Комитет  по образованию администрации                                                         г. Саратова, Октябрьский район                                                     Муниципальное автономное образовательное учреждение                                   Лицей  №3 им. А. С. Пушкина.

Муниципальная научно-практическая

конференция

«Первые ступени»

Тема: Биссектриса и ее свойства.

Работу выполнила:  ученица 8 г класса

Сорокина Виктория                                                                       Научный руководитель:                                                                         Учитель математики высшей категории                              Попова Нина Федоровна.

Саратов 2011 г

Содержание:

1. Титульный лист…………………………………………………………...1
2. Содержание ………………………………………………………………2
3. Введение  и цели………………………………………………………... ..3
4. Рассмотрение свойств биссектрисы

• Третье геометрическое место точек………………………………….3
• Теорема 1……………………………………………………………....4
• Теорема 2………………………………………………………………4
• Основное свойство биссектрисы треугольника:

1. Теорема 3……………………………………………………………...4
2. Задача 1…………………………………………………………… ….7
3.  Задача 2……………………………………………………………….8
4. Задача 3…………………………………………………………….....9
5. Задача 4…………………………………………………………….9-10

• Теорема 4…………………………………………………………10-11
• Формулы нахождения биссектрисы:

1. Теорема 5…………………………………………………………….11
2. Теорема 6…………………………………………………………….11
3. Теорема 7…………………………………………………………….12
4. Задача 5…………………………………………………………...12-13

• Теорема 8…………………………………………………………….13
• Задача 6………………………………………………………...…….14
• Задача 7……………………………………………………………14-15
• Определение с помощью биссектрисы сторон света………………15

5. Заключение и вывод……………………………………………………..15
6. Список используемой литературы ……………………………………..16

Биссектриса

          На уроке геометрии, изучая тему подобные треугольники , я встретилась с задачей на теорему об отношении биссектрисы к противолежащим сторонам. Казалось бы, что может быть интересного в теме биссектриса, однако эта тема меня заинтересовала,  и мне захотелось изучить ее глубже. Ведь биссектриса очень богата своими удивительными свойствами, помогающими решать разные задачи.

        При рассмотрении данной темы можно заметить ,что в учебниках геометрии очень мало говорится о свойствах биссектрисы, а на экзаменах,  зная  их можно значительно проще и быстрее решать задачи.  К тому же для сдачи ГИА и ЕГЭ современным ученикам  нужно самим изучать дополнительные материалы к школьной программе. Именно  поэтому я и решила подробнее изучить тему биссектриса.

Биссектриса (от лат.bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части. Биссектриса угла (вместе с её продолжением) есть геометрическое место точек равноудалённых от сторон угла (или их продолжений)

Третье геометрическое место точек

Фигура F является геометрическим местом точек (множеством точек), обладающих некоторым свойством А, если выполняются два условия:

1. из того, что точка принадлежит фигуре F, следует, что она обладает свойством А;
2. из того, что точка удовлетворяет свойству А, следует, что она принадлежит фигуре F.

Первое геометрическое место точек, рассматриваемое в геометрии - это окружность, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки. Второе - серединный перпендикуляр отрезка, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от конца отрезка. И, наконец, третье - биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла

Теорема 1:

Точки биссектрисы одинаково удалены от сторон угла.

Доказательство:

Пусть Р - точка биссектрисы А. Опустим из точки Р перпендикуляры РВ и PC на стороны угла .Тогда    ВАР =  САР по гипотенузе и острому углу. Отсюда, РВ = PC

Теорема 2:

Если точка Р одинаково удалена от сторон  угла А, то она лежит на биссектрисе.

Доказательство: РВ = PC =>  ВАР =   САP => BAP= CAP => АР – биссектриса.

    К числу основных геометрических фактов  следует отнести теорему о том , что биссектриса делит противолежащую сторону в отношении противолежащих сторон. Этот факт долго оставался в тени но повсеместно  встречаются задачи, которые гораздо легче решать, если знать этот и другие факты о биссектрисе. Мне стало интересно, и я решила глубже исследовать это свойство биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла треугольника

    Теорема 3.   Биссектриса делит противолежащую сторону               треугольника в отношении прилежащих сторон.

Доказательство 1:

  Дано: AL - биссектриса треугольника ABC      

      Доказать:

Доказательство:  Пусть F - точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС.

Тогда  BFA =  FАС =  BAF. Следовательно, BAF равнобедренный и АВ = BF. Из подобия треугольников ALC и FLB имеем

соотношение

откуда

Доказательство 2

Пусть F- точка пересеченная прямой AL и прямой, проходящей через точку С параллельно основанию АВ. Тогда можно повторить рассуждения.

Доказательство 3 

Пусть К и М - основания перпендикуляров, опущенных на прямую AL из точек В и С соответственно. Треугольники  ABL  и  ACL подобны по двум углам. Поэтому  
 . А из подобия BKL и CML имеем

Отсюда   

Доказательство 4

      Применим метод площадей. Вычислим площади треугольников ABL и  ACL двумя способами.

Отсюда       .

в

Доказательство 5

Пусть α=ВАС,φ=BLA. По теореме синусов в треугольнике ABL   

          ,а в треугольнике ACL .

Так как  ,

То, поделив обе части равенства на соответствующие части другого, получим .

