Использование метода координат для решения уравнения с одной переменной под знаком модуля.

Высокогорский муниципальный район РТ

Исследовательская работа

На тему:

Использование  метода координат для решения уравнения

с одной переменной под знаком модуля.

Работу выполнил:

Ученик 11 класса  Айбашской

средней общеобразовательной

школы

Лотфуллина Айзиря Надировна

Айбаш  2015

Содержание

I    Введение

II  Основная часть.  Координаты на прямой.

  2.1    Числовая ось.

  2.2     Абсолютная величина чисел.

  2.3     Расстояние между двумя точками .

III   Практическая часть.

   3.1    Решение уравнений с одной переменной под модулем.

   3.2    Решение  неравенств с одной переменной под модулем

  IV  Заключение.

   V   Используемая  литература.

Введение

Прежде, чем мы приступим к обсуждению темы этого задания, мне хотелось бы привести здесь слова известного венгерского математика и

педагога Джорджа Пойа:

         "1. Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из

затруднения или пути обхода препятствия, - это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется сразу доступной.

 2. Решение задач — практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите вводу, а если хотите научиться решать задачи ,то решайте их!

3. В глубине души человек стремится к большему: ему хотелось бы обладать универсальным методом, позволяющим решить любую задачу. Этой великой мечте суждено остаться мечтой. Тем не менее, такие недостижимые идеалы не остаются бесполезными — пока никто не достиг полярной звезды, но многие, глядя на небо находили правильный путь."

В школьном курсе математике , особенно в алгебре  7 класса с первых  уро-

ков встречается  понятие величины. А так же в 6 ом классе  изучается поня-

тие « абсолютная величина» или « модуль». Но ученики в этом возрасте

не очень - то понимают. И на уроках отводятся незначительное время . Часто встречаются  в учебниках уравнения и неравенства с модулем . Я хочу предложить свой вариант изучения этой темы.

     Актуальность и необходимость данной темы  выходит из того, что уча-

щиеся при сдаче ЕГЭ не доходят до конечного результата.

     Цель моего проекта – научится решать уравнения и неравенства с моду-

лем, используя различные способы и методы, особенно испольуя метод  

координат.

   Для достижения поставленной цели  необходимо решить следующие

задачи:

  1.Углубленно изучить сущность метода координат.

   а) координаты точки на прямой;

   б) расстояние между двумя точками.

Объект исследования: Уравнения и неравенства с модулем.

Методы исследования - изучение и использование научно-публицистических и учебных изданий, метод сопоставления, аналитический метод.

Иногда мы слышем или читаем, что «спутник  вышел на орбиту , близкую к

расчетной», подумаем , как можно рассчитывать, т.е изучать в числах орбиту спутника. Ведь для этого надо уметь переводить на язык чисел геометрические понятия и в первую очередь уметь определять положение точки на плоскости, или на поверхности Земли.

     Метод координат – это способ определять положение точки или тело с

помощью которых определяется положение точки , называются координатами точки.

    Мы знаем по географии, что положение точки на поверхности земли  имеет две координаты: широту и долготу. Чтобы определить положение в пространстве нужно уже не два числа , а три. Например , чтобы определить положение спутника над поверхностью земли , а так же широту и долготу, над корой он находится.

     Точно так же применяют метод координат для определения положения точки на линии железной дороги: указывают номер километрового столба.

Например : платформа -56 км. Число 56 это координата ближайщего к стан-

ции километрового столба.

      Своеобразные координаты используется в шахматах , где положение фигуры  на доске определяется с помощью буквы и числа . Например: b3,

значит в вертикальном ряду b, в горизонтальном  ряду 3.

     Метод координат важен и тем же , что он позволяет применять к иссле-

дованию любых геометрических объектов и соотношений .

    Координатный метод в геометрии так же применяется при решении таких

задач . как :

1) Найти расстояние от точки М до плоскости α .

2) Нахождение угла между двумя плоскостями .

3) Нахождение расстояние между скрещивающимися  прямыми .

4) Нахождение векторного произведения двух векторов .

    Создателем метода координат считают французского философа и матема-

тика Рене Декарта ( 1596 – 1650). В последней части большого филосовско-

го трактата Декарта , вышедшей в 1637 году, давались описание метода координат и его применение к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики , которую теперь  называют аналитической геометрией.

Координаты точки на прямой

2.1 Числовая ось.

Чтобы задать положение на прямой , нужно начало отсчета т,е начало коор-

динат , единичный отрезок и направление, которое будет считаться положительным.

 Эта прямая называется числовой осью. Число, определяющие положение точки .

Употребляют обозначения M(-4) , N(a) и т.д, Значит, точка М с координатой

-5, а точка N с координатами а.

Число а может быть положительным  или отрицательным.

  Примеры :

1. Отметьти на числовой прямой точки  А(-2) , В(3).

2. Найти расстояние  между ними :

             АВ = 3 –(-3) = 5

3. Известно , что точка А(а) лежит правее точки  В(b) .Какое число больше:

   а или b ?

Решение: если точка А правее, то её координата больше координаты

точки В т. е   а › b.

