"Особенности основных систем

 координат, применяемых

в аналитической геометрии

 на плоскости"

Тип проекта: информационный

Автор:

Метлицкая Лидия

9 «А» класс

Научный руководитель:

Марчик Светлана Артуровна

учитель математики

г.Саяногорск 2016-2017 уч.г.

Содержание

Введение        

1. Теоретические основы  построения объектов в основных системах координат на плоскости        

1.1 Понятия и виды систем координат на плоскости        

1.2 Декартова система координат        

1.3 Полярная система координат        

2. Анализ особенностей основных систем координат на плоскости        

2.1 Организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости        

2.2 Построение различных линий в основных системах координат        

2.3 Некоторые замечательные кривые        

3. Применение основных систем координат в жизни человека        

3.1 Применение декартовой системы координат в жизни человека        

3.2 Применение полярной системы координат в жизни человека        

Заключение        

Список литературы        

Приложение А        

Приложение Б        

Введение

В жизни мы встречаем так много очень красивых кривых линий, что порой невозможно оторвать от них глаз. Они так часто встречаем нами, что мы уже настолько привыкли к ним, что не замечаем их. Также все эти замечательные кривые можно построить в различных системах координат, которые мы и рассмотрим в данной работе. В этом и заключается актуальность данной темы.

Цель: охарактеризовать особенности основных систем координат, применяемых в аналитической геометрии на плоскости.

Гипотеза: Если рассмотреть особенности построения в основных системах координат, то можно выявить определенные закономерности построения красивых кривых линий.

Нами были выдвинуты задачи исследования:

1. Рассмотреть теоретические основы  построения объектов в основных системах координат на плоскости;
2. Провести анализ особенностей основных систем координат на плоскости;
3. Выявить применение основных систем координат в жизни человека.

Теоретическая значимость: в работе представлена теоретическое обоснование построения зависимостей замечательных кривых на плоскости в основных системах координат.

Практическая значимость: в работе представлена практическое применение построения линий в основных системах координат на плоскости в форме плана дома и график использования электроэнергии.

1. Теоретические основы  построения объектов в основных системах координат на плоскости

1.1 Понятия и виды систем координат на плоскости

Аналитическая геометрия – область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Основным понятием в аналитической геометрии является понятие системы координат [6, с. 34].

Прежде чем вводить определение системы координат, необходимо рассмотреть понятия «координаты точки» и «система».

Координаты точки – это величины, которые определяют положение этой точки (в пространстве, на плоскости или на кривой поверхности, на прямой или кривой линии) [1, с. 18].

В словаре С. И. Ожегова дано много определений слова «система». Наиболее подходящим, является следующее: «Система – это нечто целое, представляющее собой закономерно расположенных и находящихся во взаимной связи частей» [4, с. 719].

Система координат – это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов [8].

Классифицировать различные системы координат можно по разным признакам. Однако, в самом общем виде, все системы координат условно можно разделить на две группы:

• прямолинейные СК;
• криволинейные СК.

К прямолинейным системам координат относятся системы, в которых координатными линиями являются прямые. Примером таких систем могут служить декартовы прямоугольные координаты.

Если в системах координат координатные линии не прямые, а кривые, то они относятся к криволинейным. Примером таких систем координат могут служить полярные системы координат сферы и эллипсоида [5, с. 51 – 52].

Классификация систем координат приведена на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Классификация систем координат

Аффинная система координат (косоугольная система координат) – прямолинейная система координат в аффинном пространстве. В n-мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки O. Аффинными координатами точки M называют такие числа xi, что  (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Афинная система координат

Биангулярные координаты – система координат на плоскости с двумя фиксированными точками С1 и С2, в которой положение точки Р, лежащей не на прямой С1С2, задаётся двумя углами: РС1С2 и РС2С1 (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Биангулярная система координат

Параболические координаты – криволинейная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами (рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 – Параболическая система координат

Биполярные координаты – криволинейная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5 – Биполярная система координат

Далее необходимо рассмотреть две основные системы координат: прямоугольную (декартову) и полярную.

1.2 Декартова система координат

Еще в XVII в. французским математиком Р. Декартом был разработан метод координат, являющийся аппаратом аналитической геометрии, поэтому она и называется декартова [6, с. 34].

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами. Простейший способ таков.

Проводятся две взаимно перпендикулярные прямые Х’Х и Y’Y (рисунок 1.6). Они называются осями координат.

Рисунок 1.6 – Прямоугольная система координат

Одна из этих прямых Х’Х (обычно ее проводят горизонтально) называется осью абсцисс, другая Y’Y – осью ординат. Точка О их пересечение называется началом координат. Для измерения отрезков на осях координат выбирается некоторая единица масштаба, произвольная, но одна и та же для обеих осей.

На каждой оси выбирается положительное направление, которое обозначается стрелкой. На рисунке 1.2 луч ОХ дает положительное направление на оси абсцисс, а луч ОY на оси ординат.

Принято выбирать положительные направления так, чтобы положительный луч ОХ после поворота на 90о против часовой стрелки совмещался с положительным лучом ОY.

