Исследовательская работа по теме "Квадратные уравнения"

Для
ал-Хорезми
, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений. Его решение, конечно, не совпадает полностью с
нашим.При
решении квадратных уравнений
ал-Хорезми
на частных числовых примерах излагает правила решений, а затем их геометрические доказательства.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,
Кардано
, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда
Жирара
, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Доказательство: Рассмотрим приведенное квадратное уравнение.

х²+
p
х+
q
=0
и
Найдем сумму корней:
Если дискриминант этого уравнения больше нуля, то уравнение имеет два корня :
Сумма корней равна –
p
, т.е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
Теорема Виета
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Итак:
1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек ᴨересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
Исследовательская работа по теме «Квадратные уравнения»
г
.Старый Оскол, МБОУ «СОШ № 40»
Выполнила ученица 8 класса
Иосава
Лиана
3. Разность между ними 2х.
4. Отсюда уравнение
5. Ответ
x
= 2 . Одно из искомых чисел равно 12,
другое - 8.
Решение
x
= - 2 для Диофанта не существует, т.к. греческая математика знала только положительные числа.
 
Преобразуем теперь левую часть уравнения x²+6x-7=0 , прибавляя к ней и вычитая 3 ² .
Получается:
x²+6x-7=x²+2·x·3+3²-3²-7=(x+3) ²-9-7=(x+3) ²-16 .
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(x+3) ²-16=0
(x+3) ²=16.
Следовательно, x+3 = 4, x = 1 , или x+3 = - 4, x =-7 .
Значит числа -4 и -7 являются корнями уравнения x ²+6x-7=0
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам
Полагая , , , из подобия треугольников CAH и CDF получим пропорцию
откуда после подстановки упрощений вытекает уравнение , причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Задания

(ответ: корней нет)

(ответ:-1; )

(ответ: )

(ответ: ≈ -17.247; ≈ 3.2470)

(ответ: ≈ -2.3920; ≈ -0.18491)

(ответ: корней нет)
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.
Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
«Квадраты равны корням», т.е.
«Квадраты равны числу», т.е.
«Корни равны числу», т.е.
ax
= с.
«Квадраты и числа равны корням», т.е.
«Квадраты и корни равны числу», т.е.
«Корни и числа равны квадратам», т.е.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов
b
, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.
М. Штифель
Дискриминант - это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения

Дискриминант обозначают латинской буквой D
Формула дискриминанта:
1)Если D < 0, то уравнение не имеет корней.
2)Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3)Если D > 0, то уравнение имеет два корня


2. Метод выделения полного квадрата
x
²+6x-7=0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражения x²+6x в следующим виде. x²+6x=x²+2·
x
·3.
В полученном выражении первое слагаемое- квадрат числа
x
,а второе- удвоенное произведение
x
на 3. Поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 ² , так как x²+2·
x
·3+3²=(x+3)²
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения и проходит через точки А (0;)
1) и С (0; ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем
откуда
Центр окружности находится в точке пересечения ᴨ
ерпендикуляров
SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, в связи с этим
5.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата , четырех прямоугольников (4* 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25* 4 = 25), т.е. Заменяя числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
у - 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = - 2.


Квадратные уравнения в Европе
XIII - XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний во многих странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.
Леонардо Фибоначчи
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»
Диофант рассуждает следующим образом:
1. Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, т.к. если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100.
2. Т.е. одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 +
x
, другое же меньше, т.е. 10 – х.

Перемножив
x1
и
x2
, получим

.

Но так как

то

, а поэтому
Пусть корни квадратного уравнения



равны
x1
и
x2
. Разделив обе части этого уравнения на
a


получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение , имеющие те же корни
По теореме Виета:
6.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Номограмма - графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций ( например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений.
С помощью номограммы можно решить только приведенные уравнения.
Древний Вавилон
Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение было тесно связано практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии
вообще.
Квадратные

уравнения

у Ал-Хорезми
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда
бен

Мусы

аль-Хорезми
. В алгебраическом трактате
ал-Хорезми
дается классификация линейных и квадратных уравнений.
Квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т.е. на
a


Разложим левую часть на множители:

x
-4=0 или
x
+2=0

x
=4
x
=-2
Значит числа 4 и -2 являются корнями уравнения
1.Разложение
левой части уравнения на множители
Квадратным уравнением называется уравнение вида ,где
a
,
b
, с – некоторые числа, a≠0,
x
–переменная.
a
- первый коэффициент,
b
- второй коэффициент, с - свободный член.
Способы решения квадратных уравнений
4.Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ,
1. Если
a+

b
+ с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
х1 = 1
,
2. Если а -
b
+ с = 0, или
b
= а + с, то
х1 = - 1
,

При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках B (х1; 0) и D (х2; 0), где
х1 и х2 - корни квадратного уравнения
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох в точке B (х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
История
1. Древний Вавилон
2. Индия
3. Квадратные уравнения у Ал-Хорезми
4.
Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв
5. Как составлял и решал уравнения Диофант
Данное решение автора совпадает с современной формулой решения приведенных квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом, которое так нравится применять учащимся: “
b
, со знаком взяв обратным, мы на два его поделим и от корня аккуратно знаком минус плюс отделим, а под корнем очень кстати половина
b
в квадрате; минус
c
и вот решенье непростого уравненья”.
Трактат
ал-Хорезми
является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения
.
Уравнение называется неполным квадратным уравнением, если
b
= 0 или
c
= 0, т.е. коэффициент при переменной
x
или свободный элемент равен нулю
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых, т.е. это уравнение, у которого коэффициенты
b
и с отличны от нуля.
В дальнейшем в некоторых случаях целесообразно считать, что такое уравнение имеет не один, а два разных корня:
Тогда и в этом случае теорема Виета останется верной.
Сложив
x1
и
x2
, получим –
p
:
Рассмотрим квадратное уравнение , где
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
Пусть ах = у, откуда ; тогда приходим к уравнению
равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем и .
При этом способе коэффициент
a
умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски".
4. Решение уравнений способом «переброски»

Брахмагупта
еще не знал, что квадратный корень может иметь два значения – положительное и отрицательное – и что, соответственно, у квадратного уравнения также может быть два корня. Однако математик IX в.
Магавира
уже знал не только о двузначности квадратного корня, но и о двух решениях квадратного уравнения: а ведь ни египтяне, ни вавилоняне, ни греки (даже Диофант) этого не заметили.
Брахмагупта
Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
Преобразуем левую часть получившегося уравнения:
Отсюда получаем:
или
x1=m, x2=n
Значит, числа
m
и
n
являются корнями уравнения
7. Геометрический
способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.
1) Решим уравнение
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39»
Проблема
исследования

Решение квадратных уравнений с большими коэффициентами вызывает трудности у учащихся

Трудности связаны с необходимостью выполнять много вычислительной работы, извлекать квадратные корни из больших чисел:
Выше изложенное обусловило проблему исследования, которая заключается в поиске приемов и способов устного решения квадратных уравнений.
Цель исследования
Изучить устные приемы решения квадратных уравнений .
Гипотеза исследования
Используя новые устные приемы , можно решать уравнения легко и просто!
Показать применение данных способов при решении уравнений.
Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов.

Задачи проекта
Проследить историю развития теории и практики решения квадратных уравнений.
Рассмотреть способы решения квадратных уравнений.
Общее правило решения уравнений вида: , где
a
> 0,
b
и
c
– любые, сформулировал
Брахмагупта
. Вот как оно выводилось. Умножим обе части уравнения на 4a:
прибавим к каждой части :
Так как левая часть обращается в квадрат, то:
откуда
Приведем пример. “Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения ).
Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Классификация
По наличию коэффициентов
Полные:
Неполные: , или
По значению старшего коэффициента
Приведенные:
Неприведенные:
Найдем произведение корней:
Произведение корней равно
q
, т.е. свободному члену:
Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. Его можно найти по формуле корней


Доказательство. Пусть - приведенное квадратное уравнение, а числа
m
и
n
такие, что
m
+
n
=-
p
и
mn
=
q
. Подставим в это уравнение вместо
p
равное ему число
mn
, получим равносильное ему уравнение

Для приведенного квадратного уравнения справедлива теорема, обратная теореме Виета:
Если числа
m
и
n
таковы, что их сумма равна –
p
, а произведение равно
q
, то эти числа являются корнями уравнения
3. Решение квадратных уравнений по формуле
Умножим обе части уравнения на 4
a
и последовательно имеем:

Примеры:
Решение: для уравнения номограмма дает корни z1=8,0 и z2=1,0
Ответ: 1; 8
Источники
http://raal100.narod.ru/index/0-254
http://egesdam.ru/page221.html
http
://
skolkobudet
.
ru
/
publ
/4-1-0-18
http
://
www
.
berdov
.
com
/
docs
/
equation
/
quadratic
_
equations
/
http://ucheba-legko.ru/lections/viewlection/matematika/8_klass/kvadratnyie_uravneniya/lec_kvadratnyie_uravneniya__osnovnyie_ponyatiya
http://www.berdov.com/docs/equation/kak-reshat-bikvadratnoe-uravnenie/

http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/59ecb259-5ebc-f85d-8cb5-7912c6e42577/00145619855640658.htm
http://lib.repetitors.eu/matematika/104-2009-12-19-19-08-30/313-2009-12-19-19-09-52
http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html
http://do.gendocs.ru/docs/index-13282.html
http://umigan.tulunr.ru/files/Rabota.pdf
 Большой справочник для школьников и поступающих в вузы по математике/ Д.И Аверьянов, П.И. Алтынов, И.И. Баврин
Учебник по алгебре 8 класс Ю. Макарычев, И.Феоктистов
http://www.fxyz.ru/формулы_по_математике/уравнения/решение_уравнения_первой_степени/
http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/Equations/SquareEquations/
http://festival.1september.ru/articles/556968/
http://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations/
http://xreferat.ru/54/1828-1-10-sposobov-resheniya-kvadratnyh-uravneniiy.html
http://referatwork.ru/new/source/119893text-119893.html
http://www.myshared.ru/slide/69473/
http://rudocs.exdat.com/docs/index-200167.html
http://skolkobudet.ru/publ/4-1-0-18
http://topreferat.znate.ru/docs/index-16065.html?page=2
http://ppt4web.ru/matematika/reshenie-kvadratnykh-uravnenijj-razlichnymi-sposobami.html
Индия
В Индии задачи на квадратные уравнения встречаются с глубокой древности. И именно индийцы впервые исследовали эти уравнения с любыми коэффициентами, как положительными, так и отрицательными.