Приключения Алисы - царство абсурда или ключ к тайнам познания

                                Департамент Образования города Москвы

Северо-Западное окружное управление образования

Государственное Образовательное Учреждение

Средняя Общеобразовательная Школа № 883

             Окружной конкурс проектных и исследовательских работ

«Будущее Северо-Запада»

                                            Номинация «Лидер»

                                        Направление математическое

                  Секция математики

               Исследовательский проект

«Приключения Алисы-царство абсурда или ключ к тайнам познания»

                                                                                                        Авторы проекта:

ученики 10 «А»класса:

Меркудинов Сергей,

Быченков Александр,Рой Анастасия

Ученики 11 «А» класса:

Белякова Наталия,

Соколова Евгения,

Чилиняк Полина.

Руководители:

учителя математики

Анохина Надежда Валентиновна.

Сафронова Ольга Александровна.

                                                    Москва, 2013 год                                                

 «Приключения Алисы - царство абсурда или ключ к тайнам познания»

Цель данного проекта: на основе математических преобразований  и понятий дать объяснения некоторым эпизодам сказки Льюиса Кэрролла «Алиса в Зазеркалье», «Алиса  в стране чудес».

Задачи:

1.С помощью законов счисления дать объяснения таблице умножения Алисы;

2.Применить теорию относительности к возникновению «кротовых нор»;

3.Преломить теорию групп к теории стихосложения.

Гипотеза:

Приключения Алисы – ключ к тайнам познания.

Методы исследования:

1.Поисково-исследовательский;

2.Творческий;

3.Анализ и обобщение.        

          В современном мире мысль, что все   науки и виды искусства связаны между собой, актуальна.  И  с помощью этих связей мы открываем мир.  В данном проекте освещена лишь небольшая часть того неизведанного огромного мира связи литературы  и  математики, который, к, сожалению, в школьной программе совершенно не обозначен. Авторы проекта, ученики 10 «А» и 11 «А» классов школы №883, попытались дать математическое объяснения некоторым эпизодам сказки «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» Льюиса Кэрролла.  

Содержание

Содержание…………………………………………………………………4

I. Введение        5

II.Основная часть…………………………………………………………7

1. Системы счисления…………………………………………………….7

Основные простые действия с позиционными системами …………16

Практическая часть        18

2."Кротовы норы"\

Теория относительности Энштейна        22

Пространство Минковского        25

3.Применение теории групп к теории стихосложения.        29

Практическая часть        32

Заключение………………………………………………………………...33

Литература………………………………………………………………34

Приложение  1 к главе «Кротовы норы»………………………………35

Приложение  2 к главе «Применение теории групп к теории стихосложения» …………………………………………………………………………………36

I. Введение

«Тяжкий жребий-писать в наши дни математические книги… Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным»

И.Кеплер

Математика и литература схожи тем, что требуют творческого подхода к изучению жизни. Еще требуют смелости мысли, безудержной фантазии, тонкого наблюдения, интуиции. Что удивительного в том, что поэт может мыслить как ученый, а ученый видеть мир как поэт? Это более полный, более гармоничный способ познания действительности.

В сущности, математика, в отличие от прочих наук, не описывает свойства вещей и явлений. Этим занимаются физика, химия, астрономия. Математика дает логическое объяснение физическим явлениям. В этом она сродни литературному вымыслу, где в выдуманном мире действуют выдуманные персонажи. Математик привык докапываться до самых глубоких характеристик мира. Именно это качество объединяет его с писателем, которому также свойственно искать исток, где зарождается все сущее.

Математика выделяет и вырабатывает модели еще неизвестных состояний. Ученый-математик занимается чистым вымыслом, ему остается лишь применить этот навык в другой области. С таким же успехом можно отнести и к литературе.

Софья Ковалевская писала: «Многие, которым никогда не представлялось случая более глубоко узнать математику, считают ее наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего времени говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе».

Да, в этой женщине одновременно жили математик и поэт. «Мне кажется, - говорила она, -что поэт должен видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. И это должен математик».

А многие ломают голову над тем, как объяснить феномен Льюиса Кэрролла. А феномена-то не существовало, существовала простая закономерность. Но ее нужно было доказать.

В этой работе мы попытались объяснить с точки зрения математике некоторые эпизоды сказок Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье».

II. Основная часть

Часть 1.

Системы исчисления

Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Счет парами очень удобен. И не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до самого последнего времени было только два числительных: «один» и «два». А все числа, большие двух, получали названия в виде сочетаний этих двух числительных. Например, три -это «один, два», четыре - «два, два», пять - «два, два, один».

Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором», который всегда при нас. На пальцах можно решать примеры не только в пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Таким образом они могли, казалось бы, считать лишь до двадцати. Но с помощью этой «босоногой машины» люди могли достигать значительно больших чисел, так как они фактически пользовались двадцатеричной системой счисления: 1 человек - это 20, 2 человека - это два раза по 20 и т.д.

Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости.

На этой кости тридцать тысяч лет назад сделаны нарезки, они показывают, что уже тогда наши предки умели не только считать, но и записывать результаты счета!

Когда понадобилосьзаписывать большие числа, то для пятерок и десяток стали придумывать новые знаки. Со временем потребовались знаки для десятка десятков и так далее.Очень наглядной была система таких знаков у египтян: Вот как египтяне записывали число 3 246:

Запомнить большие числа трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Например, перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами. Веревочные счеты с узелками применялись и в России, и во многих странах Европы. Остатками этого способа является практикуемое еще до сих пор завязывание узелков на носовых платках «на память».

Так, одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие - палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые в конце концов привели к образованию различных систем счисления.

По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала просто необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью количества черточек или палочек. Затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. Примером такой системы счисления является пришедшая из Древнего Рима римская система, в которой числа изображались буквами латинского алфавита. Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах. Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских.

Казалось бы, удобные цифры должны были изобрести древние греки, которые создали математику как науку. Однако вычислениями греки не увлекались и поэтому ограничились просто тем, что обозначили числа буквами своего алфавита. Также, буквами, обозначались числа и в Древней Руси

Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы: они так любили вычислять, что даже математические книги писали в стихах! (Представляете себе, насколько легче было бы выучить таблицу умножения, если бы она была записана стихами?) Индийцы догадались, что значение цифры может зависеть от ее места в записи числа, именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.

Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря арабам, поэтому индийские цифры называют арабскими.

До этого в Европе пользовались римскими цифрами. О том, насколько трудны были вычисления с этими цифрами, говорят слова одного европейского ученого, который жил около 700 года: “В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее четырех действий арифметики!” Л. Генденштейн

Существовали системы исчисления и с другими основаниями.

В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд. Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда - числа 12 - "дюжина". Сохранился обычай считать многие предметы не десятками а дюжинами, например столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре
Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.

Официальное рождение двоичной арифметики связанно с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.
Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом "работал" полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по "условному сигналу" - комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

Система счисления – это знаковая система, имеющая алфавит, правила построения чисел и выполнение действий над ними. Десятичная с.с. (та система, которую мы используем повсеместно) зародилась в Древнем Египте во второй половине третьего тысячелетия до н.э.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Под позиционной системой счисления обычно понимается -ричная система счисления, которая определяется целым числом, называемым основанием системы счисления. Целое число без знака в -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

, где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах , левые нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
• 3 — троичная;
• 8 — восьмеричная;
• 10 — десятичная (используется повсеместно);
• 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
• 13 — тринадцатеричная;
• 16 — шестнадцатеричная (используется в программировании, информатике);
• 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов и, в частности, координат, долготы и широты).

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел, и каждое число в ней представляется как линейная комбинация:

, где на коэффициенты , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида как функции от смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда для некоторого , смешанная система счисления совпадает с показательной -ричной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней, часов, минут, секунд» соответствует значению секунд.

Факториальная система счисления

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов, и каждое натуральное число представляется в виде:

, где .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём 101-ую перестановку: 100 = 4!*4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; положим ti — коэффициент при числе i!, тогда t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, 101-я перестановка будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисления

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число в ней представляется в виде:

, где — числа Фибоначчи, , при этом в коэффициентах есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисления

Представление, использующее биномиальные коэффициенты

, где .

Система остаточных классов (СОК)

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулейс произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где

…

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в.

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .

Система счисления Штерна – Броко

Система счисления Штерна – Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко.

