Изучить определение комплексного числа, показать их значимость в современной науке , выявить их практическое применение
Показать использование комплексных чисел в электротехнике
Показать значение и роль комплексного числа для современной науки и техники.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 183.18 КБ |
Всероссийский конкурс проектно-исследовательских работ учащихся
Государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования Ленинградской области
Полный адрес: 187110 Ленинградская область г.Кириши проспект Победы д.1
Тема проекта :
«Значимость комплексного числа»
Автор: Рубцов Дмитрий Павлович,
1 курс группа 44
Научный руководитель: Петрова Ольга Ивановна,
преподаватель математики.
2014-2015 учебный год
Содержание
1.Введение 3стр.
2. Глава 1
1.1. История возникновения чисел 3-4стр.
1.2. Открытие комплексных чисел 4-5
1.3. Действия с комплексными числами. 5-6
1.4. Запись комплексного числа различными формами. 6-7
1.5. Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом
3.Глава2.
2.1. Переменный ток. Запись в комплексной форме. 8-10
2.2. Решение простейшей задачи по электротехнике 10-11
2.3. Закон Ома в комплексной форме 12
4. Заключение. 13
5. Список литературы.
Цели работы: Выяснить историю появления различных чисел,
Изучить определение комплексного числа, показать их значимость в современной науке , выявить их практическое применение
Показать использование комплексных чисел в электротехнике
Показать значение и роль комплексного числа для современной науки и техники.
Задачи проекта:1) Изучить свойства комплексных чисел
2) Выяснить историю появления комплексного числа
3). Рассмотреть применение комплексных чисел , выявить важность их в современном мире
4) Найти информацию по заданной теме, обобщить результаты.
Гипотеза: Важно ли применение комплексных чисел в различных отраслях современной науки и их практическое значение ?
Тип проекта: кратковременный
Продукт проекта: результаты данного проекта могут быть использованы для повышения образовательного уровня обучающихся по математике и электротехнике. для объяснения темы комплексных чисел, расчета синусоидального тока. Результаты проекта могут быть использованы для подготовки к уроку , к зачету
Сколько тебе лет? Сколько у тебя друзей? Чтобы все подсчитать , нужно знать числа . А как же считали древние люди, которые не знали цифр ?
Первобытные люди , также как и современные маленькие дети , не знали счета. Поначалу они определяли все числа как «один» и «много» . Необходимо было учиться считать , этого требовала жизнь.
Ноги и пальцы были основными орудиями счета , особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две- 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.
Индийская система нумерации и вычислений, которая сложилась примерно к VI веку нашей эры, оказалась такой удобной и удачной, что ею сейчас пользуются во всем мире. Европейцы познакомились с ней в X - XIII веках через арабов, которые первыми узнали этот способ записи чисел, усвоили и привезли в Европу, поэтому эти новые цифры в Европе стали называть арабскими. Самый простой и удобный счетный прибор, работающий в десятичной системе счисления, был всегда у человека всегда под рукой - это его 10 пальцев.
Славянские народы для обозначения больших чисел использовали новые специальные названия. Например, число 10000 называли словом "тьма". Это же слово обозначало и бесконечность (то, что нельзя пересчитать). Позже число 10000 стали называть так же, как и мы сейчас - "десять тысяч", а словом "тьма" стали называть уже тысячу тысяч, то есть миллион. Число "тьма тем", то есть миллион миллионов, называлось "легион", число "легион легионов" называли "леодр", а "леодр леодров" называли "вороном".
И на заре цивилизации числа возникли так как этого требовала сама жизнь Общество развивалось, развивалось и число
В современном мире , я так думал , что о числах все известно , но узнал о том, что существуют комплексные числа. Зная их, можно найти корень из отрицательного числа, я был сильно удивлен и изменил свое мнение о том, что развитие чисел прекратилось.
Почему же при решении квадратного уравнения существует такой ответ, как « нет решений» Разве такое бывает? Оказывается, что решения есть и при этом в ответе получается число , которое и называется комплексным.
Комплексные числа , с которыми я познакомился, используются не только при решении уравнений, но в электротехнике , теории чисел, авиации. Мне стало очень интересно узнать об этих числах.
Итальянский ученый Джордж Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы., он называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их ненужными и старался их не употреблять.
Но уже в 1572 году вышла книга другого итальянского ученого Р. Бомбелли, в которой были указаны первые правила сложения и вычитания таких чисел, даже указывались извлечения кубических корней.
Название “мнимые числа” предложил в 1637 году французский математик и философ Рене Декарт, а Л. Эйлер самый известный математик 18 века предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). вошел во всеобщее Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.
Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это определение впервые предложил немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.
В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, хотя существование комплексных чисел многим ученым казалось сомнительным
В 1707-ом году Муавр предложил «формулу Муавра» для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.
Основные правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Леонард Эйлер.
На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.
Кардано
Бомбелли
Декарт
Муавр
Гаусс
Эйлер
3. Комплексные числа и их свойства
Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib, где a и b – любые действительные числа, а i – мнимая единица, основное свойство которой i2= -1. Множество комплексных чисел обозначается С. Комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. Поэтому множество действительных чисел R входят во множество С, и всякое действительное число обозначается как z = a 0i. Пример: запись 3+0i то же, что и 3; запись -4+0i значит то же, что -4. А числа вида z = 0 +ib называют чисто мнимыми и обозначаются ib. Они получаются из комплексных чисел при a = 0.
z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z.
1) . Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.
2). Суммой комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.
3). Разностью комплексных чисел a+bi, z2=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i .
4). Произведением комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.
Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что
i2= -1.
5. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа
6). Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:
умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю
=
*
=
=
=
Все действительные числа можно изобразить на числовой прямой линии :
Значит, на "числовой прямой" не остаётся места для комплексных чисел.
Но комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.
Комплексное число на плоскости
Модулем комплексного числа z = a +ib называется длина вектора, соответствующего этому числу; |z| = r = .
Аргументом комплексного числа Z0 называется величина угла
между положительным направлением действительной оси и вектором Z (r).
; Аrg z = ϕ + 2πκ;
Если Cos ϕ = а / = а / r; Sin ϕ = b /
= b / r;
то воспользовавшись связью a = rcos, b = rsin
, получим тригонометрическую форму записи числа: z = r(cos
+ i sin
)
Пример
Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
z1 = 3+=
=
=
Т.к. четверть первая, то φ=arctg=arctg
= 300
Z1=*(cos300+isin300)
Решение:
D=b2-4ac=(-6)2-4⋅1⋅13=36-52=-16
=
=
=4i
=
=
=
= 3-2i
=
=
= 3+2i
2) ×2+3x+4=0
=9-16=-7
=
i
X1, 2=
3) x2+1=0
x2=-1
X1, 2=±i
Таким образом, получаем, что если D<0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах.
6.Комплексные числа в электротехнике.
Рассмотрев тему «Комплексные числа» на занятиях по математике я заинтересовался данной темой и решил расширить свои познания в этой области. Моя будущая профессия: сварщик-монтажник. Поэтому знания электротехники мне необходимы. Как же применяются комплексные числа в электротехнических расчетах? Оказывается, не так все и сложно.
Переменным током называется ток, изменяющийся во времени. Наибольшее распространение в электротехнике имеет синусоидальный ток , так как он наиболее экономичен В электротехнике принято обозначать мгновенные значения токов прописными буквами в виде: ; амплитуду заглавной с нижним индексом «
» :
., · Алгебраическая форма синусоидального тока :
, при этом важно показать , что в математике знак мнимой части используется как «
», но в электротехнике этим знаком обозначается ток, поэтому было решено заменить его на «
». Знак «
» не говорит ни о каком-либо сложении, он только указывает на то, что мы объединяем два действительных числа в одно целое . На комплексной плоскости «
» и «
» - это координаты конца вектора тока, по мнимой и действительной оси.
· Тригонометрическая форма: запись результата вещественной и мнимой части через модуль «
» и аргумент «
»
· Показательная форма: — получается путем применения формулы Эйлера к тригонометрической форме
Рассмотрим простейшую задачу для электротехники : необходимо сложить токи различной величины
Составим цепь переменного тока из двух параллельных ветвей, состоящих из двух сопротивлений. Нам известно : амплитуда, частота и начальная фаза токов, которая равная нулю. ,
Рисунок 1. Токи в параллельных ветвях цепи переменного тока
По одному из главных законов электротехники, а именно по I-му закону Кирхгофа (Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю )
, отсюда
, графически это можно определить так:
Рисунок 2. Сложение синусоидального тока
Теперь рассмотрим эту задачу с применением комплексных чисел, мы уже знаем, что такое комплексное число и при этом переводим в комплексное число заданные уравнения синусоидальных токов.
Получаем :
;
,
В результате получим :
.
Решение небольшое , а результаты такие же.
Проверяем это на векторной диаграмме:
Рисунок 3. Векторная диаграмма
На этом простейшем примере хорошо показано как комплексные числа упростили решение. Сейчас же ни одна задача в электротехнике не решается без них. Мнимые числа - необходимая составляющая электротехники.
Под законом Ома в комплексной форме понимают:
Í = Ú / Z
Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.
По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:
R + j X — активно-индуктивное сопротивление;
R – j X — активно-емкостное.
Примеры.
Моя проектная работа показывает то, что понятие комплексного числа значительно расширяет их применение, о решении различных задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени
В настоящее время стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа - теория функции комплексного переменного
Методы этой теории функции комплексной переменной используется при построении фракталов . Фракталы находят применение, например, в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации, используются при анализе и классификации сигналов сложной формы. Но это еще одна исследовательская работа.
Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.
Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам Выбор этих формул диктуется условиями задачи и ее требованием. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полет самолетов и ракет. Применяются они при вычерчивании географических карт, используются для изучения явлений в атомах и атомных ядрах
Список литературы:
1. Математика: Учебно -справочное пособие./ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.М.:ООО «Издательство АСТ», 2003.
2. Практические занятия по математике Богомолов Н.В. Учебное пособие для техникумов. Москва- Издательство «Высшая школа», 1986
3. Математика Башмаков М.И. Учебник для образовательных учреждений СПО и НПО .Москва Издательский центр «Академия» , 2013
4. Основы электротехники Касаткин А.С.Учебное пособие для технических училищ. Москва. Высшая школа ., 1986
5.festival.1september.ru
6.mathprofi.ru/kompleksnye chisla dlya chainikov.
7.modul.exponenta.ru
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью
Лиса и волк
Свадьба в Малиновке
Учимся ткать миленький коврик
Как нарисовать портрет?