Исследование

Министерство образования Республики Башкортостан

Отдел образования Администрации муниципального района

Янаульский район Республики Башкортостан

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа им.Р.Гареева  г. Янаул

муниципального района Янаульский район Республики Башкортостан

Исследовательская работа.

Приемы устного счета:

гениальность или метод?

номинация: математика

                                                Выполнила:   Жукова Дарья Максимовна,                                                                          

                                                г.Янаул, улица Куйбышева, 27    

                                                Руководитель:Шарафисламова Гузель    

        Фанзиловна, учитель математики, 89177674479

Содержание

Введение____________________________________________________________3

Устный счет  ________________________________________________________4

Теоретическая часть      _______________________________________________5

1. Способы быстрого сложения чисел.
2. Способы быстрого вычитания чисел
3. Способы быстрого умножения чисел
4. Способы быстрого деления чисел

Практическая часть__________________________________________________10

Заключение_________________________________________________________12

Используемая литература_____________________________________________13

Приложение________________________________________________________14

Введение

В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники,  разговор об устном счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.  Тема моей  исследовательской работы  «Приемы устного счета: гениальность или метод?». Мы выбрали  ее, т.к. считаем, что умение быстро устно считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.  В данной работе мы рассмотрим некоторые способы быстрых вычислений, которые могут пригодиться на уроках математики в школе и не только.  Структура работы:  Введение. Теоретическая часть, которая включает в себя основные приемы быстрого устного счета, сведения о людях, обладающих феноменальными способностями в области устного счета и подбора задач на эту тему. Практическая часть, которая демонстрирует эксперимент по изучению приемов устного счета.  Заключение.  Использованная литература.  Приложение.

Исходя из выше сказанного, целями исследования является: найти методы быстрого устного счета;  диагностика уровня развития вычислительных навыков с использованием приемов быстрого счета;  доказать результативность использования различных видов устного счета для повышения познавательного интереса к урокам математики.

Задачи исследования: изучение способов быстрого устного счета;  подбор материалов для тренинга;   проведение диагностики, изучение результатов исследования;  сделать выводы, по использованию данных видов устных упражнений. Объекты исследования:  обучающиеся 5 «б» класс;  сведения о людях, которые имеют феноменальные способности быстрого счета (см. Приложение «О феноменальных способностях людей-счетчиков»).

Гипотеза исследования: повышение познавательного интереса к урокам математики в школе может быть достигнуто, если в обучение будут включены систематически проводящиеся разнообразные виды устных упражнений.

Методы:  анализ литературы; наблюдение; диагностика; сравнительный анализ.

Устный счет.

Знаете ли вы, что устный счёт по математике – один из самых действенных приёмов на развитие интеллектуальных способностей? Мы с детства привыкли ассоциировать умение считать в уме и оперировать с цифрами с интеллектом.    Недаром же некоторые говорят, что «Математика – царица наук». Можно сколь угодно долго быть в плену заблуждений, что современному человеку не надо уметь считать в уме, уметь запоминать цифры и так далее. Но факт есть факт: «калькуляторное» поколение школьников и студентов, по мнению многих преподавателей (пишущий эти строки – в их числе) заметно уступает по скорости соображения и здравомыслию (в плане решения задач) своим товарищам, практикующих устный счёт. И это неудивительно. Математика заставляет не только держать в уме несколько чисел (тренировка памяти), но и что-то с этими числами делать. И чем быстрее – тем лучше. В результате идет тренировка внимания, и скорость мышления, и продуктивность…. Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без специальных девайсов и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Помимо утилитарного назначения, приемы устного счета позволят вам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже ваших интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих «гуманитариев».          Есть люди, которые умеют совершать несложные арифметические операции в уме. Умножить двузначное число на однозначное, умножать в пределах 20, перемножить два небольших двузначных числа и т.д. – все эти действия они могут производить в уме и достаточно быстро, быстрее среднего человека. Часто этот навык оправдан необходимостью постоянного практического использования. Как правило, люди, которые хорошо считают в уме, имеют математическое образование или, по крайней мере, опыт решения многочисленных арифметических задач.   Несомненно, опыт и тренировка играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые в отличие от вышеописанных, способны считать в уме гораздо более сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать сложные арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать.   Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить три основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

Ну что, посчитаем?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

• Способы быстрого сложения чисел.

5. Поразрядное сложение чисел.

К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших  (сотни, десятки и т.д.):

18+35+29+84=(10+30+20+80)+(8+5+9+4)=140+26=166.

Прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших.  К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого:     96+47=(96+40)+7=136+7=143,

                       8375+473=((8375+400)+70)+3=(8775+70)+3=8845+3=8848.

