Некоторые способы нахождения площадей

Слайд 1

Слайд 2

Содержание : Равносоставленные многоугольники Равновеликие многоугольники Теорема Бойяи-Гервина Измерение площади многоугольника Формула Пика

Слайд 3

Равносоставленные многоугольники Если один многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие многоугольники называются равносоставленными .

Слайд 4

Задача 1 На рисунке изображен квадрат ABCD , разрезанный на четыре части (точки P,M,N и Q- середины его сторон, L - середина отрезка PQ) Требуется составить из этих частей равнобедренный треугольник. A M L L

Слайд 5

Обратимся к рисунку. По условию АP=BP=BM=CM=CN=DN=DQ=AQ Углы A,B,C и D прямые,  APQ +  BPL=180 ⁰,  AQP +  DQL=180⁰,  LMB +  LMC=180 ⁰ ,  LND + +  LNC=180⁰. Поэтому если переставить многоугольники, то они составят с треугольником APQ один равнобедренный треугольник с основанием, равным диагонали квадрата . Решение: А А М L L L

Слайд 6

Равновеликие многоугольники Два многоугольника называются равновеликими , если их площади равны. Примером равновеликих многоугольников могут служить любые равные многоугольники . Но Равновеликие многоугольники могут быть неравными.

Слайд 7

Теорема Бойяи-Гервина Два многоугольника равносоставлены , если один из них можно перекроить в другой (то есть разрезать на части, переложив которые, можно получить другой). Всякие два равновеликих многоугольника равносоставлены .

Слайд 8

Измерение площади многоугольника Практически измерение площади многоугольника можно провести так. Расчертить лист бумаги на квадраты со стороной равной измерения отрезков, и наложим на него равный многоугольник, потом применить формулу Пика

Слайд 9

Формула Пика Георг Пик открыл замечательную формулу для площади выпуклого многоугольника Y с вершинами в целочисленных решетках ( m+ -1) , где m –количество целочисленных точек решетки, находящихся внутри многоугольника, а n - количество точек решетки, лежащих на его границе .

Слайд 10

Георг Пик Георг Алекса́ндр Пик (нем. Georg Alexander Pick; 10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер (нем. Josefa Schleisinger ), отец — Адольф Йозеф Пик (нем. Adolf Josef Pick ). Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Слайд 11

Задачи ЕГЭ Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Применим формулу Пика : m=10( кол - во целочисленных точек решетки, находящихся внутри треугольника ; n=6( кол-во точек решетки, лежащих на границе. (10 + -1 ) =10-3-1=6см¹.

Слайд 12

Спасибо за внимание!