Секреты квадратов чисел

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛИЦЕЙ

№64

ТЕМА РАБОТЫ

Нахождение квадрата числа, зная квадраты двух близлежащих цифр и искомое число, квадрат которого требуется найти.

                               ВЫПОЛНИЛИ: ученик 10 «Г» класса Казаков Егор               РУКОВОДИТЕЛЬ: учитель математики  

Финагина Елена Игоревна

2016-2017 УЧЕБНЫЙ ГОД

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

План

1. Введение

1. Исследование и проектирование                                                                                        

2. Формула о нахождении квадрата числа, зная квадраты двух близлежащих цифр и искомое число, квадрат которого требуется найти

1. Формула 1
2. Формула 2

3. Заключение

1. Применение
2. Нужность

4. Список источников

1. Введение

Много раз на уроках математики я задумывался о том, что бы можно было подвести под общую формулу и по ней уже находить все параметры заданного ряда чисел. В прошлом году мы проходили прогрессии( геометрические и алгебраические), но мне ещё до их изучения удалось вывести формулу о нахождении квадрата числа, зная квадраты двух предыдущих чисел. Это было не очень трудно. Она была выведена с помощью нескольких примеров, а потом доказана в общем виде. И в этом году я её усовершенствовал и сделал так, что теперь, зная квадраты двух близлежащих чисел, можно найти квадрат любого числа.

Моя работа не является чисто исследовательской, она скорее больше относится к проектному виду работ, но всё-таки в ней присутствовала определённая доля исследования(исследование таблицы квадратов, например). В общем, эту работу можно охарактеризовать как проектно-исследовательскую.

1. Исследование и проектирование.

1. Проектный метод обучения предполагает процесс разработки и

создания проекта: прототипа, прообраза, предполагаемого или                 возможного объекта или состояния.

2. Принципиальное отличие исследования от проектирования состоит в том, что исследование не предполагает создания какого-либо заранее планируемого объекта, даже его модели или прототипа. Исследование, по сути, — процесс поиска неизвестного, новых знаний, один из видов познавательной деятельности

3. Исследование и проектирование — типы мыследеятельности, которые различаются по ряду параметров:

• отношение к категории времени;

• отличие по продукту;

• отличие по критериям результативности;

• отличие по направленности;

• отличие по схеме организации мыследеятельности.

Вместе с тем в основе и метода проектов, и метода исследований лежат:

• развитие познавательных умений и навыков учащихся;

• умение ориентироваться в информационном пространстве;

• 'умение самостоятельно конструировать свои знания;

• умение интегрировать знания из различных областей наук;

• умение критически мыслить.

Оба метода всегда ориентированы на самостоятельную деятельность учащихся.

Проектная технология и технология исследовательской деятельности предполагают:

• наличие проблемы, требующей интегрированных знаний и исследовательского поиска ее решения;

• практическую, теоретическую, познавательную значимость  предполагаемых результатов;

• самостоятельную деятельность ученика;

• структурирование содержательной части  проекта с указанием поэтапных результатов;

• использование исследовательских методов, то есть определение проблемы и вытекающих из нее задач исследования;

• обсуждение методов исследования, сбор информации, оформление конечных результатов;

• презентация полученного продукта, обсуждение и выводы.

Использование данных методов предполагает отход от авторитарного стиля обучения, но вместе с тем предусматривает хорошо продуманное и обоснованное сочетание методов, форм и средств обучения.

2. Формула о нахождении квадрата числа, зная квадраты двух близлежащих цифр и искомое число, квадрат которого требуется найти.

1. Формула 1
   
   Нахождение квадрат большего числа, зная две близлежащие цифры (при b-a=1) и число с (при с-b=1; c-a=2).

Зная квадрат двух близлежащих цифр а и b, вычтем из квадрата большего квадрата «b²» меньший «a²», прибавим полученную разность «b²-a²» к  квадрату большего числа «b²» и к этому ещё добавим «2» и получим квадрат следующего числа «с²».
Т.е.:

9-4+9+2=16, а 16 это квадрат 4 (a

Из этого можем вывести формулу:

b²-a²+b²+2=c², при a

• Доказательство:

Дано: a,b,c – последовательные числа  

a=n;

b=n+1;

c=n+2;

Доказать:
           2b²-a²+2=c²

Доказательство
        2(n+1)²-n²+2=(n+2)²
        2(n+1)²-n²+2=2n²+2+4n-n²+2=n²+4n+4= =(n+2)² => 2b²-a²+2=c² ч.т.д.

2. Формула  2
   
   Нахождение квадрата числа, зная две любые близлежащие цифры (при b-a=1) и число, квадрат которого следует найти.
   