6. Сложение путем округления.   Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

3916+991+1998=(4000+1000+2000)–(84+9+2)=7000–95=6905.

7. Сложение с использованием свойств действий с числами. Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:

12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.

Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом: 549+94=549+(100–6)=549+100–6=643.

Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:  504+497=500+4+500–3=1001.

• Способы быстрого вычитания чисел

1. Поразрядное вычитание  574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.

Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:   647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

2. Вычитание с использованием свойств действий с числами

 (973+747)-873=(973-873)+747=100+747=847;

1093-(1494-907)=(1093+907)-1494=2000-1494=506.

3. Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого    67-48=(67+1)-48-1=(68-48)-1=20-1=19;

                            453-316=453–(313+3)=(453-313)-3=140-3=137.

4. Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих.  Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:        824-396=824–(400-4)=(824-400)+4=424+4=428;

                              395–98=(400–5)–(100–2)=400–100–5+2=297.

• Способы быстрого умножения чисел

1. Умножение на 4, 8,16 и т.д. Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:  213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704.
2. Умножение на 5, 50.   Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:      138*5=(138*10):2=1380:2=690.
3. Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:           87*50=(87*100):2=4350.
4. Умножение на 25.  Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:     348*25=348*100:4=8700.
5. Умножение на 125.  Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:  32*125=32:8*1000=4000.
6. Умножение  на 15. Чтобы умножить число на 15, нужно  исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935.

7. Умножение на 11.

1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число:    241*11=2410+241=2651.

2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и  в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если  эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:    34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,

68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.

8. Умножение двузначного числа на 101 и на 10101.   Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды: 57*101=5757,          89*10101=898989.
9. Умножение на 9, 99 и 999.  К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:

286*9=2860–286=2574,   23*99=2300–23=2277,   18*999=18000–18=17982.

10. Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности      8*318=8*(300+10+8)=2400+80+64=2544,

                                        7*196=7*(200-4)=1400–28=1372.

• Способы быстрого деления чисел

1. Последовательное деление. Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:

720:45=(720:9):5=80:5=16,             9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.

2. Деление на 5, 50 и 500.   Чтобы число разделить на  5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100 или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:    21600:50=21600:100*2=432,  42400:5=42400:10*2=8480,

214000:500=214000:1000*2=428,

3. Деление на 25. Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:  12100:25=12100:100*4=484.

БЕЗ КАРАНДАША И БУМАГИ

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математики. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трехлетнем возрасте он удивлял своего отца. Однажды в школе, Гауссу в то время было 10 лет, учитель предложил классу перечислить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ 1+2+3+…..+97+98+99+100=101*50=5050. Как он складывал числа от 1 до 100?

Группируем (1+100)+(2+99)+….=50 пар по 101, а сумма S=101*50. На олимпиадах такие задачи предлагаются  очень часто. Рассмотрим некоторые из них.

Задание 1. Найдите сумму 1+2+3+….+111, решаем аналогично.  Ответ: (112*111):2=6216.

Задание 2. Определите пропущенные числа и найдите их сумму. 1+3+5+7+…+77 - это ряд нечетных чисел. Если решать как Гаусс, то решение такое: ((1+77) *39):2=1521. Данная задача имеет более интересное решение: квадрат числа 1=1;

квадрат числа 2=1+3; квадрат числа 3=1+3+5; квадрат числа 4=1+3+5+7. Такое открытие было сделано шестилетним Колмогоровым, выдающимся советским математиком - академиком.  Таким образом, 1+3+5+7+….+(2n-1)= n2, в нашей задаче n=39, значит 1+3+5+7+…+77= 392 =1521.

Задание 3.  Как быстро и просто вычислить значение выражения  39-37+35-33+31-29+27-25+…7-5+3-1=(39-37)+(35-33)+…=(2*40):4=2*10=20, (речь идет о парах нечетных чисел).

Задание 4.  Сосчитайте: 1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.

Здесь интересны суммы (2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…(2002-2003-2004+2005)-каждая сумма равна 0.

Ответ:  1+501*0=1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.  Диагностика вычислительных навыков.

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью  приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

Объект исследования: 5 б  класс МБОУ СОШ им.Р.Гареева.

Время проведения: октябрь-декабрь.

Этапы исследования:

1. Изучить известные способы быстрого устного счета;
2. Подобрать материал для тренинга;
3. Провести диагностику;
4. Подвести результаты исследования.

Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, состоящих из 24 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение, которые нужно было выполнить за 5 минут (см. Приложение «Материал для тренинга»). Диагностика проводилась в несколько этапов:

1. Проверка имеющихся навыков устного счета;
2. Изучение способов сложения и вычитания;
3. Ознакомление с новыми приемами умножения;
4. Изучение способов деления.
5. Обработка результатов показала:

На «нулевом» этапе (октябрь) учащиеся 5б класса показали: письменно решено – 37,5%, устно – 12,5%, не решено – 50%. После изучения способов сложения и вычитания, во втором контрольном замере (вторая неделя ноября), учащиеся снизили процент не решенных заданий, что составило – 29,2%, письменно решили – 50%, а устно – 20,8%.   После изучения способов умножения (четвертая неделя ноября), из 24 заданий было решено письменно – 45,8%, устно – 37,5%, что улучшило результат на 16,7%, не решено – 16,7%.

После изучения способов деления, в четвертом контрольном замере техники счета (декабрь ), из 24 заданий было решено письменно – 25%, причем устно –  уже 54,2% (↑33,4), нерешено – 20,8%.    В декабре заметен рост не решенных заданий. Это можно связать с тем, что навык счета, был частично утерян, т.к. обучающиеся класса, на осенних каникулах не тренировались в устном счете.  В  конце декабря, на пятом контрольном замере, учащиеся улучшили свои показатели: теперь самый большой процент решенных заданий приходится на сделанные устно – 70,8%, на втором месте задания, сделанные письменно – 16,7%, сократились так же неправильно решенные задания до 12,5%.

Ниже рассмотрим  диаграмму, из которой видно, что от замера к замеру  количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно. На примере 5«б» класса, уверенно прослеживается динамика развития вычислительных навыков приемов устного быстрого счета.

Рис.1. Динамика развития вычислительных навыков обучающихся 5б класса

Таким образом, принимаем гипотезу о том, что можно улучшить вычислительные навыки с помощью приемов быстрого счета. Из выше рассмотренного следует, что вычислительные навыки надо развивать, и, что развить их может каждый человек, независимо от его феноменальных математических способностей, хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана в магазине или на рынке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимым условием успешной работы, так или иначе связанной с вычислениями, является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности.

В следующем году мы продолжим практическую часть нашей работы на примере обучающихся  уже 6-х классов, обучив их приемам быстрого счета  и  который будет дополнен быстрым возведением в квадрат, куб числа. Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов.

В заключение подчеркнем, что устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться, а поиски и обоснование новых приемов служат формированию логических умений. Вот так простые устные упражнения на каждом уроке могут развить каждого из нас. Нужно только стараться и усердно работать!

Список используемой литературы

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 2001. – 287 с.: ил.
2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки/ Под редакцией М.К. Потапова, текстол. Обработка Ю.В. Нестеренко. – 4-е изд. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1999, 192 с.
3. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. - 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988. – 160 с.: ил.
4. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
5. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1997.
6. Ткачева М.В. Домашняя математика. - М., Просвещение,1999.
7. Зайкин М.Н. Математический тренинг. - Москва, 1996.
8. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
9. Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к математике. //Математика в школе. -  1990, №11.– с.39-44.
10. Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Начальная школа. – 1990, №6. -  с.44-46.
11. Липатникова Н.Г. Роль устных упражнений на уроках математики. // Начальная школа. -  1998, №2. - с.34-38.

ПРИЛОЖЕНИЕ

«О ФЕНОМЕНАЛЬНЫХ СПОСОБНОСТЯХ ЛЮДЕЙ-СЧЕТЧИКОВ»

Иногда встречаются лица с феноменальной способностью производить в уме математические действия буквально с астрономическими числами, рассчитывать день недели любого, сколь угодного далекого года, запоминать в прямой и обратной последовательности большое количество слов и цифр. В соответствующей обстановке это производит сильное эмоциональное воздействие на зрителей. Очевидцы рассказывают, что И.В.Курчатов – научный руководитель проекта по созданию первого советского атомного оружия – легко обходился без таблицы десятичных логарифмов, поскольку многие значения из нее помнил на память. Шахматисты высокого уровня довольно успешно играют вслепую на многих досках одновременно. Этим отличался, в частности, известный любителям шахмат знаменитый гроссмейстер М. Таль. Здесь имеет место благоприятное сочетание прирожденных особенностей мозга с длительной тренировкой.

Принципиально важно, что, несмотря на внешне трюковое проявление, реальность феномена быстрого счета оценивается по абсолютным показателям, проверка обмана достигается объективными приемами, а сами счетчики для демонстрации своих способностей, как правило, не предъявляют требований к созданию каких-то особых условий, кроме, пожалуй, тишины.

Ни одна из возможностей нашего мозга не кажется столь удивительной, как загадка чудо-счетчиков.

...В зрительном зале погас свет. На сцену, ярко освещенную огнями рампы, вышел человек в строгом черном костюме - не цирковой артист, не конферансье, не исполнитель популярных песенок. У него в руках мел и тряпка. Они как-то непривычны на сцене.

