Палиндромы в математике

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №7»

город Нижневартовск

Научно-исследовательская работа
на   школьную научно-практическую конференцию молодых исследователей

Палиндромы в математике

2016 год

                                                                  ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        4 

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.......................................................................................................................5

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        9

ЛИТЕРАТУРА        11

Гипотеза
Простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа.
Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами. 


 Цель исследования
Практически все математические понятия, так или иначе, опираются на понятие числа, а конечный результат любой математической теории, как правило, выражается на языке чисел. Многие из них, особенно натуральные числа по тем или иным признакам и свойствам сгруппированы в отдельные структуры (совокупности) и имеют собственные имена. Таким образом, целью исследования является знакомство с числами палиндромами .

Задачи исследования

1.Изучить литературу по теме исследования.

2.Рассмотреть свойства палиндромов.

3..Выяснить, какую роль играют простые числа в изменении свойств заинтересовавших нас чисел. 

Предмет исследования – множество простых чисел.


Объект исследования – числа палиндромы..

Методы исследования:

• теоретический
• анкетирование
• анализ

ВВЕДЕНИЕ

Однажды, играя в боулинг я заметил необычные числа: 44, 77, 99, 101 и мне стало интересно, что это за числа? Заглянув в интернет я узнал что это числа палиндромы.

Палиндро́м (от греч. πάλιν —«назад, снова» и греч. δρóμος — «бег»), иногда также палиндромон, от гр.palindromos бегущий обратно).

Говоря о том, что такое палиндром, следует сказать, что известны «перевертыши» с самой глубокой древности. Зачастую им придавался магический сакральный смысл. Появились палиндромы, примеры которых можно встретить в самых разных языках, предположительно в средние века.

Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Если взять натуральное число (любое) и прибавить к нему обращенное (состоящее из тех же цифр, но в обратном порядке), затем повторить действие, но уже с полученной суммой, то на одном из шагов получится палиндром. В некоторых случаях достаточно осуществить сложение единожды: 213 + 312 = 525. Но обычно необходимо не меньше двух операций. Так, например, если взять число 96, то, совершив последовательное сложение, палиндром можно получить только на четвертом уровне: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Суть гипотезы состоит в том, что если брать любое число, после определенного количества действий будет обязательно получен палиндром.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Числа – палиндромы

Найти числа – палиндромы в математике не составило труда.  Я попытался составить запись числа  для этих чисел – палиндромов.

 - в двузначных числах – палиндромах число единиц совпадает с числом десятков.

 – в трехзначных числах – палиндромах число сотен всегда совпадает с числом  единиц.

 - в четырехзначных числах – палиндромах число единиц тысяч совпадает с числом единиц, а число сотен с числом десятков и т.д.

Формулы – палиндромы

Палиндромные формулы вызвали у меня больший интерес. Под формулами – палиндромами, я понимаю, выражение (состоящее из суммы или разности чисел) результат которого не меняется в результате прочтения выражения справа налево.

Если сложить числа – палиндромы, то сумма не меняется.  Сложение двухзначных чисел довольно просто я решил записать сумму для трёхзначных чисел.

Например: 121+343=464

В общем виде это можно записать так:

 +  =  +

(100х + 10х+ x) + (100у + 10y + у) = (100у + 10y + у) + (100х + 10x + х)

100х + 10х+  x + 100у + 10у + y = 100у + 10у + y + 100x +10х + х

111х + 111у = 111у + 111х

111(х + у) = 111(у + х)

х + у = у + х

От перестановки слагаемых сумма не изменяется (переместительное свойство сложения).

Точно также доказывается для 4-х, 5-х и n - значных чисел.

Рассмотрим все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их вычитания не менялся в результате прочтения разности справа налево.

Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых:

 = 10х1 + у1                          = 10х2 + у2                                  

 -  = (10х1 + у1) – (10х2 + у2)

-  = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)

(10х1 + у1) – (10х2 + у2) = (10у2 + х2) – (10у1 + х1)

10х1 + у1 – 10х2 -  у2 = 10у2 + х2 – 10у1 -  х1

10х1 + х1 +  у1 + 10у1 = 10у2 + у2 + 10х2  + х2

11 х1 + 11 у1 = 11х2 + 11у2

11(х1 + у1) = 11(х2 + у2)

х1 + у1 = х2 + у2

У таких чисел равны суммы цифр.

Теперь можно составлять такие разности:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 =  61 – 25 и т.д.