Зная квадрат двух близлежащих цифр a и b, к квадрату меньшего «a²» добавим разность двух квадратов близлежащих цифр(от квадрата большего отнимем квадрат меньшего)«b²-а²», умноженную на число q. q=c-a (q-число, которое показывает промежуток от меньшего числа «а» до числа «с»). Т.е., если дано два числа: 2 и 3, а нужно квадрат 45, то просто отнимаем от 45 меньшее число «2» и получаем нужный промежуток «43». Дальше, к полученной сумме прибавляем произведение q•(q-1), т.е. 43•(43-1)

Т.е.:

4+5•43+43•(43-1)=2025, а √2025 это 45,т.е. квадрат 45; √4+5•43+43(43-1)=√2025
√4+5•43+43(43-1)=45

Из этого можем вывести формулу:
а² +(b²-a²)•q +q•(q-1)= с², при b-a=1;
c-a=q.

• Доказательство

Дано: a,b,c – последовательные числа  

a=n;

b=n+1;

c=n+q;

Доказать:
        а² +(b²-a²+q-1)•q = с²

Доказательство
        n²+((n+1)²-n²+q-1)•q=(n+q)²

        n²+((n+1)²-n²+q-1)•q =

=n²+(n²+1+2n-n²+q-1)•q=n²+(2n+q)•q=n²+2nq+q²=(n+q)²

        (n+q)² =(n+q)²    

ч.т.д.

3. Заключение

Выводы:

• Доказано существование 1-ой и 2-ой формулы. Теперь их может использовать в вычислениях каждый ученик.

• Найдена зависимость между квадратами чисел 1-ого, 2-ого и т.д. десятков.

• Найдена зависимость между квадратами любых чисел.

Применение:

• С помощью данной формулы: 2b²-a²+2=c² ученики начальных классов могут начать знакомиться с таблицей квадратов намного раньше, за счёт взаимосвязи всех десятков между собой.

• С помощью данной формулы: а²+(b²-a²+q-1)•q = с²  ученикам старших классов будет легче проверять себя. Например, при возведении в квадрат двузначного или трёхзначного числа, эта формула могла бы им существенно помочь, т.к. в ней огромный квадрат разбивается на много более мелких слагаемых, а их сумму легче посчитать, чем умножать два двузначных или трёхзначных числа друг на друга.

Задачи:

1. С помощью таблицы квадратов от 1 до 10, найти 3 первых квадрата чисел второго десятка

Берём числа  «1»(=a)  и  «2»(=b) , пишем формулу:

а²+(b²-a²+q-1)•q = с²  

1. Сначала берём первое число второго десятка «11»(=c), найдём «q»:
   q=c-a; q=11-1=10

Теперь подставляем все числа в формулу:
1²+(2²-1²+10-1)•10=c²
1²+(2²-1²+10-1)•10=1+(4-1+10-1)•10=1+(12) •10=120+1=121
11²=121

2.  Сначала берём второе число второго десятка «12»(=c), найдём «q»:
    q=c-a; q=12-1=11

    Теперь подставляем все числа в формулу:
    1²+(2²-1²+11-1)•11=c²
    1²+(2²-1²+11-1)•11=1+(4-1+11-1)•11=1+(13) •11=143+1=144
    12²=144

3.  Сначала берём второе число второго десятка «13»(=c), найдём «q»:
    q=c-a; q=13-1=12

    Теперь подставляем все числа в формулу:
    1²+(2²-1²+12-1)•12=c²
    1²+(2²-1²+12-1) •12=1+(4-1+12-1)•12=1+(14)•12 =168+1=169
13²=169

Ответ: квадрат «11» =121; квадрат «12» = 144; квадрат «13» = 169.

2. С помощью двух квадратов чисел первого десятка
   найти квадрат первого числа второго десятка.

Здесь можно применить следующую формулу: 2b²-a²+2=c²
Берём два числа «9» и «10»
Подставляем в формулу:
2•(10²)-9²+2=c²
2•(10²)-9²+2=2•100-81+2=200+2-81=121, а 121 – это 11², т.е. квадрат первого числа второго десятка.

Ответ: 121

3. С помощью двух квадратов близлежащих чисел
   найти квадрат «13».

Здесь можно применить следующую формулу: 2b²-a²+2=c²
Берём два числа «11» и «12»
Подставляем в формулу:
2•(12²)-11²+2=c²
2•(12²)-11²+2=2•144-121+2=288+2-121=290-121=169, а 169 – это 13², т.е. квадрат «13».

Ответ: 169

4. С помощью двух квадратов близлежащих чисел
   найти квадрат «17».

Здесь можно применить следующую формулу: 2b²-a²+2=c²
Берём два числа «15» и «16»
Подставляем в формулу:
2•(16²)-15²+2=c²
2•(16²)-15²+2=2•256-225+2=512+2-225=514-225=289, а 289 – это 17², т.е. квадрат «17».

Ответ: 289

• Комментарий к задачам, где используется формула: а²+(b²-a²+q-1)•q =с²!

