Исследование замечательных элементов треугольника
Цель исследования:
1. Сбор общих формул для нахождения замечательных элементов треугольника и их систематизация;
2. Вывод полученных формул для замечательных треугольников4;
3. Сведение результатов таблицу;
4. Написание программы, выполняющей расширенное решение треугольника.
Актуальность исследования: исследование является особо ценным, интересным и полезным благодаря тому, что формулы, рассмотренные в работе, могут намного облегчить решение широкого спектра задач во многих областях деятельности учащегося, от экзаменов ЕГЭ и ОГЭ, до собственных научных проектов и разработок. В своей работе Александр на основе теоремы Стюарта выводит формулы для нахождения чевиан для равностороннего и равнобедренных треугольников особого вида, выводит формулу для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной около треугольника окружности и другие формулы, связанные с элементами треугольника.
Все задачи, рассмотренные в работе, приведены с решением, задачи решены Александром самостоятельно. Некоторые из них ученик составил сам.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 nou_zaharov_1.docx | 1.11 МБ |
 презентация к работе | 436.93 КБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели исследования: Сбор общих формул для нахождения замечательных элементов треугольника и их систематизация. Вывод полученных формул для замечательных треугольников. Сведение результатов таблицу. Написание программы, выполняющей расширенное решение треугольника. Актуальность исследования: Выведенные формулы можно применять при решении любых заданий школьного курса, прикладных задач. Полученные теоремы можно использовать при сдаче ЕГЭ и ОГЭ. Предмет исследования широко применяется во многих научных дисциплинах: физике, черчении, моделировании и т.д.
Теорема Стюарта Если точка D лежит на стороне BC треугольника ABC , то , где y = BD , x = CD, b=AC, c=AB . Дано: ∆АВС Точка D лежит на BC Доказать: A B C D c b x y d Доказательство: По основному векторному соотношению
Теорема Стюарта для равнобедренного треугольника Для любого равнобедренного треугольника ABC , в котором точка D лежит на стороне BC имеет место равенство , где y = BD , x = CD, b=AC . Дано: ∆АВС - равнобедренный ( AB=AC) Точка D лежит на BC Доказать: D A B C d b c y x Доказательство:
Теорема Стюарта для равностороннего треугольника Для любого равнобедренного треугольника ABC , в котором точка D лежит на стороне BC имеет место равенство продолжении стороны BC имеет место , где c = AB , d = AD . равенство где a = BD , b = AD , d = AC . d D c b x y A B C a Дано: ∆ АВС - равносторонний Точка D лежит на BC Доказать: Доказательство: Дано: ∆ АВС - равносторонний AD – отрезок, такой, что точка D лежит на отрезке BC Доказать: d D c b y A B C a Доказательство: п о доказанному по теореме Стюарта
Для любого треугольника ABC имеет место равенство , для равнобедренного треугольника - равностороннего - ,где d – медиана треугольника , a = BC , b = AC , c = AB . Дано: ∆АВС Точка D лежит на BC: AD=d - медиана Доказать: , при b=c , при a=b=c y A B C D c b x d a Доказательство:
Дано: ∆АВС Точка D лежит на BC: AD=d - биссектриса Доказать: Доказательство: Для любого треугольника ABC имеет место равенство , для равнобедренного треугольника, где d – биссектриса угла A , b = AC , c = AB , x = DC , y = BD . y B C D c b x d A a
Формула Эйлера Для любого треугольника имеет место равенство d 2 =R (R − 2 r ), где d – расстояние между радиусами вписанной и описанной окружности, r – радиус вписанной в треугольник окружности, R – радиус окружности, описанной около него. Дано: ∆АВС Окружность ( O ; R ) – описанная Окружность (I; r ) - вписанная Доказать : IO 2 = d 2 =R (R − 2 r ) B C A O R I r
L A B C P Q I O D M Доказательство: BAL = CAL , значит BL = CL BML = BAL ADI = MBL =90 MBL ADI 2 R r =AI BL * BIL= ½ A +½ B IBL=½ B+ CBL ½ A = CBL BIL= IBL BIL - равнобедренный (BL=IL) 2 R r =AI I L * 2 R r =AI I L =QI IP QI, IP d 2 =R (R − 2 r )
a – боковая сторона, b - основание 60 /120 45 /135 30 /150 90 h a 2 , m a 2 , l a 2 r R S ABC d 2 B C A O R I r a b c h a 2 m a 2 l a 2 m a 2 S ABC l a 2 r R d 2
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P. Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD. C A B D O Q P X Y Доказательство: H 1 H 2
"Разделите так, как делили работу..."
Заяц-хваста
5 зимних аудиосказок
Акварель + трафарет = ?
Какая бывает зима