Применение производной в химии и биологии

Слайд 1

Слайд 2

Введение Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В геометрии производная характеризует крутизну графика, в механике – скорость неравномерного прямолинейного движения, в биологии – скорость размножения колонии микроорганизмов, в экономике – отзывчивость производственной функции (выход продукта на единицу затрат), в химии – скорость химической реакции.

Слайд 3

Биологический смысл производной Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x ( t ). Пусть ∆ t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t +∆ t . Тогда у + ∆у = x ( t +∆ t ) - новое значение численности популяции, соответствующее моменту t +∆ t , а ∆ y + x ( t + ∆ t )- x ( t ) - изменение числа особей организмов. Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя , получаем y ‘ = P ( t ) = x ‘ ( t ) , или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t .

Слайд 4

Что же такое популяция? Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

Слайд 5

Пример Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t ) особей. . Найти скорость роста популяции: а) в произвольный момент t , б) в момент t = 1 c . Решение: P = x’(t) = 200t; P(1) = 200 ( с). Ответ: 200 с.

Слайд 6

Химический смысл производной Пусть дана функция p = p ( t ),где p -количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t . Приращению времени ∆ t будет соответствовать приращение ∆ p величины p . Отношение ∆ p /∆ t - есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆ t . Предел этого отношения при стремлении t ∆ к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени . v (t) = p ’ (t)

Слайд 7

Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Слайд 8

Пример Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью : р (t) = t 2 /2 + 3 t –3 ( моль). Найти скорость химической реакции через 3 секунды. Решение: v (t) = p ‘(t) ; v (t) = t + 3; v (3) = 3+3 = 6. Ответ: 6 моль\с.

Слайд 9

Спасибо за внимание!