Всероссийский конкурс проектно-исследовательских работ учащихся

Государственное автономное образовательное учреждение  среднего профессионального образования Ленинградской области

Полный адрес: 187110 Ленинградская область г.Кириши проспект Победы д.1

Тема проекта :

 «Значимость комплексного числа»

Автор: Рубцов Дмитрий Павлович,

1 курс группа 44

Научный руководитель: Петрова Ольга Ивановна,

преподаватель математики.

                                                2014-2015  учебный год

Содержание

1.Введение                                                                                                   3стр.

2. Глава 1

        1.1. История возникновения чисел                                              3-4стр.                                              

         1.2. Открытие комплексных чисел                                              4-5

         1.3. Действия с комплексными числами.        5-6

         1.4. Запись комплексного числа  различными формами.            6-7

         1.5. Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом

3.Глава2.

2.1. Переменный ток. Запись в комплексной форме.        8-10

2.2. Решение простейшей задачи по электротехнике        10-11

2.3. Закон Ома в комплексной форме        12

4. Заключение.        13

5. Список литературы.

Цели работы: Выяснить  историю  появления различных чисел,

Изучить определение комплексного числа, показать их значимость в современной науке ,  выявить их практическое применение  

 Показать использование комплексных чисел  в электротехнике

Показать значение и роль комплексного числа   для   современной науки и техники.  

Задачи проекта:1)  Изучить свойства комплексных  чисел

2) Выяснить историю появления комплексного  числа

3). Рассмотреть применение  комплексных  чисел , выявить важность  их в современном мире

4) Найти информацию по заданной теме, обобщить результаты.

Гипотеза:  Важно ли применение комплексных чисел  в различных  отраслях  современной науки  и   их практическое значение ?

Тип проекта: кратковременный

Продукт проекта: результаты данного проекта могут быть использованы  для повышения образовательного уровня обучающихся по математике и электротехнике. для  объяснения темы комплексных чисел,  расчета синусоидального тока. Результаты проекта могут быть использованы для подготовки к уроку , к зачету

1. История возникновения различных чисел.

Сколько тебе лет? Сколько у тебя друзей? Чтобы все подсчитать , нужно знать числа . А как  же считали древние люди, которые не  знали  цифр ?

   Первобытные люди , также как и современные маленькие дети , не знали счета. Поначалу они определяли  все числа как «один» и «много» .  Необходимо  было учиться считать , этого требовала жизнь.

Ноги и пальцы были основными орудиями счета , особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две- 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.

  Индийская система нумерации и вычислений, которая сложилась примерно к VI веку нашей эры, оказалась такой удобной и удачной, что ею сейчас пользуются во всем мире. Европейцы познакомились с ней в X - XIII веках через арабов, которые первыми  узнали этот  способ записи чисел, усвоили и  привезли в Европу, поэтому  эти новые цифры в Европе стали называть арабскими. Самый простой  и удобный  счетный прибор, работающий в десятичной системе счисления, был всегда у человека всегда  под рукой - это его 10 пальцев.

Славянские народы для  обозначения больших чисел использовали  новые специальные названия. Например, число 10000 называли словом "тьма". Это же слово обозначало  и бесконечность (то, что нельзя пересчитать). Позже число 10000 стали называть так же, как и мы сейчас - "десять тысяч", а словом "тьма" стали называть уже тысячу тысяч, то есть миллион. Число "тьма тем", то есть миллион миллионов, называлось "легион", число "легион легионов" называли "леодр", а "леодр леодров" называли "вороном".

 И на заре цивилизации числа возникли так как этого требовала сама  жизнь Общество  развивалось, развивалось и число

В современном  мире , я так думал , что о числах все известно ,  но узнал о  том, что существуют комплексные  числа. Зная их,  можно  найти корень  из отрицательного числа,  я был сильно удивлен и  изменил свое мнение о том, что развитие чисел  прекратилось.

 Почему же  при решении квадратного уравнения  существует такой ответ, как « нет решений» Разве такое бывает? Оказывается, что решения есть и  при этом  в ответе получается число , которое и называется комплексным.