ЧИЛСА 0-17 В НАИБОЛЕЕ ПОЛЬЗУЕМЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯХ:

Числа в различных системах исчисления представляют одну и ту же  величину, но понимание, из-за разности значения одного и того же числа в различных системах исчисления,  разное. Это всё равно, что поставить фигурку среднего размера среди рядом с малыми, тогда она выглядит гигантом, а затем поставить ее вместе с настоящими большими фигурами, то тогда она уже будет казаться карликом, я думаю, что Л.Кэрролл хотел нам сказать это в одной из мыслей, заложенных в данной таблице умножения, мы должны воспринимать наш мир с разных сторон, например человек,казалось,бы мощнее всех иных живых организмов на земле, он как бы король, главный на нашей планете, но с другой стороны он ничтожно слаб по сравнению с землёй, со стихиями, также и земля огромна для людей, но всего лишь песчинка в бесконечном пространстве млечного пути, который в свою очередь также ничтожно мал по сравнению с размерами всей вселенной. Надо воспринимать мир именно таким образом и возможно тогда мы поймем наше мироздание, возможно Л.Кэролл давал нам представление не о конкретно существующей загадке ,а  дал всего лишь путь понимания который приведет нас, людей,  к истинному пониманию нашего сложного мира.

ОСНОВНЫЕ ПРОСТЫЕ ДЕЙТВИЯ С ПОЗИЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ ИСЧИСЛЕНИЯ(ПЕРЕВОД И ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ОСНОВАНИЯ СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ ПРИМЕРОВ ИЗ СКАЗОК КЭРОЛЛА).

Перевод чисел из десятеричной системы исчисление в другие системы исчисления.

При переводе из десятеричной системы исчисления в любую другую надо следовать алгоритму:

1. Делим десятичное числоА на основание системы исчисления, в которую надо перевести данное десятичное число. ЧастноеQзапоминаем для следующего шага, а остаток а записываем как младший бит ******ричного числа.
2. Если частное Qне равно 0 принимаем его за новое делимое и повторяем процедуру, описанную в шаге 1.Каждый новый остаток записывается в разряды ******ричного числа в направлении от младшего бита (МБ) к старшему биту.

1.Перевод в десятичную с.с.

Нам дано некое число А в Q-ичнойс.с.и нам нужно перевести его в десятичную систему счисления. Алгоритм перевода таков:

1. Представим число А в виде произведения каждого разряда числа на основание Q,где an,an-1,… - цифры числа А:

А=an* Qn+ an-1 * Qn-1 + … +a0 * Q0

2. Произведём вычисление и получим число в десятичной с.с.

Пример: дано число А=3718

3718= 3 * 82 + 7 * 81 + 1 * 80= 24910

4. Алгоритм продолжается до тех пор, пока в результате выполнения шагов 1, 2 не получится частное Q = 0 и остатка меньше основания данной системы исчисления.

Например, требуется перевести десятичное число 247в двоичное. В соответствии с приведенным алгоритмом получим:

Таким образом, искомое двоичное число равно 111101112.

Практическая часть:

Перевод числа из одной системы исчисления в другую сводится к делению числа на основание системы исчисления, в которую надо перевести данное число, к нахождению остатка от деление каждого последующего частного и последующей обратной записи остатков в старшего разряда к младшему. При обратном переводе надо значение каждого разряда числа умножить на основание системы исчисления в соответствующей степени. Например, 14 из десятеричной надо перевести в двоичную систему исчисления

14/2= 7 ост 0

7/2=3 ост 1

3/2= 1 ост 1

1/2=0 ост 1

Записываем остатки в обратном порядке: 1110 мы перевели число в двоичную систему исчисления.

При обратном переводе  каждый разряд числа умножаем на 2 в  соответствующей степени (степень считают, начиная с 0 считая от младшего разряда), получаем также 14.

В сказке «Алиса в стране чудес» Алиса говорит, казалось бы, абсурдные вещи: в её таблице умножения 4 умножить на 5 равно 12, а 4 умножить на 6 равно тринадцать. Но на самом деле это не абсурд, а просто другие системы исчисления 18ричная в 1 случае, 21ричная во 2 случае.

Для того чтобы проверить это сделаем следующее:

1)Сосчитаем данные числа в привычной нам таблице умножения 4 умножить на 5 равно 20, 4 умножить на 6 равно 24.

2) Переведём число  20 в 18ричную систему исчисления, следуя выше  изложенному алгоритму:

1  20/18 =1, 20-18=2 остаток 2 записываем в МБ,

2  1/18=0, остаток 1 записываем в старший бит 18ричного числа,

3  получаем (записываем в последовательности от старшего бита к младшему биту (МБ)):         искомое число 12, так мы разгадали секрет казалось бы абсурдной системы умножения.

Аналогично проверяем и 2 случай:

1. Число 24 переведём в 21ричную систему исчисления, следуя тому же алгоритму:
   1  24/21=1, 24-21=3 остаток 3 записываем в МБ

2  1/21=0, остаток 1 записываем в старший бит 21ричного числа, записав число в последовательности от младшего бита-к старшему, получаем искомое число 13.

