 = АЕ1/DC1 = 34/22 = 1,5.

nпр2 = АЕ2/DC2 = 22/14 ≈ 1,55.

Δ АЕ = Δ DC = Δ АЕИНСТР+ Δ АЕОТС = 1+1 = 2мм.

Заключение

Не буду углубляться в подробности геометрической оптики и классической механики, чтобы не затушевать главный результат, заключающийся в том, что классическую механику можно рассматривать как аналог геометрической оптики. Это открытие У.Р. Гамильтона объяснило, в частности, почему волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория Ньютона одинаково хорошо описывали явления отражения и преломления света. Отмечу только, что еще до работ Гамильтона начиная с XVII века настойчивые поиски оптико-механической аналогии такими выдающимися учеными, как Р. Декарт, П. Ферма, Х. Гюйгенс, И. Ньютон и др., способствовали активному развитию как оптики, так и классической механики [3, 4]. Так, известный вариационный принцип Ферма в оптике был использован Я. Бернулли для формулировки первого вариационного принципа в механике, что в конце концов привело к созданию такой важной области математики, как вариационное исчисление.

Гамильтон не только установил конструктивную связь между геометрической оптикой и классической механикой, но и выяснил соответствие между геометрической оптикой и волновой оптикой. К сожалению, первоначально работы Гамильтона были опубликованы в малоизвестных “Трудах Ирландской академии наук”, и поэтому идеи Гамильтона не сразу оказали влияние на развитие физики. Только немногие из английских физиков, в частности Дж.К. Максвелл и Рэлей, знали работы Гамильтона по оптике и применяли его методы. Фактически в исследованиях Гамильтона содержалось предсказание возможности волновой механики. В 20-х годах нашего века эти идеи Гамильтона были развиты Луи де Бройлем и Э. Шрёдингером при создании концепции корпускулярно-волнового дуализма, что в итоге привело к созданию современной квантовой механики.

Считаю, что цели и задачи, поставленные мною во введении, полностью выполнены. Данную работу можно использовать для проведения внеклассных часов по физике. Исследования такого рода необходимо проводить и в других областях физики (аналогия механических и электрических колебаний).

Итоговым продуктом моей работы будет выступление перед учащимися 10-11 классов физико-химического профиля МОУ СОШ №1.

В перспективе буду изучать аналогию механических и электрических колебаний.

Список использованной литературы.

1. Гамильтон У. Избранные труды. М.: Наука, 1994. 560 с. (Классики науки).
2. Кудрявцев П.С. История физики. М.: Учпедгиз, 1948. Т. 1. 535 с.
3. Меркин Д.Р. Краткая история классической механики. М.: Наука, 1994. 160 с.
4. Вариационные принципы механики. / Под ред. Л.С. Полака. М.: ГИФМЛ, 1959. 932 с.
5. Соросовский журнал.10-1997.
6. Новая школьная энциклопедия. Вещество и энергия. - М.: ООО «РОСМЭН-ПРЕСС», 2005. – 736 с.,ил.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.

Рис.1

Рис.2