Открытая конференция «Исследователь нового века»

Секция: юный исследователь

Исследовательская работа

Загадки ленты Мёбиуса

Ижевск 2013

Оглавление

Введение        

Глава I. Историческая справка.        

1.1. Август Фердинанд Мёбиус: биография и открытие  «Волшебной ленты»        

1.2. Лента Мёбиуса: сущность, гипотезы…        

Выводы по I главе.        

Глава II. Опытно – экспериментальная часть        

Выводы по II главе        

Заключение        

Список источников        

Приложение        

Введение

«Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому».

Д. Пойа

Все мы уже настолько привыкли к обилию фантастических фильмов, что никого не удивляют термины «телепортация», «другое измерение», «многомерное пространство»... Наверное, даже школьник на вопрос: в каком мире мы живем? - ответит в трехмерном. А ведь мы настолько привыкли не замечать окружающее нас, что если кому-либо сказать, что в нашем трехмерном пространстве существуют двумерные предметы, то есть шанс быть просто непонятым. А ведь такие предметы, действительно, есть.

Это  так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма простая и в то же время весьма странная конструкция.Лента Мёбиуса — это и наука, и мистика одновременно. Хотя бы потому, что… «вот оно, смотрите, я сам его склеил, всё просто, но всё равно непонятно — две стороны, одна сторона…». Те, кто изучают геометрию, знают о ленте предостаточно. А кто не изучает — всё равно сталкивается с Мёбиусом почти каждый день.

Таким образом, вокруг нас много интересного и непознанного. Данная лента даёт объяснение многим процессам: историческим, биологическим, эволюционным и другим. Главное, уметь пользоваться этими знаниями.

Если взять транспортную или эскалаторную ленты, а они устроены по принципу ленты Мёбиуса, то, очевидна экономия технических средств за счет уменьшения их износа. А эта  проблема, проблема  экономии, является одной из самых актуальных проблем современности. Поэтому, автор считает изучение принципа действия и свойств данной ленты интересным  и необходимым для применения во многих областях деятельности человека и науки. 

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Цель работы: определить и опытно–экспериментальным путём проверить свойства ленты Мёбиуса.

Задачи исследования:

1. Изучить литературные источники по данной проблеме.
2. Познакомиться с историей появления ленты Мёбиуса.
3. Установить области применения ленты Мёбиуса.
4. Выявить и исследовать свойства ленты Мёбиуса.
5. Установить практическое значение ленты Мёбиуса.

Гипотеза исследования: лист Мёбиуса, изобретённый в  19 веке,  не потерял своей актуальности и в 21 веке.

Методы исследования:  в данной работе были использованы теоретический и экспериментальный методы.

Структура.  Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников, приложения.

Глава I. Историческая справка.

1.1. Август Фердинанд Мёбиус: биография и открытие  «Волшебной ленты»

Август Фердинанд Мёбиус родился на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга. Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера.

Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу выказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Карла БранданаМоллвейде.

В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по обеим наукам.

Когда Август Мёбиус работал над докторской (1815), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. В это время Моллвейде перешёл на кафедру математики и рекомендовал Мёбиуса на освободившуюся кафедру астрономии в Лейпциге, экстраординарным профессором.

С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (близ Лейпцига). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.

1820 году Мёбиус женится. У него родились два сына и дочь. В 1825 году Карл БранданМоллвейде умер. Август Мёбиус попытался занять его место, но его репутация преподавателя была неважной, и университет предпочёл другую кандидатуру. Однако, узнав, что Мёбиус получил приглашения из других университетов, руководство повысило его в должности до ординарного профессора астрономии. К этому времени математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире.[2.2]

 В 1858 году в возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей. Данное открытие считается, стало возможным в результате разных событий. Есть три версии:

1. Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты. 
2. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки. 
3. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

В дальнейшем, Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.[2.1]

После чего, лента Мёбиуса получила широкое распространение и  стала применяться во многих направлениях человеческой деятельности.  Таким образом, нет почти ни одной области, человеческой деятельности, где бы она не применялась.

Области применения листа Мёбиуса:

• Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.
• В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).
• В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

• Она играет роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки  всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями.
• Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).
• При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.
• Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. [2.7]

1.2. Лента Мёбиуса: сущность, гипотезы…

Всем известно, что наш мир имеет три измерения, что Земля вращается вокруг Солнца, что любая поверхность имеет две стороны: верхнюю и нижнюю… А вот и  не любая. Потому что, оказывается, существуют поверхности, которые имеют только одну сторону, и это научно доказано.Созданная столь простым способом лента обнаруживает весьма сложные свойства односторонних поверхностей.Лист Мёбиуса относится к числу «математических неожиданностей»,  иногда его называют прародителем символа бесконечности.Поэтому лист Мёбиуса является моделью, на которой проводится множество серьёзных математических исследований. [1.4]

Существует целая область математики, которая называется «топология».

Топология -  (греч. «топос» — место и «логос» — наука) - «геометрия положения»,  часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела), алист Мёбиуса – это один из нескольких топологических  объектов. [2.6]

Лист Мёбиуса – это  простейшая не ориентируемая поверхность с одним краем и одной стороной.

