Велосипедное колесо и циклоида.

Слайд 1

Я, Роман Яценко, ученик 8 класса Новопокровской ош , Красногвардейского района , представляю свою работу « Велосипедное колесо и циклоида »

Слайд 2

Меня всегда завораживала синусоида на осциллографе, когда появлялась возможность попросить отца показать её, при настройке схем.

Слайд 3

Идея самому смоделировать синусоиду возникла , когда я услышал, что синусоида связана с кругом, с его вращением и мне попалось следующее определение: Циклограмма — метод, который предложил Марей в XIX в. для исследования движений. Основан на использовании циклографии, то есть фотографирования в затемненном помещении через дозированные промежутки времени положения светящихся меток, находящихся на подвижных частях тела испытуемого.

Слайд 5

Фотокамера была настроена на максимальную экспозицию, выехали на ночную дорогу - брат за рулём велосипеда, я фиксирую результат опыта на камеру и увидели следующую фотографию. Похожа на синусоиду, но с дефектом. Нижняя часть не симметрична верхней относительно оси.

Слайд 6

Решил применить все свои знания по математике для исследования этого изображения. В помощь мне было моё новое увлечение- программирование на языке Паскаль. Захотелось смоделировать динамику движения точки на велосипедном колесе относительно дороги. Первая написанная мною программа на Паскале движения точки по окружности и траектория движения точки в пространстве, говорили мне, что точка должна описывать СИНУСОИДУ.

Слайд 7

Однако , когда светодиод был опушен максимально близко к ободу , то фотография показала, что с помощью велосипедного колеса невозможно смоделировать синусоиду. Но возникла другая задача, -каким свойствами обладает циклограмма на фотографии? - какой формулой описывается движение светящейся точки?

Слайд 8

Вид циклограммы не зависел от скорости движения велосипеда , но поражала неравномерность движения точки по траектории, выше оси велосипеда точка как бы ускорялась, а ниже оси замедлялась и на поверхности земли почти что останавливалась. Было выдвинуто предположение, что формула этой циклограммы связана с преобразованием графика синусоиды, но построенная динамическая модель в Паскале подсказала, что точка движется по этой траектории равномерно. А это не соответствовало результатам опытов.

Слайд 9

Практическая модель исследования движения точки колеса позволила заметить закономерности для вывода формулы

Слайд 10

Выяснилось, что светящаяся точка на колесе при повороте на определённый угол совершает сложное движение. Эти закономерности позволили мне вывести формулу для построения динамической модели движения.

Слайд 11

При повороте на некоторый угол  точка колеса совершает сложное движение - относительно системы координат и перекатывается на величину дуги СА. Если ВОС = , то ВА = 1 - cos ; Дуга СА =  радиан, так как угол измеряется в радианах, принимаем t =  , тогда ВА = 1 - cos t и О D = sin t Отсюда перемещение точки вращающегося колеса относительно поверхности качения X(t) = Cn А + AB = t + 1 – cos t Y(t) = 1 + sin t Заметим что в I и II четвертях перемещение на величину АВ совпадает с направлением движения , а в III и IV четвертях противоположно направлению движения.

Слайд 12

Выведенная мною формула задаётся параметрическим уравнением X(t) = R(t + 1 – cos t) ; Y(t) = R(1 + sin t) Однако, когда я начал искать в Интернете свойства параметрических уравнений, выяснил, что формула, над которой я работал была уже известна великим учёным XVII века . И линия, которую я сфотографировал называется ЦИКЛОИДА. Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель. Название циклоида придумал великий Галилей. В её исследовании участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Слайд 13

Совмещение на одном графике циклограммы по моей формуле и синусоиды позволяет чётко понять почему ЦИКЛОИДА - плоская трансцендентная кривая. Н евозможно найти формулу зависимости у от х из–за несовпадения траектории движения по фазам угла поворота. Траектория между точками А и В соответствует повороту угла I четверти, а C и D - угла III четверти.

Слайд 14

После приведения моей формулы к точке «возврата» она имеет вид : X(t) = R ( + t – cos t ) ; Y(t) = R(1 + sin t) и полностью совпадает с графиком , построенному по классической формуле циклоиды: X(t ) = R ( t – sin t); Y(t) = R(1 – cos t )

Слайд 15

Таким образом светящаяся точка на колесе велосипеда описывает циклоиду по формуле параметрических уравнений: X(t) = R( + t – cos t) ; Y(t) = R( 1 + sin t), где R - радиус колеса велосипеда.

Слайд 16

Меня конечно прельщают, что я смог вывести формулу циклоиды, отличную от классической, однако нужно признать, что я имел возможность в своих поисках использовать блага современной цивилизации – компьютер, программы Adobe Photoshop, Advanced Grapher , язык програм м ирования Паскаль, наконец светодиод , маленькие батарейки и фотокамеру. Ничего этого не имели такие великие умы как Галилей, Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц , Бернулли и многие другие математики XVII века. Ручка, лист бумаги, карандаш, циркуль и исследовательский ум… Во истину они нам оставили богатое наследство.