Проценты в нашей жизни.

            Цыгановский филиал  МОУ  «ЗСОШ»

ТЕМА:

НАУЧНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Содержание

1. Содержание ………………………………………………………..2
2. История возникновения  процентов………………………….......4,5
3. Разговорное употребление………………………………………...5
4. Задачи на простые проценты……………………………………...5 – 8
5. Проценты при расчёте зарплаты…………………………………8,9
6. Проценты и жильё…………………………………………………9,10
7. Проценты и прибыль………………………………………………10
8. Проценты в магазине……………………………………………….10
9. Задачи, содержащие практическое применение………………….10,11
10. Проценты в школе………………………………………………….11

1. Процентное соотношение мальчиков и девочек……………11
2. Успеваемость учащихся 6 класса по математике за 2 четверть……11
3. Увлечения учеников 6 класса………………………………11
4. Месяца и даты рождения  учеников………………………..12

11. Заключение…………………………………………………………12
12. Список литературы…………………………………………………13
13. Приложения…………………………………………………………13

«ПРОЦЕНТЫ В НАШЕЙ ЖИЗНИ»

Цели:

1. Обобщить знания  по теме "Проценты" и выделить практическую значимость этого понятия в различных сферах деятельности человека.
2. Научится  грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления.

Задачи:

1. Рассмотреть задачи, сюжеты  которых взяты из действительности, окружающей среды современного человека.
2. Провести исследования в классе (в школе) с помощь процентных вычислений и представить данные в виде диаграмм.

История возникновения процентов

Из школьного курса математики нам известно, что слово «процент» происходит от латинских слов и означает «на сто». Поэтому одну сотую часть стали называть процентом и обозначают знаком %. Идея выражения частей целого в одних и тех же долях родилась ещё в древности и вызвана практическими потребностями. И сейчас проценты применяются в различных областях человеческой деятельности.

      Это понятие появилось в математике в связи с развитием торговли, когда за взятые в долг деньги продавец получал с должника какую-либо сумму сверх долга. Обычно эта сумма выражалась в сотых долях. Несколько позже у неё появилось название - проценты.

Слово "процент" произошло от двух латинских слов: "про" - "на" и "центум" - "сто", то есть в буквальном переводе на русский язык процент означает "на сто".

     Знак % закрепился для обозначения процентов в XVII веке. Вероятно, он произошел от сокращения латинского слова "centum" в "cto". При скорописи "cto" стало выглядеть как        "0t0", а затем - "%". Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процентов. 1%=0,01 

      До нас дошли таблицы процентов, составленные ещё вавилонянами. Эти таблицы позволяли быстро определить сумму процентных денег.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило. Например, при расчете 5% от 830 записывали:

1% составляет 830 : 100,  5% составляют (830∙5) : 100= 41,5

Они производили и более сложные вычисления.

В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.

    В Европе в середине века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые таблицы были опубликованы в 1584 году Симоном Стевином - инженером из города Брюгге (Нидерланды). Он известен различными научными открытиями, а также применением особой записи десятичных дробей. (Приложение № 1)

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Мы теперь можем  свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, можем просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков, и выбрать наиболее выгодные.  Практические задачи повседневной жизни человека в современном обществе, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, но и более глубоких знаний (простые и сложные проценты, арифметическая и геометрическая прогрессия).

Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи?» Чтобы ответить на эти вопросы, требуется умение решать задачи по теме «Проценты».

А может быть вы будущий бизнесмен, экономист, банковский работник или химик, то вам просто необходимо «дружить» с процентами.

Разговорное употребление

• «Работать за проценты» — работать за вознаграждение, исчисляемое в зависимости от прибыли или оборота.
• «На (все) сто процентов» — полностью.
• «Процентщик» — человек, ссужающий деньги под большие проценты, ростовщик.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку:

1) сотая доля числа;

2) процент кредитный — плата, которую заемщик должен вносить за пользование кредитом, деньгами или материальными ценностями;

3) процент депозитный — плата вкладчику банка за предоставление банку денег по вкладу на определенный срок.

Проценты бывают простые и сложные.

Простые проценты – проценты, начисляемые на фактическую сумму за фактический период ее нахождения на депозите.

Сложные проценты - начисление процентов на проценты, расчет процентов на два или большее число периодов, проводимый таким образом, что процент начисляется не только на исходную сумму, но и на процент, начисленный в предыдущем периоде.

