Презентация к реферату по теме: "Построение сечений многогранников"
В данной работе рассмотрены не только основные методы и приёмы построения сечений, но и некоторые задачи ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 postroenie_secheniy_v_mnogogrannikah.pptx | 709.58 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Практическая значимость данного материала Уровень производства, научно-технический прогресс предъявляют к современному специалисту среднего звена высокие требования. Для специалиста – техника важно составлять грамотно техническую документацию, а для этого нужны знания. Решая задачи на построение секущих плоскостей на различных геометрических телах, мы учимся определять линии пересечения плоскостей, что несомненно пригодится при построении чертежей разрезов деталей.
Методы построения сечений Аксиоматический метод . Метод внутреннего проектирования Комбинированный метод.
Аксиоматический метод построения сечений Метод следа Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани Построение сечения многогранника методом следов обычно начинают с построения, так называемого, основного следа секущей плоскости, т. е. следа секущей плоскости на плоскость основания многогранника.
Аксиоматический метод построения сечений Метод следа Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F Чтобы построить след, достаточно знать две его точки, т. е. точки, лежащие одновременно в секущей плоскости и плоскости рассматриваемой грани.
Аксиоматический метод построения сечений Метод внутреннего проектирования Этот метод удобен при построении сечений в тех случаях, когда почему-либо неудобно находить след секущей плоскости, например, след получается очень далеко от заданной фигуры
Аксиоматический метод построения сечений Комбинированный метод Комбинированный метод построения сечений многогранников заключается в том, что при построении этим методом на каких-то этапах построения сечения применяются приёмы метода следа, а на каких-то применяются теоремы о параллельности прямых и плоскостей в пространстве.
Правила построения сечений методом следа Если даны (или уже построены) две точки плоскости сечения на одной грани многогранника, то след сечения этой плоскости – прямая, проходящая через эти точки. Если дана (или уже построена) прямая пересечения плоскости сечения с основанием многогранника (след на основании) и есть точка, принадлежащая определённой боковой грани, то нужно определить точку пересечения данного следа с этой боковой гранью (точка пересечения данного следа с общей прямой основания и данной боковой грани) Точку пересечения плоскости сечения с основанием можно определить, как точку пересечения какой-либо прямой в плоскости сечения с её проекцией на плоскость основания.
Алгоритм построения сечений Определить вид данной фигуры Проанализировать данные: Если даны 3 точки, то где они находятся . Есть ли пара точек, лежащих в одной грани данной фигуры . Лежит ли третья точка в плоскости какой-то грани или в её продолжении, а может она лежит в пространстве. Если даны точка и прямая линия или две прямые, то где они находятся, что я знаю о них. Если нет по условию двух точек, лежащих в плоскости одной грани многогранника или одна из трёх точек находится внутри фигуры или же снаружи, находясь в пространстве, то поступать надо так: Сначала надо построить вспомогательную плоскость, которая пересекала бы основание данной фигуры или его продолжение, которая в свою очередь будет пересекать какие-то стороны основания или их продолжение.
Проверка правильности построенного сечения Построенное сечение выпуклого многогранника всегда выпуклый многоугольник. Вершины сечения всегда лежат на соответствующих рёбрах данного многогранника. Точки, лежащие на гранях многогранника, обязательно должны лежать на сторонах многоугольника, полученного в сечении. Две стороны многоугольника, получившегося в сечении, не могут принадлежать одной грани данного многогранника. Если сечение пересекает параллельные грани у многогранника, то и соответствующие этим граням стороны построенного сечения должны быть параллельны .
Задача №1 Построить сечение пирамиды NABCD плоскостью, проходящей через точку М, принадлежащую ребру NB , точку Р, принадлежащую ребру NA и точку К, принадлежащую плоскости, на которой стоит пирамида . В плоскости ( NAB ) лежат точки P и M , значит след c екущей плоскости проходит по ( PM ) ( PM ) ( AB ) = F α Т. К. точка К α , то след секущей плоскости проходит по ( FK ) ( FK ) ( AD ) = E , ( FK ) ( DC ) = R
Окончание решения задачи №1 След секущей плоскости с основанием будет ER ( FK ) ( BC ) = T ( MT ) ( N С) = Q Т. к. P и Е ( AND ), то проводим ( PE ) ( PMQRE ) - искомое сечение.
Задача №2 (Комбинированный метод) Среди заданных точек нет двух, лежащих в одной грани куба. Построить сечение куба М NKRM 1 N 1 K 1 R 1 плоскостью, проходящей через точки A , B , C . Т. к. по условию задачи, нет двух данных точек, лежащих в одной грани куба, то необходимо построить вспомогательную плоскость. Этой вспомогательной плоскость будет плоскость, проходящая через точки A и C и их проекции на основание MNKR , это будут точки А1 и K Проводим плоскость через точки А и С и их проекции А1 и K AC A 1 K в точке D ( М NKR )
Задача №2 (Комбинированный метод) Среди заданных точек нет двух, лежащих в одной грани куба. Построить сечение куба М NKRM 1 N 1 K 1 R 1 плоскостью, проходящей через точки A , B , C . Проводим плоскость через точки А и С и их проекции А1 и K AC A 1 K в точке D ( М NKR ) BD MN = F BD KR = E (ABC) (М NKR) = FE (ABC) ( MNN1M1) = AF (ABC) (RR1KK1) = CE
Окончание решения задачи №2 (ABC) (M1N1K1R1) = AT FE (ABC) ( NN1KK1) = TC (ATCEF) - искомое сечение Рассмотренная задача служит примером комбинированного метода построения сечения, т. к. в пункте 8 проводится АТ параллельно F Е, потому что грань ( M 1 N 1 K 1 R 1) параллельна грани ( MNKR ), а по теореме: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью ( секущая плоскость) , то линии пересечения будут параллельны.
