Проценты. Методы решения задач на концентрацию, смеси и сплавы

Тема: «Проценты. Методы решения задач на концентрацию, смеси и сплавы»

        Автор: Кудряшов Данил

учащийся 7 класса

ГБОУ СОШ  №2 п.г.т. Усть – Кинельский

г.о. Кинель Самарской области

Научный руководитель:         Старостина Ольга Евгеньевна

                                        учитель математики

п.г.т. Усть – Кинельский, 2016

Оглавление

Введение

Слово «проценты» сопровождает человека на протяжении всей жизни. Когда человек рождается, мы говорим о проценте рождаемости. В школе изучение темы «Проценты» и решение задач на проценты начинается в 5-ом классе, затем решение задач на проценты продолжается  в 6-ом класса,  в курсе алгебры основной и средней  школы; кроме этого задачи на эту тему решаются на уроках физики, химии, экономики и других учебных дисциплин. В средствах массовой информации  используется термин «проценты»: в Самарском  регионе по состоянию на начало 2014 года проживало 3211,2 тыс.человек, что составляет 2,2% населения России и 10,8% населения Приволжского федерального округа; Самарская область – многонациональный регион с преобладанием русского населения – 85,6% от общей численности населения, татары – 4,1%, чуваши - 2,7%, мордва – 2,1% .[4 ]

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Когда мы приходим в магазин, на прилавках мы видим продукцию со знаком « %»: цельное молоко содержит около 3,5%  жира,на этикетках, прикрепленных к сырным кругам и головкам, обычно указывается жирность сыра в процентах, скажем, 40%, 50% и т. д. Политика, экономика, происшествия, культура, спорт, медицина  не могут обойтись без понятия «процент» .[3].

Актуальность.

В повседневной жизни человека, во всех областях его деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерии, ни в финансовом деле, ни в статистике. Задачи на проценты применяются не только в математике, но и в химии, физике, технике и других точных науках.

Цель:выяснить, какую роль играют проценты в нашей жизни, изучить методы решения задач на смеси, сплавы и растворы.

Задачи:

• познакомиться с историей возникновения процентов;
• самостоятельно повысить уровень математической подготовки;
• провести сравнительный анализ умений  учащихся нашей школы  решать задачи на проценты в классах химико-биологического направления и математических классах;
• проанализировать полученные результаты

Объект исследования: задачи на смеси, сплавы и растворы

Предмет исследования: различные возможные способы решения задач на процентное содержание и концентрацию.

 Гипотеза: проценты используются в современной жизни, поэтому изучение их в школе необходимо.

Теоретическая значимость работы заключается в сборе, систематизации и обобщении знаний, методов решения задач на проценты.

Практическая значимость работы состоит в том, что она может быть использована школьниками для повышения образовательного уровня при  изучении тем по математике и химии.

1.1 Что такое процент

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Как решать задачи на проценты? Единственно, что нужно запомнить – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще. Один процент – это одна сотая часть какого-то числа  [1, с. 236] Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости.  Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей зарплаты. То есть вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, то есть 13 сотых от зарплаты. Надпись «60 %» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, то есть более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

1.2 История возникновения процентов

Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, то есть пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам. В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то есть сложные проценты, как называют их в наше время.

           В тексте знак процента используется только при числах в цифровой форме, от которых при наборе отделяется неразрывным пробелом (доход 67 %), кроме случаев, когда знак процента используется для сокращённой записи сложных слов, образованных при помощи числительного и прилагательного процентный. Например: 20%сметана (означает двадцатипроцентная сметана), 10%-й раствор, 20%-му раствору, но жирность сметаны составляет 20 %, раствор концентрацией 10 %.Это правило набора введено в действие в1982 году  нормативным документом ГОСТ 8.417-81  (впоследствии заменённым на ГОСТ 8.417-2002) ранее нормой было не отделять знак процента пробелом от предшествующей цифры.[ 3]

1.3 Обозначение

Само слово «процент»    происходит от латинского «procentum», что означает в переводе «сотая доля». В Европе их ввел  бельгийский ученый Симон Стевин- (Рис. 1) инженер из города Брюгге, что находится в Нидерландах. В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов.

 Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матьеде ла Порта.В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского promille – «с тысячи»),  Обозначаемые, по аналогии процентов« ‰».Количество нулей в обозначении (3 нуля) соответствует количеству нулей в числе 1000.[ 5]

1‰ = 0,001 = 0,1%

Есть некоторые величины (доли), традиционно измеряемые в промилле. Например, фраза «солёность воды составляет 11 ‰ (одиннадцать промилле)», это то же самое, что и 1,1 %. Уровень содержания алкоголя в крови человека также часто выражается в промилле.

В связи с тем, что уклон железнодорожного пути сравнительно невелик, его также принято исчислять в промилле

Пропромилле - одна миллионная часть, обозначается тремя латинскими буквами - ppm, читается как «пи-пи-эм».              

