Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП XI ВСЕРОССИЙСКОГО ДЕТСКОГО КОНКУРСА
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ И ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ
«ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКЕ» 

Секция: информационные технологии; математика;

Тема: Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Авторы: Решетников Михаил Сергеевич, МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака», 8 класс

Харютченко Данил Александрович, МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака», 8 класс

Научный руководитель: Шевченко Елена Михайловна, учитель математики МОУ «Октябрьская СОШ им. Ю. Чумака»

Место выполнения работы: Белгородская область, Белгородский район, поселок Октябрьский

2014

Признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты

Введение        

Глава I. Признаки равенства треугольников с использованием  медианы        

I .1. Признак равенства треугольников по стороне, медиане и углу между ними        

I .2. Признак равенства треугольников по медиане и углам, прилежащим к ней в одной полуплоскости        

I .3. Признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них        

Глава II. Признаки равенства треугольников с использованием  биссектрисы        

II.1. Признак равенства треугольников по стороне, биссектрисе и углу между ними        

II.2. Признак равенства треугольников по биссектрисе и двум углам        

III.1. Признак равенства треугольников по двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла        

III.2. Признак равенства треугольников по высоте и прилежащим к ней углам        

Заключение        

Литература        

Введение

Треугольник – одна из самых простых и загадочных геометрических фигур. Вот уже два с половиной тысячелетия открываются его новые и  новые свойства. Со времен «Начал» Евклида геометрия строится на основе трех признаков равенства треугольников. Исходя из того, что в треугольнике выделяют шесть основных  элементов: три внутренних угла и три соответственно противолежащие  им стороны, равенство треугольников устанавливается по равенству трех из шести элементов. Три следующих признака являются фундаментом геометрии:

1. по двум сторонам и углу между ними;
2. по стороне и прилежащим к ней углам;
3. по трём сторонам.

Эти признаки отличаются простотой формулировки и часто применяются при решении задач базового уровня. Рассматривая более сложные задачи, приходится фактически «изобретать велосипед», дважды или трижды применять известные признаки, конструируя из них решение. Это приводит к следующему выводу: известных трех признаков не всегда достаточно.

Если учесть, что для каждого треугольника однозначно определяются три медианы, три биссектрисы и три высоты, то число элементов треугольника увеличивается до 15. В связи с этим возникает следующая гипотеза: наряду с основными тремя признаками равенства треугольников можно сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты, знание которых поможет в решении многих геометрических задач.

Объектом данного исследования является треугольник и его элементы, в том числе медианы, биссектрисы и высоты; предмет исследования – признаки равенства треугольников.

Цели исследования:

• сформулировать и доказать новые признаки равенства треугольников;

• обосновать эффективность применения новых признаков равенства треугольников при решении геометрических задач.

Задачи исследования:

• проанализировать определения и свойства медианы, биссектрисы и высоты;
• выявить зависимость между равенством отдельных элементов и равенством треугольников;
• определить типы геометрических задач, при решении которых целесообразно применение полученных признаков.

В работе применялись методы научного исследования: анализ, сравнение, математическое моделирование.

Для доказательства новых признаков равенства треугольников использовались только первый, второй и третий признаки равенства треугольников, что обеспечивает простоту доказательства и доступность данной работы для широкого круга школьников.

Глава I. Признаки равенства треугольников с использованием  медианы

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

Проанализировав это определение медианы треугольника, делаем вывод: если равны стороны, к которым проведены медианы, то равны и отрезки, на которые медианы делят эти стороны, как половины равных сторон. Верно и обратное утверждение: если равны отрезки, отсекаемые медианами от сторон треугольников, то равны и стороны треугольников. Это позволяет сформулировать и доказать следующие новые признаки равенства треугольников с использованием медианы.

I .1. Признак равенства треугольников по стороне, медиане и углу между ними

Теорема (М1). Если сторона, медиана и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

        АМ=А1М1-медианы; АВ= А1В1;  ےВАМ = ےВ1А1М1.

Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1М1 = ∆ АВМ по первому признаку равенства треугольников, так как по условию:        

• АМ=А1М1
• АВ= А1В1
• ےВАМ = ےВ1А1М1.

Из равенства треугольников следует, что ےАВМ=ےА1В1М1 и ВМ= В1М1, как соответствующие углы  и стороны в равных  треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1  и  ∆ АВС

• А1В1= АВ (по условию);
•  ے АВС=  ے А1В1С1,т.к. ےАВМ=  ے А1В1М 1 (по доказанному);
• ВС =  В1С1 ,  т.к.  ВМ = В1М1; 

ВС =  2 * ВМ;  В1С1 =  2 * В1М1 по определению медианы.