Задачи на простые проценты

   Понимание процентов и умение проводить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку.

Само определение процента позволяет легко решить  простейшую задачу на проценты: найти заданное число процентов от заданной величины.

  Важным умением при работе с процентами является:

• умение переводить проценты в десятичную дробь;
• десятичную дробь обращать в проценты;
• умение преобразовывать десятичные и обыкновеннее дроби (равные дроби в различных записях).

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Например. 

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо умножить ее на 100.

     Например.   

Чтобы представить обыкновенную дробь в десятичной записи, надо числитель разделить на знаменатель.

В хозяйственных и статистических расчетах, а так же во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах.

Задачи простейшего вида рассматриваются в 5 классе, затем при изучении прямой пропорциональной зависимости в 6 классе. Далее с задачами на проценты учащиеся встречаются при подготовке к экзамену по алгебре за курс основной школы т.к. в сборнике заданий   для проведения экзамена включены задачи таких видов.

Далее при изучении химии учащимся предлагаются для решения задачи на смеси, сплавы, концентрацию, процентное содержание, как правило, к тому времени тема «Проценты» и виды задач забыты и учащиеся испытывают затруднения.

Три данных вида задач:

1. нахождение процентов от числа;
2. нахождение числа по известной его части, выраженной в процентах;
3. сколько процентов составляет одно число от другого.

1. Нахождение процентов от числа.

Чтобы найти проценты от числа, надо число умножить на количество процентов, выраженных дробью.

Найти 25% от 120.

Решение:

1) 25% = 0,25;

2) 120 ∙ 0,25 = 30.

Ответ: 30.

2)  Нахождение числа по известной его части.

Чтобы найти число по известной его части, надо число разделить на количество процентов, выраженных десятичной дробью.

Найти число, если 15% его равны 30.

Решение:

1) 15 % = 0,15;

2) 30 : 0,15=200.

Ответ: 200.

3)  Сколько процентов составляет одно число от другого.

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, надо одно число разделить на другое и умножить на 100.

Некоторые задачи на проценты.

1) Из 24 учащихся за контрольную работу 16 получили «4» и «5». Какой процент учащихся получили «4» и «5»?

Решение:

1) 16 : 24 = 0,666…≈ 0,67;

2) 0,67 ∙ 100 = 67%.

Ответ: 67%.

1) Из 24 учащихся за контрольную работу 16 получили «4» и «5». Какой процент учащихся получили «4» и «5»?

Решение:

1) 16 : 24 = 0,666…≈ 0,67;

2) 0,67 ∙ 100 = 67%.

Ответ: 67%.

3)  В пос. Лесном, на стекло - заводе, работают  1000 рабочих. За одни сутки проходят медицинский осмотр 10% всех рабочих. 1) Сколько пациентов проходят медицинский осмотр за одни сутки?   2) Сколько придет пациентов в мед кабинет за одну неделю?

Решение:

1)Сколько рабочих составляет 1%?  1000:100=10 (работников)                    

2)Сколько рабочих составляют 10%?    10 ∙ 10=100 (работников)                                      

3)1 неделя=7суток                                        

4)Сколько сотрудников придут в мед. кабинет за 1 неделю?                                                   100 ∙ 7=700 (человек)                                        

  Ответ:100 пациентов; 700 пациентов.                  

4) Водитель,  за  нарушение  правил,  должен заплатить штраф 500 рублей. За каждый день задержки оплаты сумма возрастает   на 3%  штрафа.  Сколько  рублей водитель  должен заплатить  за  4  дня задержки оплаты штрафа?  

Решение:

1. Сколько рублей содержится в 1%?

500:100=5 (р)

2. Сколько рублей за 1 день?

5х3=15 (р)

3. Сколько рублей за 4 дня?

15х4=60 (р)

4.Какова общая сумма штрафа?

500+60=560(р)

Ответ: 560 рублей

5) Семья из пяти человек съедает около 10 кг пищи в день. 75% рациона составляют супы, макароны и картофель (в любом виде). 15% рациона составляет мясо. А все остальное – рыба. Сколько кг рыбы съедает семья?

Решение:  Сколько процентов рациона семьи составляет мясо, супы, картофель и макароны?

75% + 15% = 90%

2) Сколько процентов рациона семьи составляет рыба?