  1ppm=0,000001=0,0001%
Пропромилле - единица измерения концентрации и других относительных величин, аналогична по смыслу проценту или промилле. Широко применяется в медицине, демографии, биологии и других областях.[5]

Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.
Даже счастье, оказывается, можно измерить в процентах. Это удалось социологам  ВЦИОМ (Всероссийский центр изучения общественного мнения). Итоги опросов за последние 15 лет показали: россияне чувствуют себя сейчас намного более счастливыми, чем в 90-е годы. Индекс счастья в России за 2014 год снизился на 8% — с 32% до 24%, однако несчастливых россиян больше не стало. Изменения российского показателя индекса обусловлено переходом части счастливых людей в стан равнодушных. Несчастливым себя ощущает каждый десятый житель страны (10%). А более половины россиян (52%) не могут определенно ответить, счастливы они или нет. Таким образом, Россия оказалась ближе к концу общемирового рейтинга счастья. Международный индекс счастья (англ. HappyPlanetIndex) — представляет собой индекс, отражающий благосостояние людей и состояние окружающей среды в разных странах мира.[6]

4.  Типы задач на проценты

Мир задач на проценты бесконечен, эти задачи интересны, увлекательны, развивают логику, сообразительность, побуждают учащихся мыслить. Задач на проценты существует несколько типов.                            

Рассмотрим три основных типа:                                                                      Нахождение процента от числа. Чтобы найти процент от числа, надо проценты перевести в дробь  и данное число умножить  на полученную дробь.

Задача1.Олимпийский стадион « Фишт», на арене которого проходили церемонии открытия и закрытия олимпиады 2014 года, вмещает  40 тыс. зрителей. «Адлер-Арена» (конькобежный спорт) вмещает 20% количества зрителей стадиона « Фишт». Сколько зрителей вмещает «Адлер-Арена»? [11]

Решение: 20% = 0,2; 40·0,2 = 8(тыс. зрителей)

Ответ. 8тыс. зрителей

Нахождение числа по его проценту. Чтобы найти число по данному значению его процентов, надо проценты перевести в дробь  и данное число разделить на полученную дробь.

Задача2.  Кёрлингового центр «Ледяной куб» вмещает  3 тыс. зрителей это составляет 25% количества зрителей Дворца зимнего спорта «Айсберг» (фигурное катание). Сколько зрителей вмещает Дворец спорта «Айсберг»?   ( Рис.2)

Решение: 25% =  ;

3:  = 12 (тыс. зрителей).

Ответ. 12 тыс. зрителей.

Нахождение процентного отношения двух чисел. Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число  разделить на второе и результат умножить на 100%.

Задача 3.  В 7 «Б» классе 28 человек. Второй триместр окончили на «4» и «5» 18 человек. Какова качественная успеваемость учащихся 6 «Б»?

Решение. Качественная успеваемость - сколько процентов составляет 18 от 28.                     ·100% = 64%

Ответ: 64%

Начисление сложных процентов. Начисление процентов на проценты.

Задача 4. Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%.                            Какова была окончательная цена тетрадки?[9]                                                                                                       Решение. Проценты всегда считаются от чего-то. На сколько рублей продавец поднял цену? 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей. А теперь нам надо снизить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей. Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:                                      

   45 – 6,75 = 38,25 рубля.

  Проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. Ответ.38,25 рубля.

2  Задачи на концентрацию, смеси и сплавы

Я обучаюсь в классе с углубленным изучением химии. На уроках химии нам часто приходится смешивать различные жидкости, порошки,  вещества, или разбавлять что-либо водой. Задачи на смеси,  сплавы и растворы вызывают трудности, поэтому я захотел рассмотреть сущность каждого метода решения задач на смеси, сплавы и растворы, исследовать и овладеть различными способами решения.

Рассмотрим  некоторые методы решения задач на смешивание растворов:

1. Старинный метод решения задач или «метод креста»

Изучая литературу на тему «Проценты» я познакомился со старинный метод решения задач или «метод креста». [10]Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого. Леонтий Филлипович Магницкий (1669 – 1739гг)  русский математик, педагог, автор первого в России учебного справочника по математике.

«Правилом креста» называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами. Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов. На пересечении отрезков – заданная, а справа на их концах записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают, в каком отношении надо слить исходные растворы.

Задача 5.У некоторого человека были продажные масла: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла стоимостью 7 гривен?

Решение. Приводим  старинный  способ  решения  этой  задачи. Друг под другом пишутся стоимости имеющихся масел, слева от них и примерно посередине — стоимость масла, которое должно получиться после смешения. Соединим написанные числа черточками.   

Меньшую цену вычтем из цены смешанного масла и результат поставим справа от большей цены. Затем из большей цены вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от меньшей цены. Получится такая картина:написанные числа черточками, получим такую картину:

Делается заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, то есть для получения 1 ведра масла ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла ¼ ведра, а дешевого ¾ ведра. [10 ]

Задача 6. Имеется два раствора. Первый содержит 10% соли, второй — 30% соли. Из этих двух растворов получили третий раствор массой 200 г, содержащий 25% соли. На сколько граммов масса первого раствора меньше массы второго?  