Комплексные числа , с которыми я познакомился, используются не только при решении уравнений, но  в электротехнике , теории чисел, авиации.  Мне стало очень интересно узнать об этих числах.

1. История возникновения комплексного числа

Итальянский ученый  Джордж  Кардано  в 1545 г. предложил ввести числа новой природы.,  он называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их  ненужными и старался их не употреблять.

      Но уже в 1572 году вышла книга другого  итальянского  ученого  Р. Бомбелли, в которой были указаны первые правила  сложения и вычитания таких чисел,  даже  указывались извлечения кубических корней.

Название “мнимые числа”  предложил в 1637 году французский математик и философ Рене  Декарт, а  Л. Эйлер  самый известный математик 18 века  предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа  (мнимой единицы). вошел во всеобщее Термин “комплексные числа”  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это  определение впервые  предложил  немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам,  хотя существование комплексных чисел многим ученым  казалось сомнительным

В 1707-ом году Муавр предложил «формулу Муавра»  для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Основные правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Леонард  Эйлер.

На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

Кардано  Бомбелли     Декарт

 Муавр     Гаусс            Эйлер

3.  Комплексные числа и их свойства

Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib, где a и b – любые действительные числа, а i – мнимая единица, основное свойство которой i2= -1. Множество комплексных чисел обозначается С. Комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. Поэтому множество действительных чисел R входят во множество С, и всякое действительное число обозначается как z = a  0i. Пример: запись 3+0i то же, что и 3; запись -4+0i значит то же, что -4. А числа вида z = 0 +ib называют чисто мнимыми и обозначаются ib. Они получаются из комплексных чисел при a = 0.

z=a+bi-алгебраическая форма комплексного числа z.

1) . Два комплексных числа z=a+bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные и мнимые части.

2). Суммой комплексных чисел z1=a+bi, z2=c+di  называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i.

3). Разностью комплексных чисел a+bi, z2=c+di называют комплексное числo z= (a-c)+ (b-d)i  .

4). Произведением комплексных  чисел z1=a+bi, z2=c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Замечание: на практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножать данные числа как двучлены, а потом учитывать, что

i2= -1.

5.  Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

 25+3i  и  25-3i – сопряженные комплексные числа

6). Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие:

умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю

 =  *  =  =  =

4. Геометрическое изображение комплексных чисел

Все действительные числа можно  изобразить  на  числовой прямой линии :

 Значит,  на "числовой прямой" не остаётся места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Комплексное число на плоскости

Модулем комплексного числа z = a +ib называется длина вектора, соответствующего   этому числу; |z| = r = . 

Аргументом комплексного числа Z0 называется величина угла  между положительным направлением действительной оси и вектором Z (r). ;   Аrg z = ϕ + 2πκ;

Если       Cos ϕ = а / = а / r;          Sin ϕ = b / = b / r;

то воспользовавшись связью a = rcos, b = rsin, получим тригонометрическую форму записи числа: z = r(cos + i sin)

  Пример

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

 z1 = 3+===

Т.к. четверть первая, то φ=arctg=arctg  = 300 

Z1=*(cos300+isin300)

5. Решение  квадратного уравнения, имеющего отрицательный дискриминант.

1. Решить уравнение ×2-6x+13=0

Решение:

D=b2-4ac=(-6)2-4⋅1⋅13=36-52=-16

 =  = =4i

=

= =  = 3-2i      

= =  = 3+2i      

2) ×2+3x+4=0

   =9-16=-7        = i

X1, 2=

3) x2+1=0

    x2=-1

X1, 2=±i

Таким образом, получаем, что если D<0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах.

6.Комплексные числа в электротехнике.

Рассмотрев тему «Комплексные числа» на занятиях  по математике я заинтересовался данной темой и решил  расширить свои познания в этой области. Моя будущая профессия: сварщик-монтажник. Поэтому знания электротехники мне необходимы. Как же применяются комплексные числа в электротехнических расчетах? Оказывается, не так все и сложно.