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1  по первому признаку равенства треугольников.

I .2. Признак равенства треугольников по медиане и углам, прилежащим к ней в одной полуплоскости

Теорема (М2).   Если медиана и углы, прилежащие к ней в одной полуплоскости, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

        ВМ=В1М1-медианы; ےСМВ = ےС1М1В1;  ےСВМ = ےС1В1М1.

 Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ М1В1С1 = ∆ МВС по второму признаку равенства треугольников,  так как по условию:

• ВМ=В1М1
•  ےСМВ = ےС1М1В1.
• ےСВМ = ےС1В1М1.

Из равенства треугольников следует, что ےВСМ= ےВ1С1М1, ВС=В1С1 и МС=М1С1, как соответствующие углы  и стороны в равных  треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1  и  ∆ АВС

•  ےАСВ=  ے А1С1В1 (по доказанному);
• ВС=В1С1 (по доказанному);
• АС =  А1С1 ,  т.к.  MC = М1С1;   АС =  2 * МС; А1С1 =  2 * М1С1 по определению медианы.

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1  по первому признаку равенства треугольников.

I .3. Признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них

Теорема (М3).   Если две стороны и медиана, проведенная к одной из них, одного треугольника равны соответствующим элементам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

        ВD=В1D1-медианы; АС= А1С1; ВС= В1С1.

 Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ B1D1С1 = ∆ ВDС по  третьему признаку равенства треугольников,  так как по условию:

• ВD=В1D1
• ВС= В1С1
• DС= D1С1, как половины равных сторон (АС= А1С1 по условию)

Из равенства треугольников следует, что ےВСD= ےВ1С1D1, как соответствующие углы в равных  треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1  и  ∆ АВС

• BС =  B1С1 (по условию)
•  АС =  А1С1 по условию;

• ےАСВ=  ے А1С1В1,т.к. ےВСD= ےВ1С1D1 (по доказанному);

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1  по первому признаку равенства треугольников.

Глава II. Признаки равенства треугольников с использованием  биссектрисы

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла и проходит между его сторонами.

Исходя из указанных определений, делаем вывод: если в двух треугольниках равны углы, биссектрисы которых проведены, то равны и их части, на которые биссектрисы делят углы, как половины равных углов. Верно и обратное утверждение: если равны половины углов, то равны и углы треугольников. Это позволяет сформулировать и доказать следующие новые признаки равенства треугольников с использованием биссектрисы.

При доказательстве этих признаков используется второй признак равенства треугольников, который в учебнике сформулирован следующим образом:

если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

После изучения теоремы о сумме углов треугольника можно утверждать, что условие прилежания углов к равным сторонам является излишним. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи их углы равны между собой.

Значит, второй признак может быть использован в следующей формулировке:

если сторона и два угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

II.1. Признак равенства треугольников по стороне, биссектрисе и углу между ними

Теорема (Б1). Если сторона, биссектриса и угол между ними одного треугольника соответственно равны стороне, биссектрисе и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

        АL=А1L1-биссектрисы; АВ= А1В1;  ےВАL = ےВ1А1L1.

        Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1L1 = ∆ АВL по первому признаку равенства треугольников, так как по условию:        

• АL=А1L1
• АВ= А1В1
• ےВАL = ےВ1А1L1.

Из равенства треугольников следует, что ےАВС= А1В1С1, как соответствующие углы  в равных  треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1  и  ∆ АВС

• А1В1= АВ (по условию);
•  ے АВС=  ے А1В1С1 (по доказанному);
• ے ВАС=  ے В1А1С1 ,  т.к.  ےВАL = ےВ1А1L1;

ےВАС =2 * ےВАL; ےВ1А1С1 =2 * ےВ1А1L1 по определению биссектрисы.

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1  по второму признаку равенства треугольников.

II.2. Признак равенства треугольников по биссектрисе и двум углам

Теорема (Б2). Если биссектриса и два угла одного треугольника соответственно равны биссектрисе и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

       АL=А1L1-биссектрисы; ےАВС = ےА1В1С1;  ےВСА = ےВ1С1А1.

Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ے  ВАС=  ے В1А1С1 по теореме о сумме углов треугольника,  значит и  ےВАL = ےВ1А1L1, как половины равных углов.

Отсюда следует, что ∆ А1В1 L1 = ∆ АВ L по второму признаку равенства треугольников, так как по условию:        

• А L=А1L1
• ےВАL = ےВ1А1L1
•  ےАВL= ے А1В1L1 по условию.

Из равенства треугольников следует, что АВ= А1В1, как соответствующие стороны в равных  треугольниках.