Таким образом, мы разгадали данный шифр Льюиса Кэрролла (Чарльза Доджсона). Ещё раз мы убедились как в этих сказках много загадок и тайн. Становится ясно что «Алиса в стране чудес» - отнюдь не абсурд, а хорошо зашифрованное послание.

2 способ (более краткая запись 1 способа)

В десятеричной  системе исчисление при записи числа 10 идет в страший разряд числа в виде 1 а числа меньшие 10 записываются в младший разряд, например 10+7=17(10 записывается в старший разряд в виде 1, а 7 идет в младший разряд).  Аналогично записываются числа и в других системах исчисления. Как записать 20 в 18ричной системе исчисления?  20=18+2 ,  18 в данной системе исчисления равно 1 в старшем разряде,

а 2 идет в младший разряд, получаем 12. Таким образом, запишем 24 в 21ричной системе: 24=21+3 21 записывается в виде 1 в старший разряд числа, 3 записывается в младший разряд, получаем 13.

Так что хотел нам сказать писатель, возможно, он показал многоранность нашего мира, что нельзя всё воспринимать с одной стороны,  возможно и то, что 18 и 21 ричная системы исчисления можно использовать для решение каких то необьяснимых и глобальных  задач и проблем, не зря же автор выбрал именно эти системы исчисления среди всего огромного количества таких систем.

Опытным путем я вывел формулу для более простого нахождения основания системы исчисления в которой данное число будет принимать данное значение, например:

1310= 25х

Мы знаем, что в десятиричной системе исчисление после достижение в слагаемых числа равного основанию, то есть 10 к старшему разряду прибавляется 1 а в младшем идет обнуление и прибавление числа если оно меньше основания системы исчисления, то есть меньше 10 например 17+12=17+10+2=10+10+7+2(в старший разряд идет 1, т.е1+1=2, в младшем идет округление и прибавляется число, если он меньше 10, в данном случае 2+7=9 меньше чем 10 поэтому оно идет в младший разряд:0+9=9 получаем число 29). Поэтому можно сделать вывод:

Любое число можно представить в виде kx+n, где k-коэффициент показывающий количество слагаемых равных основанию системы исчисления, n-число которое меньше основания причем k должно быть меньше х и также n должно быть меньше х(т.к мы рассматриваем только двузначные числа). Из этого можно сделать вывод, что любое число можно записать в виде kn(х-не пишется он присутствует только в виде единицы в старшем разряде). Следовательно, данный пример: 1310= 25х

Решается следующим образом:

13=25т.к 25=kn то можно составить уравнение, добавив неизвестное основание системы исчисления:

13=kx+n

Т.кk=2, n=5 то:

13 = 2х+5

2х = 13-5

2х = 8

Х=4

Данная формула верна только для двузначных чисел числа большего значения нас не интересуют, так как в таблице умножения из сказки даны только двузначные числа. Теперь рассмотрим эту формулу на примере из таблицы умножения Алисы:

20=12х,т.к  12=kn, то :
20=1*х+ 2

Х=20-12=18 действительно способом перевода мы доказали что это утверждение верно. Данная формула имеет и свои ограничения первое число в данной системе исчисления должно быть больше чем второе число в данной системе исчисления, эта формула достаточно проста и помогает упростить нахождение основания системы исчисления в данных в таблице Алисы примеров.

Можно поступить и другим способом зная алгоритм перевода в дестятиричную систему исчисления составим уравнения приняв за х основание системы исчисления:

2010=1*Х1+2*Х0

20=Х+2

Х=18.

Получаем, что основание системы счисления равно 18.

Проверим второй пример: 6*4=13

Составляем такое же уравнение, зная, что в десятичной системе 6*4=24.

2410=1*Х1+3*Х0

24=Х+3

Х=21.

Получаем, что основание системы счисления равно 21.

Системы исчисления очень сложная и увлекающая тема не зря автор привлек нас к ее изучению, ведь она позволяет развить более объёмное мышление, научиться воспринимать одну  и ту же позицию с разных точек зрения , что действительно служит ключом к понимаю загадок нашего непонятого нами мира.

Часть 2.

Кротовы норы.

Мы рассмотрели эпизоды, когда Алиса падает в кроличью нору. Она думает, что может пролететь насквозь и приземлиться в противоположном полушарии. Это еще одна из головоломок, загаданных нам Льюисом Кэрроллом.

Научным объяснением такого падения может служить теория астрофизиков о наличии «кротовых нор». Кротовая нора — это тонкая пространственно-временная трубка, которая может соединять две далекие друг от друга области почти плоского пространства.