Оси координат Х’Х и Y’Y с установленными положительными направлениями и выбранным масштабом образуют декартову прямоугольную систему координат [1, с. 18 – 19].

1.3 Полярная система координат

Возьмем на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:

1) положительным числом ρ, выражающим длину отрезка ОМ (полярный радиус);

2) числом φ, выражающим величину угла ХОМ (полярный угол).

Числа φ и ρ называются полярными координатами точки М (рисунок 1.7) [1, с. 108].

Рисунок 1.7 – Полярная система координат

Таким образом, существует много различных систем координат, но основными являются две: декартова и полярная системы координат.

В следующей главе будет проведен анализ особенностей основных систем координат на плоскости.

2. Анализ особенностей основных систем координат на плоскости

2.1 Организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости

Приступая к работе было выявлено, что существуют различные линии на плоскости, построение которых в декартовой системе координат выполнить сложно. Поэтому можно выдвинуть предположение, что существуют другие системы координат, в которых построение данных линий упрощаются.

Работа состояла из двух этапов:

1.  изучение литературы о различных системах координат на плоскости;
2.  построение различных линий в основных системах координат;
3.  построение плана нашего дома в декартовой системе координат и график использования электроэнергии в нашем доме в полярной системе координат.

С целью исследования различных кривых были применины аналитические и графические методы. Также рассмотрен перевод аналитических выражений из одной системы координат в другую.

2.2 Построение различных линий в основных системах координат

Положение точки М на плоскости в прямоугольной системе координат определяется следующем образом. Проводим от точки М перпендикуляр к оси Х (точка х1)  и к оси Y (точка у1) (рисунок 2.1). Числа х1 и у1, измеряющие отрезки от осей до точки М в избранном масштабе,  называются прямоугольными координатами или просто координатами точки М,  Эти числа берем положительными или отрицательными в зависимости от расположения точки М на плоскости. Число х1 называется абсциссой точки М, число у1 – ее ординатой.

Рисунок 2.1– Прямоугольная система координат

На рисунке 2.1 тоска М имеет абсциссу х1 = 2, и ординату у1 = 3. Это записывается так: М(2;3). Вообще запись М(а;b) означает, что точка М имеет абсциссу х1 = а и ординату у1 = b [1, с. 19].

Для того, чтобы построить прямую линию в декартовой системе координат, нужно отметить две точки и соединить их прямой линией (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Графики функций в прямоугольной системе координат

Для того, чтобы построить график функции у = f(х), составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией (рисунок 2.2). При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции [3, с. 67].

В полярной системе координат каждой паре значений ρ и φ отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное значение полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Если же точка М совпадает с полюсом, то значение полярного угла остается совершенно произвольным.

Условлено выделять только одно из значений полярного угла, например брать φ в пределах:

Такое значение полярного угла называют главным.

Например, точке N (рисунок 2.3) соответствуют полярные координаты ρ = 3, ; главное значение полярного угла есть .

Рисунок 2.3 – Полярная система координат

Точке L соответствуют полярные координаты ρ = 2, ; главное значение полярного угла есть π [1, с. 109].

Точка М имеет полярные координаты ρ = 5, ; главное значение полярного угла есть .

Существует связь между полярными координатами точки и ее прямоугольными координатами. При этом можно предположить, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная ось абсцисс совпадает с полярной осью. Как было показано выше, точка М имеет прямоугольные координаты х и у, и полярные координаты ρ и φ, тогда

х = ρ соs φ, у = ρ sin φ.

В этих формулах прямоугольные координаты выражают через полярные. Полярные координаты можно выразить через прямоугольные следующим образом:

.

Можно видеть, что формула  определяет два значения полярного угла φ, т. к. φ изменяется от 0 до 2π. Из этих двух значений угла φ выбирают то, при котором удовлетворяются равенства, выражающие прямоугольные координаты через полярные [6, с. 38].

2.3 Некоторые замечательные кривые

Существует множество замечательных кривых, трем из них будет дана характеристика в данной работе.

Строфоида – это алгебраическая  кривая 3-го порядка, площадь которой ограниченна петлей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.3 – Строфоида

Параметрическое уравнение строфоиды:

.

Следующей замечательной кривой будет лемниската Бернулли. Лемниската Бернулли – это плоская алгебраическая кривая, показанная на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Лемниската Бернулли

Параметрическое уравнение лемнискаты Бернулли:

.

Эвольвента или развертка круга – это траектория любой точки прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Эвольвента круга

Параметрические уравнения эвольвенты круга:

.

Также к замечательным кривым относятся: циклоида, эпициклоида и гипоциклоида.

3. Применение основных систем координат в жизни человека

3.1 Применение декартовой системы координат в жизни человека

Системы координат используются во многих областях науки, например, в математике координаты являются совокупностью чисел, которые сопоставлены точкам в некоторой карте заранее определенного атласа. В геометрии координаты – это величины, которые определяют расположение точки в пространстве и на плоскости. В географии координаты обозначают широту, долготу и высоту над общим уровнем моря, океана или другой заранее известной величины. В астрономии координаты являются величинами, которые дают возможность определить положение звезды, например, склонение и прямое восхождение [8].