2.2.Абсолютная величина числа.

  Определение : Абсолютной величиной  числа а, или модулем  числа а называется неотрицательное число , равно:

  Модуль числа а обозначается так : │а │ - модуль а, например:     │7 │= 7

т .е расстояние от точки до начало координат равно 7 .  

Свойства абсолютной величины

1.  │х │> 0                                       4. │х │< a , то    - а < x < a

2.  │- х │= │х │                              5.   │х │> a , то х > a,  х < - a

3.  │х │² = x ²                                  6.   │x  + у│ ≤   │х │ +│y│

7.   │x  - у│   ≥ │х │ - │y│            8.   │x  ∙ у│ = │x │ ∙│ у│

Пример :  1. Какие значения  может принимать выражение :                              решение: а) если  х > 0 , то  значение равно  1

                                  б) если х <0 , то  значение равно  -1

Пример 2: При каких значениях переменных соотношения верны ?

              │х │ =   х  ,                 ответ:                   при х ≥ 0  верно

              │х │   >  х,                  ответ:                   при  х < 0  верно

              │х │ <  х ,                  ответ :             ни при каких значениях  нера-

                                                                            венство не верно.

Пример 3: Где на координатной прямой лежат точки  М( х) для которых :

               1)    │х │  =  2

               2)    │х │  >  3

               3)    │х │  ≤  5

                4)    │х │<  -4

              Ответы :

    3.1     │х │ =  2  если  х > 0 , то х =  2 ; если  х <0 , то х = -2.

3.2   если  х > 0 , │х │ = х  ,следовательно , х  >  3 , то все точкирасположе-

ны  правее 3. Если х <0 , │х │ =  - х  , -х > 3, значит х < - 3.Все точки лежат

левее  - 3.  Рисунок:                     Решением является объединение 2-х интер-

         валов   ( -∞ ; -3 ) Ủ (  3  ;   ∞ )  

3.3   │х │  ≤  5 , если х > 0 ,то │х │ = х  , х < 5 , все точки лежат левее 5.

       Если х <0 , │х │ =  - х  , -х < 5 , х >  - 5 , все точки правее – 5.

Решением является отрезок  [ -5 ;  5 ]

Пример 4.

Найти множество точек на координатной прямой ( или числовой прямой)

координаты которых удовлетворяют условиям :

  1. │х - 2│=3 ,       2.  │х - 2│> 3  ,       3.   │х - 2│< 3

Решение :

Искомую точку обозначим через Х(х). Тогда расстояние от точки  А(2) до

точки  Х(х) будет :

 4.1.│АХ│ = 3 .    4.2.  │АХ│> 3       4.3.   .│АХ│ < 3.

Отложив от точки А вправо и влево по 3 единицы , получим искомую множество (интервал)  . Ответ : х = -1 , х = 5

Если  │АХ│> 3  , то решением является     ( -∞ ; -1 ) Ủ (  5 ;   ∞ )  .

Если   .│АХ│ < 3 , то решением является     ( -1 ;  5 )

Пример 5

Решить неравенство :  │2х + 3│>  5.

 Решение :  Разделим обе части неравенства на  2 , получим  │х + 1,5│>  2,5

Решение рассмотрим наглядно :

Ответ : х < -4 ,  х > 1  или    ( -∞ ; -4 ) Ủ (  1 ;   ∞ )  .

Таким образом , можно решить уравнение и неравенство с одним переменным  с модулем.

Расстояние между двумя точками

Найдем теперь общую формулу для между двумя точками на числовой оси.

   Даны точки А(х1) и  В(х2) , найти расстояние между этими точками. Рассмотрим  все возможные случаи расположения трёх точек : А, В, О .

О начало координат.

I  случай : обе точки правее О , притом, В правее А. │ОА│ = х1 , │ОВ│ = х2

│АВ│= х2 - х1.,  т.к    х2 > х1 ,  х1 > 0    ,  х2 > 0

 II  случай:   Точки  расположены на разных направления относительно  начала координат.                                     

│АВ│= │ОВ│+ │ОА│=│ х1 -- х2 │( расстояние равно  сумме расстояний точек В и А от начала координат, т.к х1   положительно, а х2 отрицательно .

Так как значение модуля равно х2 - х1.. .

III  случай.: Обе точки расположены на левой стороне от начала координат.

                    При этом , точка В правее точки А.

│АВ│= │ОА│- │ОВ│= │ х1│- │ х2│= -  х1 – (- х2) =  х2 - х1

Итак, во всех случаях , когда х2 > х1 расстояние между А и В равно х2 - х1.

Когда  х1 -> х2  , это расстояние равно  х1 -- х2 . Вспоминая определение аб-

солютной величины , можно написать это формулой , пригодной во всех

случаях.

│АВ│=  │х2 - х1.│

Это понятие позволяет дать наглядное решение уравнений и неравенств ,

содержащих знак модуля.