Модель кротовой норы: 
1. Обычное пространство снаружи кротовой норы 
2. Вход в кротовую нору 
3. Туннель между областями пространства 
4. Путь луча света через кротовую нору 
5. Путь луча света по обычному пространству

Здесь прослеживается отдаленное сходство с той ситуацией, когда вы находитесь у подножия высокого горного хребта. Чтобы попасть на другую сторону, нужно долго взбираться наверх, а затем спускаться. Но этого не потребуется, если толщу скальной породы пронизывает гигантский горизонтальный тоннель. Предположим, что можно создать или найти кротовую нору, ведущую из нашей Солнечной системы к альфе Центавра.

Протяженность такой норы могла бы составлять всего несколько миллионов километров, хотя в обычном пространстве расстояние между Землей и альфой Центавра составляет около сорока миллионов миллионов километров. Если бы мы передали через кротовую нору известие об итогах стометрового забега, наше сообщение успело бы достичь цели задолго до открытия конгресса. Но тогда наблюдатель, летящий к Земле, тоже нашел бы кротовую нору, которая позволила бы ему добраться до Земли с открытия конгресса на альфе Центавра перед началом забега. Так что кротовые норы, подобно любым другим способам сверхсветового перемещения, позволили бы путешествовать в прошлое.

Если кротовые норы существуют, они могут служить кратчайшими путями между удаленными точками космического пространства. 

Важно заметить, что идея кротовых нор, соединяющих различные области пространства-времени, не выдумана фантастами, а восходит к очень авторитетному источнику. В 1935 г . Альберт Эйнштейн и Натан Розен написали работу, в которой доказывали, что общая теория относительности допускает образование того, что они назвали «мостами» и что теперь известно как кротовые норы.

Для  того, чтобы держать кротовую нору открытой или для сворачивания пространства-времени любым другим способом, допускающим путешествия во времени, нужна область пространства-времени с отрицательной кривизной, подобная поверхности седла. Обычная материя, обладающая положительной плотностью энергии, придает пространству-времени положительную кривизну, напоминающую поверхность сферы. Поэтому для такой деформации пространства-времени, которая позволит путешествовать в прошлое, понадобится материя с отрицательной плотностью энергии.

Но классические законы исключали отрицательную плотность энергии и, соответственно, всякую возможность путешествий по  времени. Квантовые же законы, основанные на принципе неопределенности, либеральнее и допускают перерасход средств на одном или двух счетах при условии, что общий баланс положителен. Иначе говоря, квантовая теория допускает отрицательную плотность энергии в некоторых областях пространства, при условии что она компенсируется положительной плотностью энергии в других областях, так чтобы энергия в целом оставалась положительной.

А потому, у нас есть основания полагать, что пространство-время может быть деформировано, причем его можно свернуть так, что это сделает возможными путешествия во времени.

Рассмотрим более подробно сам пространственно – временной континуум. Пространство - время  — это физическая модель, дополняющая пространство равноправным временным измерением и таким образом создающая теоретико-физическую конструкцию, которая называется пространственно-временным континуумом.

В рамках общей теории относительности пространство-время имеет и единую динамическую природу, а его взаимодействие со всеми остальными физическими объектами (телами, полями) и есть гравитация. Таким образом, теория гравитации в рамках ОТО и других метрических теорий гравитации есть теория пространства-времени, полагаемого не плоским, а способным динамически менять свою кривизну.

Пространство-время непрерывно и с математической точки зрения представляет собой многообразие с лоренцевой метрикой.

Первый развёрнутый и самый значимый вариант модели естественного объединения пространства и времени, пространство Минковского, был создан Германом Минковским в 1908 году на основе специальной теории относительности Эйнштейна, а несколько ранее (в 1905 году), ключевое продвижение на этом пути сделал Анри Пуанкаре, заложивший основы четырехмерного пространственно-временного формализма.

Ключевым математическим отличием пространства-времени (пространства Минковского, или, в случае общей теории относительности — четырехмерного многообразия слоренцевой метрикой) от обычного евклидова 4-мерного пространства является то, что при вычислении расстояния (интервала) квадраты значений разностей времени и длин пространственных координат берутся с противоположными знаками (в обычном пространстве соответствующие значения равноправны для любой оси координат и имеют одинаковый знак).

Из этого вытекает следующее: прямая между двумя точками этого континуума (под прямой понимается движение по инерции) даёт максимальную продолжительность собственного времени (интервала). Для пространственной же длины прямая — это минимальная, а не максимальная величина.