100% - 90% = 10%

3)10% - это 0,1

4) Сколько кг рыбы съедает семья?

10 • 0,1 = 1(кг)

За 1 день семья съедает 1 кг рыбы.

6) Вес новорожденного 3 кг, что составляет 25% веса двухлетнего ребенка или 10% - десятилетнего. Сколько весит двухлетний ребенок и десятилетний?

Решение:

 1) 25% - это 0,25

   10% - это 0,1

2)Каков вес двухлетнего ребенка?

    3 : 0,25 = 12(кг)

3)Каков вес десятилетнего ребенка?

   3 : 0,1 = 30 (кг)

Ответ: Двухлетний ребенок весит 12 кг, десятилетний – весит 30 кг.

7) В библиотеке 11040 книг на русском и иностранных языках, причём число последних составляет 15% книг на русском языке. Сколько  в библиотеке отдельно книг тех и других?

Решение. Пусть х - книг на русском языке книги на иностранном языке составляют 15% книг на русском языке то есть 0,15х.

Так как всего книг в библиотеке 11040, то

 х+0,15х=11040

 1,15х=11040

 х=11040:1,15

 х=9600

9600 книг на русском языке

11040-9600=1440

1440-книг на иностранном языке

Ответ: 9600кн. ,1440кн.

8) Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение.

Так как 4% от 250р. Составляют 10р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10р. Если родители просрочат оплату на день, то им придется заплатить 250+10=260р.

На неделю 250+10 ∙ 7=320р.

Ответ: 320р.  (Приложение № 5)

Проценты при расчете зарплаты

1. Подоходный налог в городе N установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% от заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 15 000 р. Сколько он получит после указанных вычетов?

Решение:

За 100%  приняты 15 000 р., начисленные работнику.

1) 15000 : 100=150 (руб.) – составляет 1%, который отчисляется в пенсионный фонд

2) 15000-150=14850 (руб.) – после отчисления в пенсионный фонд

3) За 100% - 14850 руб.

14850 : 100=148,5 (руб.) – составляет 1%

4) 148,5∙13= (руб.) - подоходный налог

5) 14850-1930,5 = (руб.)- работник получит после указанных вычетов

Ответ:  12919,5 руб. работник получит после указанных вычетов

1. Какой будет заработная плата после повышением ее на 65%, если до повышения она составляла 10000 р.?

Решение:

1) 10000 : 100=100 (руб.) - составляет 1%

2) 100 ∙ 65=6500- повышение в рублях

3) 10000+6500=16500-зарплата после повышения

ОТВЕТ: 16500 рублей.

3. Человек обычно получает за работу «чистыми», т.е. после вычета налога в 13%, но ему интересно узнать, сколько же «по-настоящему» стоит сделанная им работа, если он получил 10877,3 р.

Решение:

1. 100-13=87 (%) – получает человек, после вычета налога
2. 10877,3: 87≈125,026 (руб.) - составляет 1%
3. 125,02643 ∙100≈12502,6 (руб.)

Ответ: 12502,6 руб. «по-настоящему» стоит сделанная работа

4) Какая сумма денег была начислена, если подоходный налог от суммы, равный 13%, составил 260 рублей.

Решение: х – рублей сумма денег,

х(рублей) – 100 %

260(рублей) – 13 %

х = 260 ∙ 100 : 13 = 2000

Ответ: сумма начисления 2000 рублей.  

Проценты и жильё

4. Стоимость жилья в городе N:

а) Оцените, сколько примерно будет стоить квадратный метр площади в трехкомнатной квартире на втором этаже пятиэтажного дома с балконом, мусоропроводом, окнами во двор и без лифта, если она находится в четвертой зоне.

Решение:

По условию задачи квартира находится в четвертой зоне, значит средняя цена 1 м2 общей площади составит 635 у. е. – принимаем за 100%.

1) 635:100=6,35(у. е.) - составляет 1%

Поправочные коэффициенты, влияющие на стоимость квартиры:

2) 0%-1%+1%+0%+2,5%=2,5%

3) 2,5 ∙ 6,35=15,875 (у. е.) – приходится на 2,5%

4) 635+15,875 =650,88 (у. е.)

ОТВЕТ: цена за 1 м2  по всем условиям равна 650,88 у. е.

5. В городе N при внесении квартирной платы на один день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется заплатить в этом случае, если квартирная плата составила: 2600р; 800р?

