Исследовательская работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 4ГОРОДА ЗЕИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ

Игрушка ФЛЕКСАГОН

                                                          Автор: Зильберблюм Никита,

7Б класс, МОБУ СОШ № 4 Руководитель исследовательской работы: Пономаренко Екатерина Ивановна, учитель математики

Зея, 2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение……………………………………………………………………………3

1.Что такое флексагон………………………………………………………………5

2.История создания флексагонов……….………………………………………….6

3. Виды флексагонов…….……………………………………………………….8

3.1. Гексафлексагоны(Hexaflexagons)……...…………………………………………….8

3.2.Тетрафлексагоны……………...……………………………………………10

3.3.Кольцевые флексагоны…………...…………………………………………11

4.Применение флексагонов…………….……………………………………….12

5. Поделки-игрушки, сделанные мной, на основе теории о флексагонов…....3

Заключение………………………………………………………………………14

 Список используемой литературы………………………………………..……15

Приложение……………………………………………………………………..16

 «Предмет математики настолько серьёзен,

что надо не упускать случая, сделать его занимательным».

 Б. Паскаль 

Введение

Занимательная математика– это прежде всего математика, причем в лучших своих образцах– математика прекрасная.

Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы и драгоценную способность к восприятию прекрасного.

Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса, ошибочного рассуждения или обычной математической задачи с “ секретом”– каким – либо неожиданным или забавным поворотом мысли. Вот и я решил провести исследовательскую работу по математике по теме: игрушка-флексагон.

Исследовательская работа будет состоять из двух частей: теоретической и практической.

В теоретической части я рассмотрю историю создания флексагонов, опишу как их изготовить, рассмотрю виды флексагонов. В практической  части я создам описываемые в теории  фигуры и создам объемные фигуры на основе теории о флексагонов.

Основная цель:

1.Изучить информацию о флексагонах

2. Рассмотреть виды флексагонов

3. Научиться складывать флексагоны

Задачи исследования:

1.Теоритические:познакомиться с историей создания флексагонов, рассмотреть виды флексагонов и изучить схемы складывания флексагонов.

2.Практические: создание моделей флексагонов.

1. Что такое флексагон

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу. Происходит это слово от английскогоtoflex, что означает «складываться, гнуться». Если бы не одно случайное обстоятельство - различие в формате английских и американских блокнотов, - флексагоны, возможно, не были бы открыты и по сей день и многие выдающиеся математики лишились бы удовольствия изучать их замысловатую структуру.

2. История создания флексагонов

 Своему появлению флексагоныобязаны различию в форматах английских и американских блокнотов.Американский «официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм.

Это случилось в конце 1939 года, когда Артур Х. Стоун (Приложение, рис.1) аспирант из Англии, изучавший в Принстоне математику, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, он стал складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур - правильный шестиугольник - оказалась особенно интересной: она имела три поверхности, только две из которых были видны. Перегнув же шестиугольник определённым образом, можно было увидеть и третью сторону. Позже его назвали тригексафлексагоном («три» - число поверхностей, «гекса» - число углов). Поразмыслив над этим ночью, наутро Стоун убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман  (Приложение 1, рис.2) и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки.Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккермануудалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложитьтетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон - аж 82 способами… Таккерман довольно быстро нашёл простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: нужно держать его за какой-либо угол и открывать до тех пор, пока он не перестанет раскрываться, и лишь затем переходить к следующему углу. Этот метод, известен как «путь Таккермана»; его удобно изображать в виде схемы. Полная математическая теория флексагонов быларазработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом (Приложение 1, рис.3). Она в частности указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности, которая требуется. Тетрафлексагоны были открыты, по крайней мере, на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур X. Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских игрушках. Также флексагоны натолкнули на идею создания фильма.Флексагоны связаны с различными науками и вещами: в форме флексагонов закручены молекулы веществ (журнал «Химия и жизнь»)и т.д.

3. Виды флексагонов

3.1. Гексафлексагоны (Hexaflexagons)

   Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.), «флексагонами» - из-за их способности складываться (to flex [англ.] – складываться, сгибаться, гнуться.). Первый построенный Стоуном флексагон был назван тригексафлексагоном, так как у него были три поверхности. Вторая не менее изящная модель Стоуна получила название гексагексафлексагона (первое "гекса" - шесть - также означает число поверхностей этой модели).

Унагексафлексагон

         Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников (Приложение1, рис.4), поэтому его и можно назвать унагексафлексагоном, несмотря на то, что он не имеет шести сторон и не складывается. Поэтому он интересен лишь как иллюстрация топологии Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов.

Дуогексафлексагон

         Дуогексафлексагон – обыкновенный плоский шестиугольник, вырезанный из бумаги (или другого материала) (Приложение1, рис 5,6). Он, разумеется, также не складывается и особого интереса не представляет.