Надо заметить, что концепция пространства-времени сыграла исторически ключевую роль в создании геометрической теории гравитации. В рамках общей теории относительности гравитационное поле сводится к проявлениям геометрии четырехмерного пространства-времени, которое в этой теории не является плоским (гравитационный потенциал в ней отождествлен с метрикой пространства-времени).

Что же такое это такое – этот самый известный пример пространства-времени? Пространство Минковского ― это четырёхмерное псевдоевклидово пространство, предложенное в качестве геометрической интерпретации пространства-времени специальной теории относительности.

Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в лоренцевых (или галилеевых) координатах, три координаты которой представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― координату , где  - скорость света,  ― время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом интервала:

(Нередко в качестве квадрата интервала берется противоположная величина, выбор знака — вопрос произвольного соглашения. Так, первоначально сам Минковский предложил именно противоположный знак для квадрата интервала).

Множество всех векторов с нулевым квадратом интервала образует коническую поверхность и называется световым конусом.

Псевдоевклидова  метрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или лоренцевой метрикой. Под лоренцевой метрикой понимают или метрику, явно соответствующую этому определению в выбранных координатах (и определяющую таким образом выбор координат), или метрику, которая может быть сведена к таковой подходящим выбором непрерывных координат. Лоренцев метрический тензор обычно обозначается , он задаёт квадратичную форму сигнатуры . Термин лоренцева метрика или метрика Минковского может применяться и в случаях размерностей, отличных от 4. Тогда это обычно означает, что одна координата играет роль времени, а остальные — пространственных координат.

Преобразования Лоренца псевдоевклидова пространства сигнатуры  находят широкое применение в физике, в частности, в специальной теории относительности (СТО), где в качестве аффинного псевдоевклидова пространства выступает четырёхмерный пространственно-временной континуум (пространство Минковского).

Псевдоевклидово пространство - конечномерное вещественное векторное или аффинное пространство с невырожденным индефинитным скалярным произведением, которое называют также индефинитной метрикой. Индефинитная метрика не является метрикой в смысле определения метрического пространства, а представляет собой частный случай метрического тензора. (Важнейшим примером псевдоевклидова пространства является пространство Минковского.)

Важной особенностью пространств с индефинитной метрикой является наличие ненулевых векторов, имеющих нулевую длину.

Такие векторы (а также прямые, направляющими векторами которых они являются) называются изотропными или светоподобными (последнее наименование чаще используется в физике, оно связано с пространством Минковского). Подпространство векторного псевдоевклидова пространства называется изотропным, если оно целиком состоит из изотропных векторов.

Множество всех изотропных векторов псевдоевклидова векторного пространства называется изотропным конусом (или световым конусом) этого пространства. Световой конус пространства сигнатуры  не содержит «граней».

Итак, вспомним, что астрофизики предполагают, что во Вселенной существуют «кротовые норы», по которым время течет взад-вперед. Причем пройдя по такому туннелю можно оказать не только в другой точке Вселенной, но и в другом временном измерении, а может быть и в другой Вселенной… Льюис Кэрролл на примере своего неподражаемого царства абсурда показывает на самом деле иллюстрацию к одной из серьезнейших научных гипотез. Так может быть Алиса могла пролететь Землю насквозь?

Применение теории групп к теории стихосложения.

В данных сказках мы смогли дать объяснения двум эпизодам с помощью законов математики. Стихотворение о Бармаглоте не оставляло нас равнодушными. Нам очень хотелось привязать одну из математических теорий к теории стихосложения. Работая над этой частью проекта ,мы пришли к мнению, что раскрыть этот вопрос нам поможет теория групп.

Данная глава посвящена проблеме формального стихосложения в целом. На основании исторического обзора мы сделали заключение, что серьезный вклад в решение этой проблемы был сделан исключительно математиками на основе теории групп.

С самого нашего рождения нас окружают стихи. Мы учимся понимать колыбельные песни, потом выучиваем наизусть «Муху-Цокотуху», «Мойдодыра» и т.д. Мы уже окружены абстракциями-плодами нашего воображения: Бармалея еще никто не видел, но все боятся.

Потом приходит черед классики в школьной программе:

«Буря мглою небо кроет…»

«Я встретил Вас – и все!...»

«Откуда дровишки?»

-все совершенно просто, понятно, и не требует специальной подготовки.

  Что позволило нам обратить внимание на внутренние законы языка? Грамотно построенный пример, типичный пример абстрагирования. Раньше смысл слов заслонял эти законы. А  в примере каждое слово по отдельности не несет для нас никакого смысла, а все вместе создают вполне отчетливую картину событий.