Решение:

1. За 100% приняты 2600 руб.

     2600/100=26 (руб.) – составляет 1%

2. 26  ∙ 0,1=2,6 (руб.) – составляет 0,1%
3. 2600+2,6=2602,6 (руб.) - придется заплатить, если квартирная плата составила 2600р.

1. За 100% приняты 800 руб.

800 : 100=8 (руб.) – составляет 1%

2. 8 ∙ 0,1=0,8 (руб.) – составляет 0,1%
3. 800+0,8=800,8 (руб.) - придется заплатить, если квартирная плата составила 800р.

Проценты и прибыль

1. Три   человека  организовали   собственное предприятие и договорились, что первый из них будет получать третью часть прибыли, двое других по 20%, а остальные деньги они будут вкладывать в развитие своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия?

Решение:

Вся прибыль – 100%

1) 100 : 3=33,3% третья часть прибыли, получает первый предприниматель в процентах.

2) 20 + 20 + 33=73 (%) - от прибыли получают все предприниматели

3) 100 - 73=27% - от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия 

Ответ: 27%  от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия.

2) Торговая фирма покупает товар по 425 рублей и продает его в розницу с наценкой

12 %. Какова розничная цена товара.?

Решение:

425 рублей – 100 %

 х  рублей – 12 %

х = 425 ∙ 12 : 100 = 51(рублей)  - наценка на товар.

425 + 51 = 476 (рублей) - розничная цена товара.

Ответ: 476 рублей - розничная цена товара.

Проценты в магазине

1. В течение недели магазин получил 60 000 р. дохода. Из них 15 000 р. от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров?

Решение:

За 100% принят доход – 60 000 рублей.

1) 60000 : 100 = 600(руб.) – составляет 1%

2) 60000-15000=45000 (руб.)- доход от непродовольственных товаров

В) 45000 : 600 =7 5%

ОТВЕТ: 75% составил доход от продажи непродовольственных товаров?

2. В магазине конструктор стоил 170 рублей. После объявления распродажи его цена уменьшилась до 119 рублей. Сколько процентов составляет новая цена от первоначальной?

Решение: 170 рублей – 100 %,

                 119 рублей – х %.

х =  119 ∙ 100 : 170 = 70 %.

Ответ: 70% новая цена товара.

3) Обувной магазин устроил распродажу. Пара туфель, которая стоила раньше 800 рублей, стала стоить 680 рублей. На сколько процентов снизилась цена туфель?

Решение:

1. 800 – 680 = 120 (рублей) – снизилась цена туфель.
2. 800 рублей – 100 %

120 рублей – х %.

х = 120 ∙ 100 : 800 = 15 %.

Ответ: на 15 % - снизилась цена туфель.

Задачи, содержащие  практическое применение

Задачи, содержащие  практическое применение, представляют особый интерес.

1). Две ремонтные мастерские в течение недели должны отремонтировать по плану 18 моторов. Первая мастерская выполнила план на 120%, а вторая - на 125%, поэтому за неделю они отремонтировали 22 мотора. Какой план по ремонту на неделю имела каждая мастерская?

Решение: Пусть х моторов за неделю должна  была отремонтировать первая мастерская, тогда вторая 18 - х моторов.

Первая мастерская выполнила задание на 120%, то есть сделала 1,2 этого задания (120%=1,20), она отремонтировала 1,2х моторов. Вторая выполнила задание на 125% т.е  отремонтировала 1,25(18-х) моторов

Так как вместе они отремонтировали 22 мотора,  то

1,2х+1,25(18-х)=2

1,2х+22,5-1,25х=22

1,2х-1,25х=22-22,

-0,05х=-0,5

х=10

10 моторов должна была отремонтировать первая  бригада, тогда вторая

18 – 10 = 8 - моторов

                             Ответ: 10 моторов и 8 моторов.

2)  Сплав состоит из 64,8% меди; 32,8% цинка и 2,4% свинца. Сколько нужно взять меди, цинка и свинца, чтобы получить сплав массой в 0,75т?

Решение: 0,75т = 750кг; 64,8% = 0,648;

     32,85% = 0,328; 2,4% = 0,024.

1. 750 ∙ 0,648=486(кг) - масса меди в сплаве.
2. 750 ∙ 0,328=246(кг) - масса цинка.
3. 750 ∙ 0,024=189(кг) - масса свинца.