Задача №1 В правильной пирамиде SABC с основанием ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC . Площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B , равна Найдите сторону основания. Решение : Ответ : 10. Сечения в задачах ЕГЭ (Задание №14).
Задача №2 В правильной четырехугольной пирамиде PABCD , все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP . а ) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC . б ) Найдите площадь сечения. Решение. В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L , а в плоскости ABC через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с прямой СD в точке M . По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC . Прямая LM параллельна прямой AD , следовательно, она параллельна плоскости APD , а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM . Обозначим через N точку пересечения этой прямой с ребром PD . Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN . б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP , а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD , следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда и из прямоугольного треугольника KLF находим Окончательно получаем Ответ:
Задача №2 В правильной четырехугольной пирамиде PABCD , все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP . а ) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC . б ) Найдите площадь сечения. Решение. а) С ечение ― трапеция KLMN . б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP , а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD , следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда и из прямоугольного треугольника KLF находим Окончательно получаем Ответ:
Задача №3 В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной стороны основания равны а боковые ребра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку и середину ребра параллельно прямой Решение. Пусть точка E — середина ребра MD. Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке P. В треугольнике MBD точка Р является точкой пересечения медиан, следовательно, MP : РО = 2 : 1, где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MA, G — ребру MC ), откуда Четырёхугольник BFEG — искомое сечение. Отрезок BE — медиана треугольника MBD, значит , Поскольку прямая BD перпендикулярна плоскости MAC, диагонали BE и FG четырёхугольника BFEG перпендикулярны, следовательно, Ответ :
Задача №6 Решение: APFDCM – усечённая пирамида, её объём вычисляется по формуле: V = 1/3* H *(SB+ S н + , где Н=А D =4, SB =1/2*1*3=1,5 , а S н=1/2*2*6 = 6, значит объём усечённой пирамиды будет: V =1/3*4*(1,5 + 6 + = 1/3*4*(7,5 +3)= 1/3*4*10,5 = 4*3,5 = 14, а т. к. объём всего параллелепипеда будет: 6*4*7=168, то объём части параллелепипеда над ( MPC ) будет: 168 – 14 = 154, следовательно, ( MPC ) делит объём параллелепипеда : 14 / 154 = 1 / 11, что и требовалось доказать. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 АВ =6, ВС =4, АА 1=7. Точка Р – середина ребра АВ , точка М лежит на ребре DD 1 так, что DM : D 1 M =2:5. Докажите, что плоскость МРС делит объем параллелепипеда в отношении 1:11
Построение сечения сложного многогранника (комбинированный метод). Задача : Прямоугольный параллелепипед стоит на кубе так, что противоположные боковые грани параллелепипеда и куба соответственно параллельны. Построить в образовавшейся фигуре сечение, проходящее через точки M , N , P . Построенное сечение в данной фигуре наглядно показывает, что сечение невыпуклого многогранника будет невыпуклый многоугольник, а параллельные грани многогранника секущая плоскость пересекает по параллельным прямым.
Анкетирование одноклассников Из проведённой мною анкеты видно, что тема «Построение сечений многогранников» необходима, для того, чтобы знать внутреннюю структуру предмета, кроме того ребят заинтересовал вопрос об использовании многогранников( ведь все семь чудес света построены на основе многогранников). Хотелось бы ещё отметить тот факт, что одноклассники забыли факты, определяющие секущую плоскость.
Заключение Проведя исследование построения сечения методом следов, я установил, что метод следов легко объясним, нагляден, но не всегда удобен в практике построения сечений многогранников, так как расположение точек Х и У следа s может быть за рамками чертежа, прямые, определяющие точку Х (или Y ) могут быть параллельны. В тех случаях, когда применение метода следа затруднено, применяют метод внутреннего проецирования или так называемый метод вспомогательных сечений или комбинированный метод. Знание методов построения сечений, способов нахождения точек и линий пересечения секущих плоскостей с различными геометрическими объектами поможет в будущем и при изучении общепрофессиональных дисциплин , и при работе инженера, что очень важно для любого конкурентоспособного специалиста , что бы выяснить внутреннее строение предмета.
Спасибо за в нимание!
Зимовье зверей
Астрономический календарь. Октябрь, 2018
Спасибо тебе, дедушка!
Мастер-класс "Корзиночка"
За еду птицы готовы собирать мусор