 Следует, однако, отметить, что приоритет в открытии указанных законов языка принадлежит не лингвисту, а математику – знаменитому Чарльзу Додсону (1832-1898). Он известен всему миру под псевдонимом Льюис Кэрролл, отрывок из его книги «Алиса в Зазеркалье» мы  и приводим:

«Twas brilling, and the slithy toves

Did gyre and gimble in the wabe:

All mimsy were the borogoves,

And the mome raths outgrabe».

 Творчество Кэрролла имело сильное влияние на математику. Поэтому английский астроном Эддингтон сравнил формальную структуру слова стихотворения  о Бармаглоте с областью современной математики, известной как теория групп.

 Теория групп – это раздел абстрактной алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойствами.

 У теории групп три исторических корня: теория алгебраических уравнений, теория чисел и геометрия.

 Абстрактная теория групп нашла блестящее применение в решении еще более конкретных проблем физики элементарных частиц. Здесь возможности теории групп обусловливаются наличием довольно запутанных групп явных и скрытых симметрии во взаиморасположения и взаимодействиях ядерных частиц. Успех теории групп в систематизации массы экспериментальных данных, а также в предсказании существования новых элементарных частиц, очевидно, свидетельствует о пользе абстракций в поисках вполне реальных истин.

 Причем математическое описание стихотворения о Бармаглоте  оказалось, весьма сходным с описанием некоей элементарной частицы. Не так давно российский физик Анатолий Серебров во время серии опытов с нейтронами добился того, что часть их бесследно исчезла. Для объяснения этого феномена была выдвинута гипотеза о том, что существует так называемое «зеркальное вещество», состоящее из частиц, являющихся «аналогами» электронов, протонов и фотонов из нашего мира. Частицы могут переходить из нашего измерения в «зеркальное», а затем обратно – скажем, под воздействием магнитного поля.

Практическая часть

Для перевода одного из четверостиший стихотворения Бармаглот мы взяли: «Twas brilling, and the slithy toves

Did gyre and gimble in the wabe:

All mimsy were the borogoves,

And the mome raths outgrabe»

Алгоритм нашего перевода:

1. Каждому слову подобрали по несколько различных переводов: по написанию, произношению.
2. Из переводов слов создали смысловые группы.
3. Из каждой группы выбрали одно слово, характеризующее всю группу.

Хотим представить вашему вниманию перевод четверостишья с применением абстрактной теории групп по смысловой связи:

«Было время готовить обед - конец полудня, и  вязкие, липкие, податливые, барсуки с гладкой белой шерстью, длинными задними ногами и короткими рожками как у оленя, питающиеся в основном сыром.

Кружились и вворачивались в сторону холма, в которую впитывался дождь

Все несчастные попугаи вымершего вида, без крыльев, с вывернутым вверх клювом, строят гнезда под солнечными часами и питаются телятиной

И земляные черепахи с прямой головой, ртом как у акулы, и такими изогнутыми ногами, что животное ходит на коленях, питающиеся ласточками и устрицами торжественно пищали».

Анализ и обобщение:

Анализируя проделанную нами работу, мы можем сделать вывод:

Приключения Алисы – это конечно ключ к тайнам познания.

1. Таблица умножения Алисы – это таблица умножения в 18-ричной и 21-ричной систем счисления.

2. Падение Алисы в кроличью нору и ее рассуждения о том, что она может пролететь Землю насквозь и приземлиться в противоположном полушарии, объясняется теорией относительности и пространством Минковского.

     Взяв за путь, радиус земли, время полета = времени сюжета по мультфильму, рассчитали приблизительную скорость  полета Алисы в кроличьей норе, и получили, что скорость стремиться к скорости света. При такой скорости законы классической механики не могут описывать движение тел, а значит, вступает в силу теория относительности, и это нас навело на поиски пространства, в котором присутствует скорость света. Одним из таких пространств является пространство Минковского.

3. В стихотворении о Бармаглоте мы успешно преломили теорию групп, создав новый перевод, заметно отличающийся от уже существующих. Мы хотим отметить, что он обладает большей осмысленностью, хотя потерял свою стихотворную форму.

Научные математические объяснения, взятых нами эпизодов сказок, это хорошо, но остается для нас загадкой: Почему автор, используя 4-мерное пространство в полете, не взял примеры таблицы умножения в системах счисления кратных 4.  

Абсурд?!