 Решение. Друг под другом пишутся процентные содержания первого и второго раствора, слева от них и примерно посередине – процентное содержание третьего раствора. Рассмотрим пары 25 и 10; 25 и 30. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей стрелочки. Получится такая схема: ( Рис. 5)

Из нее делается заключение, что 10%-ного раствора следует взять 5 частей, а 30%-ного – 15 частей.  200:(15 + 5) = 10 г приходится на одну часть.

Таким образом, для получения 200 г 25%-ного раствора нужно взять 10%-ного раствора 5·10  = 50 г, а 30%-ного – 10·15 = 150 г. Первого раствора надо взять на 150 – 50 = 100 г меньше массы второго.

Ответ: на 100 г.

2.2 Алгебраический метод

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, составленных по условию задачи. При решении задач удобно составлять  таблицу, которая помогает зрительно воспринимать задачу.

Задача 7. Смешали 200 г раствора серной кислоты с массовой долей 20% и 300г раствора серной кислоты с  массовой долей 40%. Какова массовая доля соли  в полученном растворе? [2, с.66]

Решение. Пусть массовая доля соли в полученном растворе равна х%.

Составим  таблицу.

Сумма масс серной кислоты двух первых растворах (то есть в первых двух строчках) равна массе серной кислоты в полученном  растворе (третья строка таблицы). Решив это уравнение, получаем х=32. Это означает, массовая доля соли  в полученном растворе равна 32  %.  

Ответ: 32 %

2.3 Решение задач на концентрацию с помощью пропорции

Слово «пропорция» латинского происхождения «proportio», означающее вообще соразмерность, определённое соотношение частей между собой. В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифогорейцев.
Пропорциями пользовались для решения разных задач и в древности, и в средние века и сейчас. Пропорции применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве. Заслуженное место заняла теория пропорций при решении задач на проценты.

Алгоритм решения задач.

Внимательно читаем условие задачи. Составление пропорции. Решение пропорции. Ответ задачи

Задача 8. Какова масса кальция, содержащегося в 820 г раствора нитрата кальция с массовой долей 4 %.[2, с.56]

Пусть масса кальция равна хг. Составим пропорцию.

х =  = 32,8. Итак, масса кальция равна 32,8 г.

Ответ: 32,8 г.

2.4 Диагностика по определению уровней обученности учащихся 7 «Б», 6 «В»  , 9 «А» и 9 «Б»  классов по решению задач на концентрацию, смеси и сплавы

Мы предложили   учащимся 7 «Б» , 6 «В»  , 9 «А» и 9 «Б»  классов решить по 5 задач на концентрацию, смеси и сплавы. (Приложение 1). 7 «Б» изучает курс «Введение в естествознание» с 5 класса, 9 «А» изучает химию с 7 класса. Результаты мониторинга представлены на диаграмме (Приложение 2)

По результатам исследования можно сделать вывод: учащиеся, которые изучают химию начиная с  5   класса лучше решают задачи и по математике, и по химии.  В процессе выполнения работы мы узнали много нового, думаем, что проделали очень полезную работу для себя и это пригодится в учебе.

Заключение

Задачи на смеси и сплавы, включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.  При решении задач данного типа очевидны межпредметные связи математики  с  химией. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Данная работа может быть использована школьниками для повышения образовательного уровня при  изучении тем по математике и химии.

Библиография

1. Математика. 5 класс: учеб.для общеобразовательных учреждений/ Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов. А.С.Чесноков, - М.Мнемозина,2014.
2. А.А. Каверина, Д.Ю. Добротин. ЕГЭ 2013: Химия.  Самое полное издание типовых вариантов заданий. - Москва: Астрель, 2013. - 190              
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Процент
4. http://tvsh2004.narod.ru/out_unit_meas.htm
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Промилле
6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Международный_индекс_счастья
7. itaught.pilipok.ru/node/174
8. reshuege.ru «РЕШУ ЕГЭ»: математика.
9. znanija.com›task/12233474
10. himik.pro›First›Правило креста
11. rg.ru›2014/02/03/stadioni-site.html

Приложение 1.

Задания мониторинга.

1. Сколько соли получится при выпаривании 375 граммов 12%-го раствора?
2. Первый сплав, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй сплав, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?
3. Как определить, не пробуя на вкус, какой из сахарных растворов слаще, если в первом на 60 г воды 15 г сахара, а во втором на 120 г воды 60 г сахара?
4. Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
5. Смешали 300 г раствора с массовой долей соли 20% и 500г раствора с массовой долей 40%. Какова  концентрация соли в полученном растворе .

Приложение 2.

Диагностика по определению уровней обученности  учащихся 7«Б» 7«В», 9  классов по решению задач  на концентрацию, смеси и сплавы

7«Б» класс

7 «В»

Приложение 2(продолжение)

9 «А» класс

9 «Б» класс