Эстрадный номер начинается.

- Назовите мне, пожалуйста, - обращается артист к зрителям. - многозначное множимое и многозначный множитель, и прошу вас найти вместе со мной их произведение.

- Один миллион пятьсот девяносто четыре тысячи триста двадцать три умножьте на три тысячи четыреста пятьдесят шесть, - просят из зала.

Проходит несколько секунд, и все читают на доске результат - 5 509 980 288.  Артист терпеливо ждет, пока зрители перемножат на бумаге числа. После этого он называет также все промежуточные результаты, полученные при умножении.

Что же собой представляет это дарование? Никакое описание, никакой рассказ не могут дать о нем полного представления. Нужно присутствовать при живой демонстрации, чтобы понять, до какой степени справедлив эпитет "чудо".

Вот рассказ об эксперименте, проведенном одним из исследователей с мадемуазель Осака. Испытуемую просили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того же числа. Она делала это моментально. Затем предлагали извлечь корень шестой степени из 40 242 074 782 776 576. Она отвечала тотчас и без ошибок.

В 1927 году доктор Ости и математик Сент-Лаге экзаменовали слепого счетчика Луи Флери. Среди поставленных задач была следующая: дается число, нужно разложить его на куб некоторого числа и четырехзначное число.

Флери предложили число 707 358 209. Он размышлял 28 секунд и дал решение: 891 в кубе и 5236. Ему предложили 211717440. Ответ последовал через 25 секунд: 596 в кубе и 8704.

В Ванском районе Западной Грузия живет Арон Чиквашвили. Он свободно манипулирует в уме многозначными числами. "Счетный механизм" Чиквашвилй не знает усталости и ошибок.

Как-то друзья решили проверить возможности чудо-счетчика. Задание было суровым: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча "Спартак" (Москва) - "Динамо" (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17 427 букв, 1835 слов. На проверку ушло... пять часов. Ответ оказался правильным.

Среди чудо - счетчиков особенно большой популярностью пользуются задачи, в основе которых лежит календарное исчисление. Проносясь мысленно через века и тысячелетия, преодолевая трудности недесятичных соотношений (ведь неделя состоит из 7 дней, сутки из 24 часов, час из 60 минут и т. д.), они, за несколько секунд способны проделать сотни операций и сообщить, что 1 января 180 года была пятница. И все это делается с учетом високосных лет, смены календаря в 1582 году и т. д. Они, например, могут сказать, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения Константинополя. Однажды за беседой два счетчика Иноди и Дагбер, шутя, задавали друг другу вопросы такого рода: какой день недели будет 13 октября 28448723 года?

Какими же методами оперируют чудо-счетчики? Приходит ли "дар" с детства, в юности или приобретается, воспитывается в течение жизни?

Пытались объяснить эту способность исключительной памятью, тем, что психологи называют "гипермнезией". Конечно, до какой-то степени мы сталкиваемся здесь с проявлением поистине чудовищной памяти, но одной памятью не объяснить существа явления.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели, прибавляя к каждодневному заработку плату за сверхурочные часы. Однажды, после того как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребенок, которому было едва три года, воскликнул:

- Папа, подсчет неверен! Вот какая должна быть сумма.

Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Несколько лет назад газеты сообщали о юном математическом феномене Бориславе Гаджански.

- Можешь ли ты, Борислав, извлечь корень двадцать второй степени из числа 348 517 368 454 361 458 872?

Мальчик на минуту задумывается: "Восемь".

- А теперь извлеки корень тридцать первой степени из числа 538 436 517 832 435 456 582.

Еще минута на размышление.

- Четыре.

Что же происходит с чудо - счетчиком дальше?

Обычно их умение бесконечно совершенствуется вплоть до глубокой старости. Но бывает и так, что мало-помалу оно исчезает, по мере того как его обладатель получает обычное для всех детей образование. Например, Ампер стал одним из крупнейших ученых, но он потерял способность, к устному счету, по мере того как расширялись его познания в области классической математики. Наоборот, Гаусс и Эйлер соединяли вплоть до смерти обе стороны своей гениальности.

Интересно, что многие люди-счетчики не имели вообще никакого понятия, так они считают: "Считаем, и все! А как считаем, бог его знает". Такие ответы не удивительны. Некоторые из счетчиков были совсем необразованными, людьми. Такие люди всегда очень интересовали психологов и математиков, которые старались выяснить, в чем секрет их способностей. Но объяснения, которые чудо - счетчики давали, пытаясь раскрыть свое умение, на первый взгляд казались странными, и даже очень.

 «МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТРЕНИНГА»