ФРАКТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В «ЖИВОЙ ГЕОМЕТРИИ»

ГБОУ Лицей 1575

Авторы работы: Казаков Андрей, Кантемиров Валерий учащиеся 9«Б» класса ГБОУ Лицей № 1575
Руководитель: Мардашева Татьяна Павловна,  учитель математики ГБОУ Лицей № 1575

                                                          г. Москва

ФРАКТАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В «ЖИВОЙ ГЕОМЕТРИИ»

                                                             Математика есть прообраз красоты мира.

                                                                                                                       И. Кеплер                                                                                                        

Актуальность. Популярность фрактальной тематики общеизвестна. Фрактальными картинками сегодня трудно удивить. Алгоритмы их построения основаны на достаточно простых рекурсивных процедурах. Однако, практически все известные фрактальные картинки, представленные в Интернете, выполнены с помощью специально написанных программ, которые требуют основательного опыта работы с такими визуальными системами программирования как Visual Basic, Delphi, C++, Java и др., достаточно трудными для школьников 7-9 классов. С другой стороны, в школе все большую популярность набирают инструментальные системы геометрического моделирования как «Живая геометрия» и родственная ей отечественная система «Математический конструктор 1 С», с которыми школьники 7-9 классов работают с большим удовольствием. До недавнего времени рекурсивные механизмы в этих пакетах отсутствовали. Положение изменилось после выхода в 2008 году четвертой версии «Живой геометрии», где в наборе функций меню «Преобразования» появилась дополнительная процедура «Итерация», которая позволяет выполнять и фрактальные построения. К нашему удивлению, до сих пор эта возможность остается малоизвестной. Во всяком случае, мы не нашли в Интернете примеров реализации фрактальных построений с помощью «Живой геометрии».

Гипотеза. Использование четвертой версии «Живой геометрии» позволяет моделировать большинство известных фрактальных объектов без необходимости явного программирования. Достаточно умения задавать и реализовывать рекурсивные алгоритмы.

Цели и задачи. В данном проекте мы попытались смоделировать известные фракталы как «ковер Серпинского», «снежинка Кох»,  «дракон Хартера-Хейтеуэя», «папоротник», «дерево» средствами «Живой геометрии».

Результат. Мы убедились, что все известные типы фракталов можно быстро смоделировать в «Живой геометрии», используя функцию «Итерация», а также с помощью других, хорошо известных по предыдущим версиям пакета, функций как «Гомотетия», «Перенос», «Поворот», «Отражение» и «Инструмент пользователя».

Геометрические фракталы — основные понятия

Характерной чертой всех фракталов является их самоподобие. Каждая часть фрактала похожа на его целый образ. Фрактал как-бы состоит из собственных генов, форма которых совпадает с его полным образом. Именно самоподобие фракталов привлекает к себе связью с живой природой. Общеизвестна основная классификация фракталов по трем типам: различают алгебраические, геометрические и стохастические фракталы. В действительности, все фракталы изображают в виде геометрических объектов. Приведенная типология фракталов основывается на трех различных способах их генерации.

Алгебраические фракталы являются результатов итерирования (повторного вычисления) какой-либо функции с двумя переменными, в результате чего из первичных генерируются точки с новыми координатами. Самые экзотические (абстрактные) фракталы Мандельброта и Жюлиа получаются именно таким образом, при этим число итераций (повторений) достигает десятков тысяч. Мы в данном проекте не будем больше говорить об этом классе фракталов.

Следующий самый доступный и популярный класс фракталов — геометрический. Все представители этого класса конструируются по самому простому принципу. Сначала задаётся геометрическая первичная система (как правило из точек) прообраз — инициатор. После чего конструируется вторичный образ — генератор, обычно в виде какого-то алгоритма преобразования прообраза в новый вид. Причем этот алгоритм является одновременно генератором всех следующих «потомков». Эта процедура повторяется (итерируется) для очередного следующего образа («потомка») «родительского» прообраза. Подавляющееся большинство известных геометрических фракталов имеют очень простые прообразы, которые состоят из двух — трех точек. Таковы всевозможные фрактальные дерева, папоротник, которые задаются всего двумя точками, ковер Серпинского и дракон Хартера-Хейтуэя — тремя точками.

Именно это обстоятельство позволяет обратиться к моделированию геометрических фракталов с использованием доступного геометрического пакета «Живая геометрия». К нашему удивлению, в Интернете мы не нашли уже выполненных проектов по моделированию геометрических фракталов с использованием «Живой геометрии», хотя всевозможных программ, написанных на Паскале, Дельфи, Си, Яве, выложено более чем достаточно. Заметим, что рефератов по фрактальной тематике размещено много, но в основном они используют уже готовые примеры без собственного моделирования.

В рамках данного проекта мы попытались продемонстрировать возможности «Живой геометрии» в плане моделирования известных фракталов на уровне 7-9 классов.

Инструментальные функции «Живой геометрии» при построении геометрических фракталов

Большинство начинающих пользователей ограничиваются только «видимыми» функциональными кнопками: «Точка», «Отрезок», «Окружность», которые находятся на левой вертикальной панели. В действительности, достаточно одной функции: «Точка», которая используется для задания первичных объектов, называемых «родителями», все вторичные объекты, являющиеся «потомками», строятся либо с помощью использования кнопки «Построения» верхней горизонтальной панели, либо с помощью всплывающего контекстного меню при щелчке правой кнопки мыши на выделенной точке (или вторичном объекте).

При конструировании фрактальных объектов необходимо различать первичные и вторичные объекты, так как итерируемые объекты можно строить только для выделенных первичных «родительских» точек. Именно с помощью первичных точек задают инициатор фрактала (его прообраз). Заметим, что в данной версии «Живой геометрии» другие возможные первичные «родительские» объекты, такие как отрезки и окружности, не могут итерироваться. Это серьезное ограничение не позволяет создавать шедевры фрактального искусства с помощью итерирования «потомков» - можно итерировать только первичных «родителей». Но даже с такими ограничениями можно в рамках «Живой геометрии» смоделировать все основные известные типы геометрических (неалгебраических) фракталов.

Для создания геометрических фракталов, кроме известных функций кнопки «Построения»: «отрезок», «окружность», «точка на объекте», «пересечение», «параллельная», «перпендикуляр» ещё понадобятся функции следующей справа кнопки инструментальной панели: «Преобразования». Именно с этими функциями связана процедура построения генератора фрактала — образа его первой итерации. Отметим наиболее важные функции кнопки «Преобразования»: «гомототетия», «перенос», «поворот», «отражение» и связанные с этими действиями вспомогательные функции: «отметить центр», «отметить угол», «отметить ось отражения», «отметить вектор», «отметить отношение». Все эти функции дополняет (венчает) новая процедура, появившаяся совсем недавно, «итерации», которая и будет игрть главную роль в дальнейшем.

Фрактал «Дерево Броколли»

Сначала строим вертикальный отрезок, потом его гомотетию с коэффициентом 1:2 переносим на собственный вектор, отмеченный снизу вверх. Затем поворачиваем вокруг отмеченной нижней точки перенесенного отрезка на угол 60 градусов влево и вправо. Чтобы задать процедуру итерации, сначала отмечаем первичные две точки (отрезок при этом не должен быть отмечен!), затем с помощью функции «Итерации» задаем вторичные образы для трех «ветвей». При этом используем дополнительную функцию меню «Итерации»: «Задать новое отображение» (правая кнопка). Необходимое число итераций задаётся с помощью левой кнопки с последующим нажатием «Увеличить глубину итерации».

Фрактал «Снежинка Кох»

Подобно тому, как было сделано в следующем примере, конструируем процедуру итерации для первичного прообраза в виде отрезка (двух точек), задав максимальную глубину итерации. Затем с помощью кнопки «Создать собственный инструмент» левой инструментальной вертикальной панели создаем собственную функцию под названием «Итерация Кох». Теперь создаем новый первичный объект в виде трех вершин равностороннего треугольника. Применив ко всем трем парам выделенных точек собственный инструмент «Итерация Кох», нажав соответствующую кнопку левой инструментальной панели, получим следующую красивую картинку.

Эту конструкция носит имя автора — женщины Хельги Кох, которая придумала её ещё в докомпьютерную эпоху.

Фрактал - «Ковер Серпинского»

Фрактал «Дракон Хартера-Хейтеуэя»

На нижних рисунках мы оставили только результаты последней итерации.

Заметим, что различные варианты драконов получаются путем изменения первичных конфигураций из трех точек.

Фрактал — папоротник

На следующих рисунках показаны результаты последних итераций.

Фрактальное моделирование траектории движения трех улиток

Другим примером фрактального моделирования является траектория движения улиток, преследующих друг друга с постоянными скоростями. Первоначально они находятся в вершинах равностороннего треугольника. АВС Нетрудно сообразить, что через мгновение они будут находиться в точках А1, В1, С1, лежащих на сторонах АВ, ВС, СА, соответственно, на расстояниях, равных пройденному пути в течение мгновения. Получаем новый равносторонний треугольник, являющийся образом исходного, к которому мы может применить предыдущие рассуждения. С помощью «Живой геометрии», используя функцию преобразования «Итерации», получаем своеобразные спиральные траектории движения улиток.

                                                Заключение
     В работе кратко изложены сведения о фракталах, истории их возникновения и рассмотрены примеры построения известных фракталов: «ковер Серпинского», «снежинка Кох»,  «дракон Хартера-Хейтеуэя», «папоротник», «дерево» средствами «Живой геометрии». Мы ещё раз убедились в том, что исследования в «Живой геометрии» интересны и увлекательны. Думаем, что результаты нашей работы будут полезны и другим учащимся.

        Литература

1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство.

     Журнал «Математика в школе» № 4.2005 с. 76-80

2. Попов К.А. Векторы, фракталы и компьютерное моделирование.

     Журнал «Математика в школе» № 8.2006 с. 56-61

3. Мандельброт Б.Б. «Фрактальная геометрия природы». (http://www.koob.ru/mandelbrot/fraktalmznaya_geometriya_prirodue)
4. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: Пер. с англ. – М.: Мир, 1993. – 176 с., ил.