Для простоты и удобности вычисления лучше подбирать такое число «а», чтоб число «q» оканчивалось на НОЛЬ (например: q=84, а=4)

5.  С помощью двух квадратов чисел первого десятка
   найти квадрат четвёртого числа двадцатого десятка.

Здесь можно применить следующую формулу: а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
Возьмём два близлежащих числа «a» и «b», так что b-a=1.
За «а» берём число 4, за «b» число 5, а за «c» число 194; найдём «q»:

q=c-a=194-4=190
Подставляем в формулу:
4²+(5²-4²+190-1)•190 = с²
4²+(5²-4²+190-1)•190 =16+(25-16-1+190)•190 =16+(8+190)•190=16

+198•190= 198•19•10+16=37620+16=37636
Ответ: 37636

6. С помощью двух квадратов чисел первого десятка
   найти квадрат шестого числа шестого десятка.

Здесь можно применить следующую формулу: а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
Возьмём два близлежащих числа «a» и «b», так что b-a=1.
За «а» берём число 6, за «b» число 7, а за «c» число 56; найдём «q»:

q=c-a=56-6=50
Подставляем в формулу:
6²+(7²-6²+50-1)•50 = с²
6²+(7²-6²+50-1)•50 =36+(49-36+50-1)•50 =36+(13+49)•50=36+62•50= =62•5•10+36=3100+36=3136
Ответ: 3136

7. Высчитать чему будет равен квадрат «49»
   
   1. Можно просто возвести 49 в квадрат:
      49
   *  49
     441

  + 1960
     2401

2. Но можно воспользоваться формулой:
   а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
   Возьмём два близлежащих числа «a» и «b», так что b-a=1.
   За «а» берём число 9, за «b» число 10, а за «c» данное число, т.е. 49; найдём «q»: q=c-a=49-9=40
   Подставляем в формулу:
   9²+(10²- 9²+40 -1)•40=81+(100-81+40-1)•40=81+(140-82)•40= =81+58•40=58•4•10+81=2320+81=2401
   
   Ответ: 49²=2401
   

8. Высчитать чему будет равен квадрат «51»
   
   1. Можно просто возвести 51 в квадрат:
      51
   *  51
       51

  + 2550
     2601

2. Но можно воспользоваться формулой:
   а²+(b²-a²+q-1)•q = с²
   Возьмём два близлежащих числа «a» и «b», так что b-a=1.
   За «а» берём число 1, за «b» число 2, а за «c» данное число, т.е. 51; найдём «q»: q=c-a=51-1=50.
   Подставляем в формулу:
   1²+(2²- 1²+50 -1)•50=1+(4-1+50-1)•50=1+(4-2+50)•50= =1+52•50=52•5•10+1=260•10+1=2601
   Ответ: 51²=2601
   

9. Зная квадраты двух последовательных чисел: 17 и 18, найти  квадрат следующего числа
   17²=289; 18²=324
   1. Можно просто возвести 19 в квадрат:
      19
   *  19
     171

  +   190
      361

              2.  Но можно воспользоваться формулой:
                  2b²-a²+2=c²
                  Подставляем в формулу:
                  2•324-289+2= 648+2-289=361

                  Ответ: 361

10. Зная квадраты двух последовательных чисел: 5 и 6, найти  квадрат следующего числа
    5²=25; 6²=36
    1. Можно просто возвести 7 в квадрат:
       7
    *  7
      49

2.  Но можно воспользоваться формулой:
         2b²-a²+2=c²
         Подставляем в формулу:
         2•25-36+2= 50+2-36=49

                Ответ: 49

11. Зная квадраты двух последовательных чисел: 30 и 31, найти  квадрат следующего числа
    30²=900; 31²=961
    1. Можно просто возвести 32 в квадрат:
       32
    *  32
        64

    + 960

     1024

2.  Но можно воспользоваться формулой:
         2b²-a²+2=c²
         Подставляем в формулу:
         2•900-961+2= 1800+2-961=1024

                Ответ: 1024

12. Зная квадраты двух последовательных чисел: 40 и 41, найти  квадрат следующего числа
    40²=1600; 41²=1681
    1. Можно просто возвести 42 в квадрат:
       42
    *  42
        84

  + 1680

     1764

2.  Но можно воспользоваться формулой:
         2b²-a²+2=c²
         Подставляем в формулу:
         2•1681-1600+2= 3362+2-1600=1764

                Ответ: 1764

4. Список источников

• В.М.Брадис
  Четырёхзначные математические таблица
  Москва, «Просвещение», 1990, (93 стр.)
• Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин и т.д.
  Алгебра  9 класс
  Москва, «Просвещение», 2011, (286 стр.)
• Бражников Ю.Ю.

Статья «Проектно-исследовательская деятельность – одна из форм формирования компетентностей », 2012