Практическая часть

Пример 1.    Решить уравнение:

│х + 1│ +  │х + 2│ = 2         (1)

Решение: Разобьем множество значений  х на три участка  :

 Х ≥ - 1 ,    -2 < x <  -1 ,    x ≤ - 2  

 Рассмотрим  каждый участок  отдельно:

 1) Х ≥ - 1 ,    для этих значений  х имеем : х + 1 ≥  0 и  х + 2 > 0,

Следовательно , │х + 1│ =  х + 1 и  │х + 2│=  х + 2. Тогда уравнение (1)

преобретает вид : х + 1 + х +2 = 2 , или 2х = -1, х = - ½  удовлетворяет условию Х ≥ - 1 ,  т.е  на этом участке имеет один корень .

  2) -2 < x <  -1 ,    . На этом участке уравнение  (1)  приобретает вид  1 = 2.

Это означает , что ни одно число , заключенное между – 2 и – 1, не удовлетворяет уравнению (1) , на этом участке  уравнение не имеет корней.

 3) ,    x ≤ - 2  , для этих значений  х имеем : - х – 1 – х -  2 = 2 , - 2х = 5.

х =  -  2, 5.

    Ответ : уравнение имеет два корня :  , х = - ½   , х =  -  2, 5.

Пример 2. Решить неравенство : √ 9х² + 6х + 1 < 2 – х.

  Решение:  Данное неравенство перепишем в виде : │3х + 1 │<  2 – х │,

 и отметим  на числовой  прямой  х   значение  х = - ⅓ , в которой  выражение , стоящее под знаком модуля , обращается в нуль . Эта точка разбивает числовую прямую на два промежутка : х  ≤  - ⅓  и  х >  - ⅓  .

При   х  ≤  - ⅓  , неравенство имеет вид : - 3х – 1  <  2 – х , решая  получим :

- 3/ 2  ≤ х <  - ⅓  .

При    х >  - ⅓  , получим неравенство :  3х + 1 <  2 – х ,  решая получим :

4х < 1 , х  <  ¼ ,    - ⅓  <  х < ¼  . Итак  , решением неравенства  является объединение двух промежутков : (   - ⅓  ; ¼  )

Пример 3. Решить уравнение

|5 − 2x| + |x + 3| = 2− 3x.

Решение. 1. Решим уравнения 5−2x = 0 и x +3 = 0 и найдем критические точки x1 = 5  и  х2 = −3.

2. Разобьем область допустимых значений данного уравнения на три про-

межутка: (−∞,−3), [−3,  2,5)     и [2,5  ,+∞).

3. При x < −3 выражение 5 − 2x положительно и, следовательно, |5 −

2x| = 5 − 2x, а выражение x + 3 отрицательно, поэтому |x + 3| = −(x +3).

Таким образом, на промежутке (−∞,−3) исходное уравнение можно

записать 5 − 2x − (x + 3) = 2 − 3x. После приведения подобных членов

это уравнение примет вид 0 × x = 0. Решение данного уравнения — все

значения неизвестной x, принадлежащие промежутку (−∞,−3).

При −3 ≤ x < 2,5   2 ое выражение 5 − 2x неотрицательно, а выражение x + 3

неотрицательно, т.е. |5−2x| = 5−2x и |x+3| = x  + 3. Поэтому на промежутке

 исходное уравнение принимает вид 5−2x + x + 3 = 2−3x. Решение

этого уравнения x = −3, оно принадлежит рассматриваемому промежутку,

поэтому является решением исходного уравнения.

При x ≥ 2,5  выражение 5−2x отрицательно, а выражение x+3 положительно, т.е. |5−2x| = −(5−2x), а |x+3| = x+3. На промежутке [2,5 ,+∞)

исходное уравнение можно записать −(5 − 2x) + x + 3 = 2 − 3x. Решение

этого уравнения x = ⅔  не принадлежит рассматриваемому промежутку,

поэтому оно не будет решением исходного уравнения .Таким образом, решением исходного уравнения является промежуток (−∞,−3].

Данный метод решения уравнений с модулем универсальный, но не

единственный.

Заключение

Во время создания данного проекта я взялась за детальное рассмотрение

понятие модуля на примерах . Ведь  понятие модуля  встречается гораздо чаще чем мы себе представляем. Изучение многих процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с модулем . Включая такое большое количество столкновений , пусть и косвенных, , я пришла к выводу  , что необходимо изучать данную тему более детально. Так же непосредственным образом она развивает логическое и вариативное мышление человека, что позволит ему раздвинуть грани своих возможностей. В моей работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем  я надеюсь, что знания, которые я получила в процессе работы помогут мне при сдаче Единого Государственного Экзамена. Так же готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее

рационального решения .

Используемая литература.

1. А.Г. Мордкович.

« Практикум по решению задач школьной математики»  1975.

2. Е.И. Лященко

«Изучение  функций  в курсе математике»  1978

3. Повышение эффективности обучения  математики.

Издательство « Педагогика» 1997.

4.Решение сложных задач ЕГЭ.

Айрис – пресс -2008.

5.Г.Г. Гильманова. Р.Г. Хамитов.

« Уравнения и  неравенства с модулем» 2012.