Переменным  током  называется  ток,  изменяющийся  во  времени.  Наибольшее  распространение  в электротехнике  имеет  синусоидальный  ток , так как он наиболее экономичен  В  электротехнике  принято  обозначать  мгновенные  значения  токов  прописными буквами  в  виде:  ;  амплитуду  заглавной  с  нижним  индексом  «»  :  .,  ·     Алгебраическая  форма синусоидального тока :  ,  при этом   важно показать ,  что  в  математике  знак  мнимой  части  используется  как  «»,  но  в  электротехнике  этим  знаком  обозначается  ток,  поэтому  было  решено  заменить  его  на  «».  Знак  «»  не  говорит  ни  о  каком-либо  сложении,  он  только  указывает  на  то,  что  мы  объединяем  два  действительных  числа  в  одно  целое .  На  комплексной  плоскости  «»  и  «» - это  координаты  конца  вектора  тока,  по  мнимой  и  действительной  оси.

·     Тригонометрическая  форма:    запись  результата  вещественной  и  мнимой  части  через  модуль  «»  и  аргумент  «»

·     Показательная  форма:  —  получается  путем  применения  формулы  Эйлера  к  тригонометрической  форме

Рассмотрим  простейшую  задачу для  электротехники :  необходимо  сложить   токи различной величины

 Составим  цепь  переменного  тока  из  двух  параллельных   ветвей,   состоящих  из двух сопротивлений.  Нам  известно :  амплитуда,  частота  и  начальная  фаза  токов, которая  равная  нулю.  ,   

 Рисунок 1.  Токи  в  параллельных  ветвях  цепи  переменного  тока

По  одному  из  главных   законов электротехники,  а  именно  по  I-му  закону  Кирхгофа  (Алгебраическая  сумма  токов  в  узле  равна  нулю  )  ,  отсюда  ,  графически  это  можно  определить  так:     

Рисунок  2.  Сложение  синусоидального  тока

Теперь  рассмотрим  эту  задачу  с  применением  комплексных  чисел,  мы  уже  знаем,  что  такое  комплексное  число  и   при этом переводим  в  комплексное число   заданные  уравнения   синусоидальных  токов. 

Получаем :

;          ,

 В результате  получим :      

.

Решение   небольшое ,  а  результаты  такие   же. 

Проверяем  это  на  векторной  диаграмме:

Рисунок  3.  Векторная  диаграмма

На  этом  простейшем  примере  хорошо  показано  как  комплексные  числа  упростили  решение.  Сейчас  же  ни  одна  задача  в  электротехнике  не  решается  без  них.  Мнимые  числа - необходимая  составляющая  электротехники.

7.Закон Ома в комплексной форме.

Под законом Ома в комплексной форме понимают:

Í = Ú / Z

Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:

R + j X — активно-индуктивное сопротивление;
R – j X — активно-емкостное.

Примеры.

  Моя проектная работа   показывает то, что понятие комплексного числа  значительно расширяет их применение, о решении  различных задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени

 В настоящее время стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа - теория функции комплексного переменного

Методы  этой теории функции комплексной переменной используется при построении фракталов . Фракталы находят применение, например,  в компьютерном дизайне, в алгоритмах сжатия информации, используются при анализе и классификации сигналов сложной формы. Но это еще одна исследовательская работа.

           Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам  Выбор этих формул диктуется условиями задачи и ее требованием. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полет самолетов и ракет. Применяются они при вычерчивании географических карт, используются для изучения явлений в атомах и атомных ядрах

Список литературы:

1. Математика: Учебно -справочное пособие./ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.М.:ООО «Издательство АСТ», 2003.

2. Практические занятия по математике Богомолов Н.В. Учебное пособие для техникумов. Москва- Издательство «Высшая школа», 1986

3. Математика  Башмаков М.И. Учебник для образовательных учреждений СПО и НПО .Москва Издательский центр «Академия» , 2013

4. Основы электротехники  Касаткин А.С.Учебное пособие для технических училищ. Москва. Высшая школа ., 1986

5.festival.1september.ru

6.mathprofi.ru/kompleksnye  chisla  dlya chainikov.

7.modul.exponenta.ru