Ответ: 486кг, 246кг, 189кг.

3. В стакане чая (200 г) содержится 12 г сахара. Какова концентрация  сахара в чае?

Решение: Концентрация раствора – отношение массы вещества в растворе к массе всего раствора.

200г – 100 %

12г – х %

х =  12 ∙ 100 : 200 = 6 %.

Ответ: концентрация  сахара в чае 6 %.

4. Заработная плата повысилась с 6400 рублей  до 7680 рублей. На сколько процентов повысилась зарплата?

Решение: 7680 – 6400 = 1280 (рублей) – повысилась зарплата.

6400 рублей – 100 %

1280 рублей – х %

х = 1280 ∙ 100 : 6400 =  20  %.

Ответ: зарплата повысилась на 20 %.

 Проценты в школе

В этом разделе мы представляем наш 6  класс в процентах.

1. Ануфриева Оксана
2. Соколова Надежда
3. Ануфриев Сергей                      
4. Фроленкова Лена                                    
5. Литвинов Антон
6. Полторацкий Сергей
7. Цыганков  Миша
8. Ведякина Вика
9. Мецкер Слава

В 6  классе 9 человека - примем за 100%. Из них 5 мальчиков и  4 девочки. Определим, сколько процентов составляют девочки и мальчики.

1) Процентное соотношение девочек и мальчиков.

1. 4 : 9 ∙ 100 = 44,4 (%)- девочек                                                                                                                                      2) 5 : 9 ∙ 100=55,6 (%)- мальчиков (Приложение  № 2)

2) Успеваемость учащихся 6 класса по математике за 2 четверть.

Во 2 четверти  в нашем классе математику окончили на «4» и «5» - 4 человека;

На оценку «3» - 5 человек.

 Решение:

9 чел. – 100%

4 чел. – х %. Составим пропорцию:

9 : 4 = 100 : х

х = 4 ∙ 100 : 9

х =  44,4

100 – 44,4 = 55,6

Ответ: На  «4» и «5» в нашем классе  учится примерно 44,4 %. (Приложение № 4)                           

3) Увлечения учеников 6 класса. (Приложение № 2)

В нашем классе ребята занимаются в разных кружках и секциях в свободное от занятий время. Некоторые из учеников успевают посещать даже несколько кружков. Все данные представлены в таблице:

В нашем классе свой день рождения отмечают в январе – 1 человек, апреле – 1, июле – 1, августе – 3, сентябре – 1,  ноябре – 1, декабре – 1. Следующая диаграмма наглядно представляет месяцы рождения учеников 6 класса. (Приложение № 3).

В 1995 – 1 человек, в 1996 году – 6 человек, в 1997 – 2 человека.

В 1995 – 11%, в 1996 -  66,7%,в 1997 году – 22,2 %. (Приложение № 3).       

Заключение.

       Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно.

В данной работе были  рассмотрены простейшие задачи на проценты и «обратные задачи» на проценты, умение переводить проценты в десятичную дробь, десятичную дробь обращать в проценты, умение преобразовывать десятичные и обыкновеннее дроби (равные дроби в различных записях).

Эти задачи составляют только первую главу процентных вычислений.  В следующей работе мы хотим познакомиться с простым и сложным процентным ростом, условия задач связанные  с начислением банковских процентов, условиями задач  которые затрагивают финансовую, социологическую, экономическую и другие сферы.

Список литературы

1. Математика 6 класс. МПИ. Просвещение 2006 год.
2. Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова. Процентные вычисления. – М.: Дрофа, 2003 г.
3. Виленкин и др. Математика 5, 6 класс. 2008 г.
4. А. П. Савин. Для чего нужны проценты // Квант. 1986. №2
5. А. С. Симонов. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе. 1998. №4
6. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. (Материалы из Интернет)
7. Математика в школе» №5 1999 г. (с.5)
8. Математика №36 2004 г.
9. Математика №22 2005 г

Приложения

Приложение № 1: «Стевин Симон  — нидерландский ученый.

Приложение № 2: «Процентное соотношение девочек и мальчиков», «Увлечения учащихся 6 класса».

Приложение № 3: « Месяцы и годы рождения учащихся 6 класса».

Приложение №  4: «Успеваемость учащихся 6 класса по математике за 2 четверть».

Приложение №  5: «Задачи на проценты, практического применения»