Основное применение декартовой системы координат – в математике. Одна из важнейших сфер, где математика демонстрирует себя во всей своей силе, – это описание законов, решение задач. Применяя чертежи от самых простых до самых сложных,  нельзя обойтись без декартовой системы координат.

В информатике Рисунки, схемы, чертежи, графики – графические формы представления информации. Метод кодирования – это один из удобных способов представления числовой  информации с помощью графиков.

В медицине с помощью графиков выполняется: проведение медицинских исследований в области хирургии; флюорография; разнообразные снимки органов; кардиология – кардиограммы.

В экономике прямоугольная системы координат применяется для  построения графика спроса и предложения. При графическом изображении разнообразных зависимых  величин.

В физике координатная система нужна, чтобы определить взаимное расположение – координацию – тел в пространстве. Примером системы отсчета, естественной  для городского человека, тут служит искусственное образование – сам город. Город – это одно большое тело, внутри и относительно которого можно определить место любого малого тела, установив его, так сказать, внутренний «адрес».

В химии – периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева построена по принципу декартовой прямоугольной системы координат, т. к. изменение показателей происходит в горизонтальной и вертикальной плоскости.

Также прямоугольная система координат используется в инженерной графике для  моделирования эскизов промышленных машин, оборудования, объектов на местности [7].

Я начертила планы первого и цокольного этажей нашего дома в декартовой системе координат в программе Microsoft Visio Drawing 2003 (Приложение А). Первый этаж состоит из трех комнат, кухни и коридора, а на цокольном этаже находятся туалет, ванная комната, котельная и две кладовые.

3.2 Применение полярной системы координат в жизни человека

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы – такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра – гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

В биологии полярные координаты применяются при построении схем молекул ДНК.

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для навигации, луч 0° называют направлением 360, а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному северу, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу.

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны .

Мы взяли данные расхода электроэнергии нашего дома за 12 месяцев 2015 года, по этим данным мы построили график изменения в полярной системе координат в программе Microsoft Excel 2003 (Приложение Б). По графику видно, что расход электроэнергии в нашем доме зимой больше чем летом почти в три раза, это связано с тем, что отопление в нашем доме электрическое.

Заключение

Ниже представлены основные выводы по данной работе, соответствующие поставленным задачам.

В первой задаче необходимо было рассмотреть теоретические основы  построения объектов в основных системах координат на плоскости. Система координат – это комплекс определений, который задает положение тела или точки с помощью чисел или же других символов. Существуют два основных вида систем координат: прямолинейные и криволинейные. Декартова система координат относится к прямолинейным, а полярная – к криволинейным. В этих системах координат положение точек на плоскости определяется двумя координатами (в декартовой – х и у, в полярной – ρ и φ).

Второй задачей было провести анализ особенностей основных систем координат на плоскости. Для решения данной задачи были рассмотрены организация и методы анализа особенностей основных систем координат на плоскости, выполнено построение различных линий в основных системах координат и построены некоторые замечательные кривые.

Третьей задачей необходимо было выявить применение основных систем координат в жизни человека. Декартова система координат применяется в математике, в геометрии, а географии, в астрономии, в информатике, в медицине, в экономике, в физике, в химии, в инженерной графике.  Полярная система координат – в физике, в биологии, в навигации. Также был начерчен план первого и цокольного этажей нашего дома в декартовой системе координат и график использования электроэнергии нашего дома в полярной системе координат.

Таким образом, с помощью решения поставленных задач была достигнута цель исследования, то есть, охарактеризованы особенности основных систем координат, применяемых в аналитической геометрии на плоскости.

Список литературы

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – М.: «ДЖАНГАР», «БОЛЬШАЯ МЕДВЕДИЦА», 2001. – 864 с.
2. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. – М.: Наука, 1973. – 88 с.
3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Алгебра: Геометрия: Прил.: Справ. материалы: Учеб. пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1986. – 271 с.
4. Ожегов С.И., Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка: 80 000 слов и фразеологических выражений. – М.: ООО «ИТИ Технологии», 2006. – 944 с.
5. Телеганов, Н.А. Метод и системы координат в геодезии: учеб. пособие /Н.А. Телеганов, Г.Н. Тетерин. – Новосибирск: СГГА. – 2008. – 143 с.
6. Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 4-е изд., стер. – М.: Высш. школа. 1998. – 479 с.
7. Новикова Т. В.  Интеграция биологии и математики в изучении экологических проблем [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://yandex.ru/clck/jsredir?from=yandex.ru%3Bsearch%2F%3Bweb%3B%3B&text=&etext=859 
8. Что такое система координат? [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://elhow.ru/ucheba/matematika/matematicheskie-ponjatija/chto-takoe-sistema-koordinat (дата обращения 21.10.2015).

Приложение А

План дома (1 этаж)

План дома (цокольный этаж)

Приложение Б