Тригексафлексагон

         Первый «настоящий» гексафлексагон. Существует только одна его разновидность. Тригексафлексагон – сплющенный в шестиугольник лист Мёбиуса. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом (Приложение1, рис.7):

Тетрагексафлексагон

Также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски (Приложение 1, рис.8).

Пентагексафлексагон

            Единственную разновидность этого флексагона складывают из и-образной полоски бумаги (Приложение1, рис.9).

Гексагексафлексагон

         Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых обладаетнеповторимыми свойствами. На рисунке приведено описание самой простой формы (Приложение 1, рис.10), а также формы полосок, из которых можно сложить остальные. Собранный мной гексагексафлексагон очень интересен тем, что у него 6 поверхности, а можно наблюдать 12 различных картинок .(Приложение1, рис. 11-22)

Гептагексафлексагон

         Таких флексагонов существует четыре типа. Один из них складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями, имеющей вид восьмёрки. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал «флексагонными улицами»: их поверхности можно пронумеровать так, чтобы на «пути Таккермана» они встречались по порядку номеров, как дома на улице (Приложение 1, рис.23).

3.2. Тетрафлексагоны

         В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов. Простейшийтетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется тритетрафлексагоном (Приложение1, рис.24). Более интересен гексатетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей и тетератетрафлексагон(Приложение1, рис.25,26).

Кроме гексатетрафлексагона (Приложение1, рис.27-34), я сделал тетрафлексагон из четырех поверхностей (Приложение1, рис.35-39).

3. Кольцевые флексагоны

Кольцевые флексагоны представляют из себя кольцо, сделанное из трех квадратов, разлинованных на треугольники. Затем загибаем с каждой стороны по треугольнику, и получаем игрушку, которая сворачивается по кругу, меняя расцветку (Приложение 1, рис.40, 41). Кольцевой флексагон, который сделал я (Приложение1, рис.42), получился не сразу. Были затруднения в сгибании треугольников.

4. Применение флексагонов

В форме флексагона изготавливаются календари, открытки, предметы интерьера или просто развивающие игрушки, механизмы двойного шарнирного соединения используются в телефонах, планшетах, креплениях для настенных предметов, в деталях мебели. Флексагоны используют в качестве рекламных стендов, которые своим необычным эффектом привлекают к себе внимание. Чаще всего флексагоны-это:

- шарнирное соединение двойного действия на дверной петле (Приложение1, рис.43)

- применение тетрафлексагонов в рекламе                                            

-лампа в стиле флексагона (Приложение1, рис.44)

- в химиив форме флексагонов закручены молекулы веществ (Приложение1, рис.45)

- игрушки (Приложение1, рис.46)

5. Поделки-игрушки, сделанные мной, на основе теории о флексагонов

Узнав в ходе исследования, что теория о флексагонах построена на том, что некоторые поверхности при наружном осмотре не видны, а только показываются, когда мы изменяем поверхность полностью, сгибая и разгибая флексагон, то решил сделать, кроме флексагонов, речь о которых шла выше, свои игрушки на основе этой теории. Это открытка «С днем рождения» (Приложение1, рис.47), конструкция из 9 кубиков и  многлгранник, состоящий из 8 кубиков, который может из куба превращаться в параллелепипед и другие многогранники (Приложение1, рис.48).

Заключение

Флексагон – это математическая головоломка. Очень увлекательная, забавная игрушка, обладающая удивительными свойствами.Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.  Используются как открытки на различные темы.

Подводя итог по данной работе, хочется отметить, что поставленные цели и задачи были выполнены. Проведен анализ имеющейся информации о флексагонах. Освоены методики сложения флексагонов. Найдены примеры практического применения флексагонов.

В дальнейшем планируется дальнейшее изучение данной области и создание новых моделей флексагонов.

Список используемой литературы

1. Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.
2. Белошистая А.В. Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций. — М.: ВЛАДОС, 2003. — С. 11–77.
3. Игры и развлечения: Кн. 3 / Сост. Л.М. Фирсова. — М.: Мол. Гвардия, 1991.
4. Мартин Гарднер Математические головоломки и развлечения = MathematicalPuzzlesandDiversions / Пер. Ю. А. Данилова, под ред. Я. А. Смородинского. — 2-е. — М: Мир, 1999. — ISBN 5-03-003340-8

Статьи

1.      А.А. Панов. Флексагоны. Флексоры. Флексманы. Ж. «Квант». – М.: «Бюро Квантум», 1988. № 7, C. 10 - 14

2.    И. Кан. Треугольные флексагоны. Ж. «Наука и жизнь». – М.: «Пресса», 1993. №12, С. 42 – 43.

ПРИЛОЖЕНИЕ