Задача  1        

                                 
Дано: В треугольнике ABC, ВК – биссектриса, ВС=2, КС=1,

Решение:

1. Пусть АК=X.Тогда из теоремы о бис. внутреннего угла ,примененной к этому треугольнику , следует   
2. Применим к     АВС формулу для вычисления биссектрисы :
3. Значит АВ=3; АС= ; ВС=2, а полупериметр      АВС=
4. Воспользуемся форм. Герона

Задача 2

Дано:

Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18

Решение:

Пусть катет AC = 18, катет BC = 24,

 AM — биссектриса треугольника.

По теореме Пифагора находим,

что AB = 30.

Поскольку, то

Аналогично найдем вторую биссектрису.

Ответ: 

Задача 3

• Дано:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC

 в точке D. Известно, что BD = 4, DC = 6.

Найдите площадь треугольника ADC

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника  

Обозначим AB = 2x, AC = 3x. По теореме

 Пифагора BC2 + AB2 = AC2, или 100 + 4x2 = 9x2 

Отсюда находим, что x =Тогда AB = ,S   ABC= 

Следовательно,

  Задача 4

Дано:

В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 10, основание AC равно 12.

 Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке D. Найдите BD.

Решение:

Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в

 одной точке, то BD — биссектриса B. Продолжим BD до пересечения с AC в точке M. Тогда M — середина AC, BM AC. Поэтому

Поскольку CD — биссектриса треугольника BMC, то

 . Следовательно,.

Ответ :

  Теорема 4.     Три биссектрисы треугольника   пересекаются в одной точке.

Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК1 и ВК2. Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК3, то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.

 Формулы нахождения биссектрисы
Теорема5 : (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой A, то AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL : AC = AB : AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · ( AL + LM ) = AB · AC <=> AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. 

Теорема6:. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и A, равным 2α и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = ( 2ab / (a+b) ) · cosα.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса , a=AB, b=AC, l=AL. Тогда SABC = SALB + SALC. Следовательно, ab sin2α = a l sinα + b l sinα <=> 2ab sinα·cosα = (a + b)·l sinα <=> l = 2·( ab / (a+b) )· cosα. Теорема доказана.                                                                                                 

  Теорема 7: Если a,b – стороны треугольника,Ү- угол между ними,  - биссектриса этого угла. Тогда .

Доказательство:  

Пусть S,,-площади треугольников ABC, СAC1  и  СВС1 соответственно,  Тогда

,,                

Задача на нахождение биссектрисы 5

Дано:

В треугольнике АВС , все стороны

 которого различны АD-бис.

Известно AB-BD=a, AC+CD=b

Найти AD.

 Решение :  

1. Пусть  BD= X ,CD=y, тогда AB=a+x,AC=b-y
2. Применив к      АВС формулу для вычисления длины биссектрисы , получим:

                =AB   (1)

              Найдем значение этого выражения, воспользовавшись теоремой о биссектрисе внутреннего угла:

 =

Используя полученное равенство совместно с равенством(1) ,находим , 

Теорема 8. 

Биссектриса внешнего угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон внешним образом.

Доказательство:        

Пусть F - точка пересечения продолжения стороны АС треугольника АВС и биссектрисы NBC. 

Требуется доказать, что . Для доказательства применим метод площадей : 

                                     Задача 6

Медиана и высота делят угол на три равные части. Найдите эти части.

Доказательство:

     АСН=    МСН по катету и острому углу. Поэтому треугольник АСМ равнобедренный, АН=НМ. Если АН=а, то МВ=2а. По свойству биссектрисы СМ треугольника НСВ имеем, т. е.СВ=2СН, угол СВН=, угол ВСН=, а=, угол С=

Ответ:

                                        Задача 7

Биссектрисы двух внешних углов треугольника и внутреннего угла пересекаются в одной точке. Докажите это.

Доказательство:

Пусть Р- точка пересечения биссектрис двух внешних углов. Опустим из этой точки перпендикуляры РК, РL, РМ на стороны треугольника или их продолжения. По свойству биссектрис РК=РL и PL=PM. Отсюда РК=РМ и вновь по свойству биссектрисы  получим , что точка Р лежит на биссектрисе внутреннего угла. Утверждение доказано.

Свойства биссектрисы находят свое применение не только в теории математики, но и на практике.

Определение с помощью биссектрисы сторон света.

Если положить часы на горизонтальную поверхность и поворачивать их до тех пор, пока часовая стрелка не будет направлена в сторону солнца, а затем через центр циферблата на цифру 1 (13 часов) мысленно провести прямую линию (А), то биссектриса угла, образованного ею и часовой стрелкой, пройдет с севера на юг. При этом до 12 часов дня юг будет находиться справа от солнца, а после двенадцати — слева.

Вывод :Таким образом, рассмотрение вопроса о свойствах биссектрисы позволило приобрести новые знания для решения большого количества задач.

Список используемой литературы:

1. Атанасян Л. С. Геометрия 7-9 учебник для общеобразовательных учреждений.
2. Научно популярные журналы по математике.
3. Афанфсенко Е. И., Благой Д. Д., Воронцов- Вельяминов Б. А. Детская энциклопедия « Числа и фигуры» 1965 г.
4. Большая  Советская Энциклопедия (БСЭ)
5. Ресурсы интернета