Научно-практическая конференция "Парадоксы и софизмы"

Школьная ученическая научно-практическая конференция

«Поиск и творчество»

Математические парадоксы и софизмы

доклад

Выполнено учениками 5К2

МАОУ СОШ №24:

Бицанс Данила

Андрющенко Даниил

Дадушина Дарья

Научный руководитель:

Учитель математики

Мавлютова Е.И.

Калининград 2016

Рецензия

 на работу «Математические парадоксы и софизмы»

Работы учеников 5 К2 класса Бицанса Д., Андрющенко Д., Дадушиной Д. посвящена интересной теме парадоксов и софизмов. Тема очень увлекательна и содержательна, развивающая познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям.

Ребята исследовали виды парадоксов, разобрали наиболее интересные примеры, а также провели опрос среди 5,6 и 8 классов на умение находить ошибки в софизмах.

Учитель математики           __________________ Мавлютова Е.И.

Содержание

Введение ___________________________________________________

Основная часть:

Что такое парадокс______________________________________

Что такое софизм________________________________________

          Сравнение софизмов и парадоксов__________________________

Примеры парадоксов_____________________________________

Примеры софизмов ______________________________________

Практическая часть

Заключение

Литература

1. Введение

 «Дважды два равно пяти», «Два равно трем» - каждый из нас слышал такие фразы хоть раз в жизни. На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел? Именно эти вопросы мы и решили рассмотреть в своей работе, название которой - Математические парадоксы и софизмы. Эта тема сейчас актуальна, потому что софизм и пародокс - это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью них люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад.

Задачи, связанные с парадоксами и софизмами не похоже на остальные. Они как будто бы правильные, но в то же время неправильные. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука.

Цель нашего доклада: исследование математических софизмов и парадоксов, привлечение интереса учащихся к урокам занимательной математики. Значимость реферата: занимаясь этой работой, мы углубили свои знания в математике.

II. Основная часть.

Что такое парадокс?

В настоящее время термин парадокс прочно вошел в нашу речь. Его можно встретить и в научных текстах (парадоксальный сон, парадоксы природы, парадоксы науки, парадоксы творчества) и в повседневной речи («ну это уже парадокс») и художественной литературе («О сколько нам открытий чудных готовят просвещенья дух, и опыт, сын ошибок трудных, и гений, парадоксов друг»). Поэтому вполне естественно, что термин парадокс понимается по-разному в разных ситуациях.

Парадокс – странное умозаключение, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее здравому смыслу, на самом деле справедливо.

Можно выделить математические и логические парадоксы. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь. 

Логические парадоксы – это парадоксы, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла.

Казалось бы, парадокс –  и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер.

 Что такое софизм?

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного.

        Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».

 Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. 

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил.

Сравнение софизмов и парадоксов

Из определений можно вывести отличие между софизмом и парадоксом: отношение к истине. Несмотря на то, что и софизм и парадокс доказывают на первый взгляд абсурдные вещи, парадокс это верное утверждение, в то время как софизм изначально ложное. Парадокс – это абсолютная истина, софизм – относительная истина.

Внешне парадоксы очень похожи на софизмы, поскольку тоже приводят рассуждения к противоречию, главное же различие между ними заключается в том, что софизм – это ложь, обряженная в одежды истины, а парадокс – истина в одеждах лжи. Это, конечно, образное сравнение, но оно довольно точно схватывает суть проблемы. В действительности связь софизмов и парадоксов более тонкая и сложная. Парадокс может быть следствием некоторых софизмов. Парадоксальный вывод обязывает искать источник парадокса, заставляет выбираться из круга, в котором оказалось наше рассуждение и искать иной путь.

Примеры парадоксов

1. «Парадокс кучи».  Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе.

Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху: 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т.д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс – сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей.         Такое рассуждение нельзя применять, так как не определено само понятие «куча». 

2. Логический парадокс. Миссионер очутился у людоедов и попал к обеду. Они разрешают ему выбрать, в каком виде его съедят. Для этого он должен произнести какое-нибудь высказывание с условием, что, если это высказывание окажется истинным, то они его сварят, а если оно окажется ложным, то его зажарят.

Умный миссионер сказал: «Вы зажарите меня». Если его действительно зажарят, окажется, что он высказал истину, и значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным, и его следует как раз зажарить. Выхода у людоедов не оказалось: из «зажарить» вытекает «сварить», и наоборот. Миссионера не съели, и все людоеды стали христианами.

Примеры софизмов

1. Один рубль не равен ста копейкам.  Возьмем верное равенство:
   1 р. = 100 к.,

Возведем его по частям в квадрат, получим:
1 р. = 10000 к. Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.
   (Ошибка: возведение в квадрат величин не имеет смысла, в квадрат возводятся только числа).

2. 2 x 2= 5 Имеем числовое тождество:

4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки общий множитель:

4(1:1) = 5(1:1).

Числа в скобках равны - их можно сократить. Получим:    4 = 5 

Или                              2*2=5

Ошибка сделана при вынесении общих множителей 4 из левой части и 5 из правой. Действительно, 4:4=1:1, но 4:4≠4(1:1). Так выносить за скобки нельзя!

3. 5=6  Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем                                        5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя)

III. Практическая часть

По последнему софизмы (5=6) мы решили провести опрос у учащихся 5,6 и 8 классов. Мы доказали, что 5=6 и спросили, согласны ли они с нашими доказательствами. Результаты опроса следующие:

5 классы:

Согласились  - 90%

Заметили, что что-то не так – 10%

Нашли ошибку – 0%

6 классы:

Согласились  - 80%

Заметили, что что-то не так – 10%

Нашли ошибку – 5%

8 классы:

Согласились  - 10%

Заметили, что что-то не так – 80%

Нашли ошибку – 10%

IV. Заключение

В истории развития математики софизмы и парадоксы играли существенную роль. И. П.  Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Исследовать софизмы и парадоксы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки. Перед тобой открывается какой-то особый мир рассуждений, которые поистине кажутся верными. 

Нами были рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов. На самом деле их намного больше. А закончить я бы хотел словами Б. Паскаля:

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев сделать его немного занимательным»

IV. Литература

1. «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А.Г. Мадера, Д.А. Мадера. Москва «Просвещение» 2003.

2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3.  «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.

4. Софизм Эватла  (англ.). — в Smith's Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology.

5. Ивин А. А. Логика: Учебное пособие. — 2-е изд. — М.: Знание, 1998. 

6. Ресурсы интернета