У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые, не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. [2.3]

Знаком Мёбиуса обозначается бесконечность. Действительно, по ленте Мёбиуса можно двигаться непрерывно и бесконечно, вечно пребывая на её единственной стороне.Но это лишь пространственное представление непрерывности и бесконечности. В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение.Есть  ритмы, благодаря которым человек развивает своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей.Дабы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» - ритмами и «информо»-ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации к энергии. Сохраняя при этом баланс между планетарной и человеческой сторонами жизни. Ритмы Мёбиусного вихря позволяют нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот. [2.5]

Помимо этого, подтверждением того, что лента Мёбиуса прочно вошла в жизнь человека, говорит тот факт, что через призму её свойств объясняются некоторые процессы и в других областях наук. Есть гипотезы о том, что:

1. Наша Вселенная выглядит как лист Мёбиуса, у нее нет начала и конца,  согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта теория полностью согласуется с теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.[1.1]
2. Спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника. [1.2]

Выводы по I главе.

Существует целая область математики, которая называется «топология». Топологические объекты окружают нас повсюду. Хотя наука топология является относительно молодой наукой, проблемы, которые исследуются в ней, пронизывают многие области знаний.

Таким образом, лист Мёбиуса случайно открытый ещё 19 веке, активно используется и в 21 веке во многих областях.Созданная столь простым способом лента обнаруживает весьма сложные свойства односторонних поверхностей. Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям, которые применяются и используются сейчас в технике, физике, оптике, математических науках.

Глава II. Опытно – экспериментальная часть

Исследовательская часть работы состоит из 2-х групп опытов, чтобы экспериментальным путем узнать свойства ленты Мёбиуса – её односторонность.

 Для того, чтобы провести исследование  автору было необходимо  изготовить ленту Мебиуса. Для  этого  понадобилась   прямоугольная полоска перекрученная на 180 градусов со склеенными  противоположными сторонами АВ и А*В*, то есть так что совместятся точки А и В*  и точки А* и В. (Рисунок №1)

                                                                                                         Рисунок № 1

Чтобы изучить свойства листа Мёбиуса (Приложение №1, Фото №1), было проведено несколько опытов, которые были   разделены на две группы.

I группа опытов:

Опыт № 1.

Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которыми имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) две стороны.

Раскрасим ленту Мёбиуса,  не переворачивая её -  лента Мёбиуса закрасится полностью (Приложение №1, Фото №2).[2.4]

Опыт №2.

Изготовим из бумаги паука и муху и отправим «гулять» по обыкновенному кольцу, но запретим им переползать границы.

Результат. Паук не сможет добраться до мухи.[2.4]

Опыт № 3.

Отправим этих паука и муху только уже по ленте Мёбиуса, и запретим им переползать через границу. (Рисунок № 2)

Результат. Бедная муха будет съедена.[2.4]

Рисунок №2

II группа опытов:

Результат. Лист Мебиуса – это односторонняя поверхность и он изменяет свои свойства при разрезании.

Выводы по II главе:

В ходе исследования автору удалось выявить и доказать опытно-экспериментальным путём основные свойства ленты Мёбиуса:

1. Односторонность – топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.
2. Непрерывность – на листе Мёбиуса, любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность.
3. Связность – чтобы располовинить  кольцо, потребуется  два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. А вот чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Связность принято оценивать числом Бетти, или  иногда пользуются эйлеровой характеристикой.
4. Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

Заключение

Лист Мёбиуса - это односторонняя поверхность, уникальность которой состоит в том, что других объектов с такими свойствами нет. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей, но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей и художников. Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях. Многие ученые в своих изобретениях использовали принцип ленты Мёбиуса. Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.В виде парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера. Причём,энергозатраты снизятся на одну пятую, а качество бетона (или кондитерского крема) улучшится.Магнитофонная пленка, соединенная по принципу ленты Мёбиуса, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мёбиуса вдвое дольше, чем обычную.Так же свойства ленты Мёбиуса используются в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани. Этот геометрический феномен люди так же применяют в рукоделии (вязании шарфов, болеро).

Таким образом, лист Мёбиуса, изобретённый в 19 веке, не потерял своей актуальности и в 21 веке.Гипотеза подтвердилась.

Автор считает, что изучение принципа действия и свойств данной ленты необходимо для применения во многих областях деятельности человека и науки.

Список источников

1. Список Интернет-источников:

1. http://arbuz.uz/t_lenta.htmlhttp://www.frei.ru/golos/books/
2. http://schoolsector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htmhttp://www.kvant.info/
3. http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

2. Список литературы:

1. Воронцев А.М. Математические развлечения. М.:Учпедгиз , 1981.
2. Гарднер М. Математические досуги. М.: 1992.
3. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. М.: Просвещение, 1996.
4. Кордемский Б.А. Топологические опыты своими руками./ «Квант» №3, 1974,стр73.
5. Коробенок Е.В., Столяр А.А. Сколько  сторон у поверхности?: Беседы с учащимися VII-X классов. Минск: Народная асвета, 1995.
6. Леман И. Увлекательная математика. М.:  Знание, 1985.
7. Лоповок Л.М. Математика на досуге: Книга для учащихся среднего школьного возраста (IV-VIII классы). М.: Просвещение, 1990.