Рассмотрим ∆ А1В1С1  и  ∆ АВС

• А1В1= АВ (по доказанному);
•  ے АВС=  ے А1В1С1 (по условию);
• ے  ВАС=  ے В1А1С1(по доказанному).  

Вывод: ∆ АВС = ∆ А1В1С1  по второму признаку равенства треугольников.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника. Таким образом, высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Это обеспечивает равенство углов между высотой и стороной, на которую опущена высота.

Это позволяет сформулировать и доказать следующие новые признаки равенства треугольников с использованием высоты.

III.1. Признак равенства треугольников по двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла

Теорема (В1). Если два угла и высота, опущенная из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1;

        ВD=В1D1-высоты;   ےВАС=  ے В1А1С1;  ےВСА=  ے В1С1А1

Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1D1 = ∆ АВD по второму признаку, так как по условию:        

• ВD=В1D1;
•   ے А1D1В1 =  ے АDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;  
•   ے А1В1D1 =  ے АВD по теореме о сумме углов треугольника.

А также, можно утверждать, что ∆ С1В1D1 = ∆ СВD по второму признаку, так как по условию:        

• ВD=В1D1;
•   ے С1D1В1 =  ے СDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;  
•   ے С1В1D1 =  ے СВD. по теореме о сумме углов треугольника.

Из равенства двух пар треугольников следует, что и ∆ А1В1С1  =  ∆ АВС, что и требовалось доказать.

Замечание. В этом признаке можно отказаться от утверждения о том, что высота опущена из вершины третьего угла. Это позволяет сделать теорема о сумме  углов треугольника. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи их углы равны между собой.

.

III.2. Признак равенства треугольников по высоте и прилежащим к ней углам

Теорема (В2). Если высота и углы, образованные ею со сторонами одного треугольника соответственно равны высоте и углам, образованным ею со сторонами, другого треугольника, то такие треугольники равны при условии одинакового расположения углов относительно высоты.

Дано: ∆ АВС; ∆ А1В1С1; С

        ВD=В1D1-высоты;   ےАВD =  ے А1В1D1;   ےСВD =  ے С1В1D1;  

Доказать:  ∆ АВС = ∆ А1В1С1

Доказательство.

Можно утверждать, что ∆ А1В1D1 = ∆ АВD по второму признаку, так как по условию:        

• ВD=В1D1;
•  ے А1D1В1 =  ے АDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;  
•   ےА1В1D1 =  ے АВD по условию.

А также, можно утверждать, что ∆ С1В1D1 = ∆ СВD по второму признаку, так как по условию:        

• ВD=В1D1;
•   ے С1D1В1 =  ے СDВ=90, так как ВD и В1D1- высоты;  
•   ے С1В1D1 =  ے СВD. по условию.

Из равенства двух пар треугольников следует, что и ∆ А1В1С1  =  ∆ АВС, что и требовалось доказать. Следует отметить, что в этом признаке существенным является условие расположения углов относительно высоты. В случае остроугольного треугольника высоты находятся внутри треугольника, а в случае тупоугольного треугольника две из них расположены вне треугольника. Условие, заявленное в теореме, позволяет разграничить эти случаи.

Заключение

В ходе данного исследования был проведен анализ изученных признаков равенства треугольников и определений медианы, высоты и биссектрисы треугольника и выявлена зависимость между равенством трех элементов треугольников, включая медианы, высоты и биссектрисы, и равенством треугольников. Также было  установлено, что известный второй признак равенства треугольников может быть применен в упрощенной форме, как признак по стороне и любым двум углам.

На основании результатов данного исследования в работе сформулированы и доказаны 7 новых признаков равенства треугольников с использованием медианы, биссектрисы и высоты и получены выводы об эффективности использования этих признаков при решении задач на доказательство равенства треугольников.

В дальнейшем исследовательская деятельность в этом направлении может быть продолжена с целью доказательства признаков равенства для равнобедренных треугольников.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений/ А. В. Погорелов. М.: Просвещение, 2010.
2. Система открытых задач по геометрии. 7 класс/ Д. Шноль, А. Сбигнев, Н.Нетрусова.- Библиотечка «Первого сентября», Москва, Чистые пруды, 2009.
3. Система открытых задач по геометрии. 8 класс/ Д.Шноль, А.Сбигнев, Н.Нетрусова.- Библиотечка «Первого сентября», Москва, Чистые пруды, 2009.
4. Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А. П. Савин. – М.:  Педагогика, 1989.

Интернет – ресурсы.

1. http://www. profistart.ru/ps/blog/24031.html
2. http:// festival.1september.ru/articles/104251/