Литература:

1.Поэзия трехмерного пространства        mhtml:file

2.Математики о математике                    http://ega-math.narod.ru

3.Теория групп-Википедия    

4.Льюис Кэрролл «Бармаглот»                http://be.convdocs.org

5.Системы счисления. Перевод чисел из одной в другую.    forum.sources.ru

6.Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую. ivanovff.edusite.ru

7.Теория групп.                   biblioteka.ru

8.Элементы теории групп.            bodrenko.org  

9.Математика и литература, что общего между ними?    otvet.mail.ru

10.  Основания математики и математическая логика.  mathematic.by

11.Новые слова в стихотворении «Бармаглот».     coolib.net

12.Язык как инстинкт.     e-reading.by

13. Кротовые норы и временные петли.     galspuc.spb.ru,vokrugsveta.ru

14.Мост между мирами.                    clubs.ya.ru

15.Временные петли.            algredos.ru

16.Теория относительности.Эйнштейн.     lib.mexmat.ru

17.Теория относительности.       elunenty.ru

18.Теория относительности – Викепидия

19.Пространство Минковского – Викепидия

20.Пространство Минковского метрическая геометрия – Викепидия

21.Минковского пространство – время .   femto.com.ua, dic.academic.ru

22.Пространство Минковского - Эйнштейна и реальный многомерный мир.

matdial.narod.ru

Приложение  1

к главе «Кротовы норы»

       По сказке, Алиса попадает в кроличью нору, которая находится в земле. Мы предположили, что девочка проделывает путь к центру земли. Взяв за путь, радиус земли, время полета, равное времени сюжета по мультфильму, рассчитали и получили, что  .

Эта скорость сопоставима со скоростью снаряда.

Но по законам физики в этом случае мы пренебрегаем вторым законом Ньютона.

.

       Поэтому мы пришли к выводу, что при увеличении ускорения увеличивается скорость, а ускорение мы брали постоянным. Значит, на самом деле скорость была еще больше, а значит, мы приближаемся к скорости света, поэтому законы классической механики не могут описывать движение тел со скоростями, близкими к скорости света.

       Ускорение стремится к бесконечности и скорость тоже, т.е. конечная скорость больше скорости света, что противоречит законам классической механике, а значит, вступает в силу теория относительности.

Подтверждением  ТО являются изменения роста девочки, т.к. по преобразованию Лоренца – длина покоящегося  тела всегда длиннее движущегося

Анализируя данную формулу, понимаем, что скорость Алисы меньше скорости света, иначе . Значит, что .

        По сценарию автор является сторонним наблюдателем полета Алисы (присутствие комментариев в мультфильме) и он видит падение в замедленном темпе, а по  словам девочки она движется очень быстро, это объясняется только с точки зрения  относительности промежутков времени (доказательством того, часто появляющиеся часы кролика, практически стоящие на месте).

На основании этого мы предполагаем, что Алиса попадает в пространство Минковского.

Приложение  2

к главе «Применение теории групп к теории стихосложения»

Льюис Кэрролл

JAABBERWOCKY

(оригинал)

Twas brilling, and the slithy toves

Did gyre and gimble in the wabe:

All mimsy were the borogoves,

And the mome raths outgrabe.

Перевод Д. Орловской

«Бармаглот»

Варкалось. Хливкие шорьки

Пырялись по наве,

И хрюкотали зелюки,

Как мюмзики в мове.

Перевод В. И Л. Успенских

«Баллада о Джаббервокке»

Сварнело. Провко ящуки

Паробуртелись по вселянке;

Хворчастны были швабраки

Зелиньи чхрыли в издомлянке.

Перевод Т. Щепкиной – Куперник

«Верлиок»

Было супно. Кругтелся, винтясь по земле.

Склипких козей царапистый рой.

Тихо мисиков стайка грустела во мгле,

Зеленавки хрющали порой.

Дословный перевод,

выполненный ученицами 10 и 11 классов

 А. Рой и П. Чилиняк

Было время готовить обед – конец полудня,

и вязкие, липкие, податливые барсуки с гладкой белой шерстью, длинными задними ногами и короткими рожками как у оленя, питающиеся в основном сыром

Кружились и вворачивались в сторону холма,

 в которую впитывается дождь,

Все несчастные попугаи вымершего вида без крыльев,

с вывернутым вверх клювом, которые строят гнёзда

под солнечными часами и питаются телятиной

 И земляные черепахи с прямой головой, ртом как

у акулы, такими изогнутыми ногами, что животное

ходит на коленках, гладким зелёным телом,

 питающиеся ласточками и устрицами,

торжественно пищали.