Именные палиндромы

Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: число Фибоначчи, число Смита, Репдиджит, Репьюнит.

Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.

Пример: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.

Пример: 202=2+0+2=4

Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.

Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц

Числовой конструктор  

Из простых чисел-палиндромов, располагая их определённым образом, скажем построчно, можно составить симметричные фигуры, отличающиеся оригинальным рисунком из повторяющихся цифр.

Вот, например, красивая комбинация из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3 (рис. 1). Особенность этого числового треугольника в том, что один и тот же фрагмент повторяется трижды, не нарушая симметрию рисунка.

Рис. 1

Легко видеть, что общее количество строк и столбцов — число простое (17). К тому же простые числа и суммы цифр: выделенных красным фрагментов (17); каждой строки, за исключением первой (5, 11, 17, 19, 23); третьего, пятого, седьмого и девятого столбцов (7, 11) и «лесенки» из единиц, образующей боковые стороны треугольника (11). Наконец, если двигаться параллельно указанным «сторонам» и складывать по отдельности цифры третьего и пятого рядов (рис. 2), получим ещё два простых числа (17, 5).

Рис. 2

Продолжая построение, можно сконструировать на основе данного треугольника более сложные фигуры. Так, ещё один треугольник с аналогичными свойствами нетрудно получить, двигаясь с конца, то есть начать с последнего числа, вычёркивая на каждом шаге две одинаковые симметрично расположенные цифры и переставляя или заменяя другие — 3 на 1 и наоборот. При этом сами цифры следует выбирать с таким расчётом, чтобы образующееся в итоге число оказалось простым. Объединив обе фигуры, получим ромб с характерным узором из цифр, скрывающим в себе немало простых чисел (рис. 3). В частности, сумма выделенных красным цветом цифр равна 37.

Рис. 3

Можно составить также многоугольные фигуры из чисел, обладающие определёнными свойствами. Пусть требуется построить фигуру из простых палиндромов, записанных с помощью 1 и 3, у каждого из которых крайние цифры — единицы, а сумма всех цифр и общее количество единиц в строке — простые числа (исключение — однозначный палиндром). Кроме того, простым числом должно выражаться общее количество строк, а также цифр 1 либо 3, встречающихся в записи.

На рис. 4 приведено одно из решений задачи — «домик», сконструированный из 11 различных палиндромов.

Рис. 4

Конечно, не обязательно ограничиваться двумя цифрами и требовать наличия в записи каждого используемого числа всех указанных цифр. Скорее, наоборот: ведь именно их необычные сочетания придают своеобразие узору фигуры. В подтверждение этому приведём несколько примеров красивых палиндромических зависимостей (рис. 5−7).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей работе я рассмотрел числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы трехзначных чисел и разности двузначных чисел и смог их доказать. Я познакомился с удивительными натуральными числами: палиндромами и репьюнитами. Все они обязаны своими свойствами простым числам. 
Интуитивно я составил формулы для суммы и разности n- значных чисел, произведения и частного двухзначных чисел.

В случае умножения имеем:

                                               63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

                                               82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

                                               26 ∙ 31 = 62 ∙ 13 и т.д.

Произведение первых цифр равно произведению их вторых цифр х1 ∙ х2 = у1 ∙ у2

Для деления получаем такие примеры:

                                               62 : 31 = 26 : 13  

                                               96 : 32 = 69 : 23    и т.д.

Данные утверждения я пока не смог доказать, но думаю, что мне удастся это сделать в дальнейшем.

В литературе я смог найти формулы – палиндромы умножения многозначных чисел

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602                        203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

    726966306 = 726966306                                 133703508312 = 133703508312

Цели своей работы я достиг.  Рассмотрел  числа – палиндромы и записал их в общем виде. Привел примеры и доказал формулы – палиндромы для сложения и вычитания двухзначных чисел. Определил ряд вопросов над которыми мне предстоит ещё работать и исследовать формулы – палиндромы. Значит, я подтвердил гипотезу о том, что простые числа – это часть чисел, из которых состоят все натуральные числа. Исследуя множество простых чисел, можно получить удивительные числовые множества с их необыкновенными свойствами. 

ЛИТЕРАТУРА

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Палиндром
2. http://www.nkj.ru/archive/articles/17984/
3. http://fb.ru/article/139710/chto-takoe-palindrom-palindromyi---primeryi-angliyskie-palindromyi
4. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36295