Межтерриториальная НПК «Грани науки  - 2018»

Естественно-математическое направление (математика)

Удивительное - рядом
(исследование свойств ленты Мёбиуса).

Работу выполнил: Слободин Дмитрий,

7м класс МАОУ ПГО «СОШ №8»

Руководитель: Кротова Е.В.,

учитель математики

2018

Содержание

Введение………………………………………………………………………...3

1. Кто какой Мёбиус и что он открыл…………………………………….5
2. Как самому сделать лист Мёбиуса……………………………………..6
3. Что удивительного в ленте Мёбиуса……………………………………7
4. Как люди используют открытие Мёбиуса……………………………12
5. Что ещё можно придумать……………………………………………..14

Заключение…………………………………………………………………….16

Литература……………………………………………………………………..17

Введение.

Мое знакомство с лентой Мёбиуса началось с изображения, которое я увидел на символе Google Drive, и мне стало интересно, что оно обозначает.

Подобный символ я заметил на некоторых упаковках с продуктами и решил подробнее изучить этот объект.

Оказалось, что это Международный символ переработки. Этим знаком принято помечать всю продукцию, которая может быть переработана для последующего использования. Знак представляет собой три закрученные стрелки, собранные в замкнутую фигуру. От взрослых я узнал, что эта фигура называется лента Мебиуса.

В следующий раз похожую фигуру я увидел на значке механико-математического факультета МГУ.

Оказалось, что это тоже лента Мебиуса – символ факультета, где учатся будущие математики. А так как математика – мой любимый школьный предмет, то тогда я решил исследовать, что же такое лента Мебиуса?

Важным для понимания математических закономерностей, особенно в разделе «Геометрия», является развитие пространственного воображения у обучающихся. Я выяснил, что этому способствует изучение такого раздела математики, как топология. Топология — часть математики, изучающая в самом общем виде явление непрерывности пространства и плоскости. Топология не входит в учебную программу математики, но, на мой взгляд, представляет большой интерес. Я решил расширить свои знания по математике и поделиться ими со школьниками. Поэтому считаю, что выбранная мною тема исследования является актуальной.

Цель проекта: исследование свойств ленты Мёбиуса.

Для решения поставленной цели рассмотрел ряд задач:

1. Ознакомиться с биографией Мёбиуса и его научными работами.
2. Систематизировать информацию о листе Мебиуса и его свойствах.
3. Собрать информацию о применении свойств листа Мебиуса в науке и технике.
4. Провести опыты с лентой Мёбиуса.
5. Рассмотреть перспективы применения ленты Мёбиуса.

Объектом исследования выбрал лист Мёбиуса, как элемент топологии, ярко демонстрирующий его основные свойства.

Методы исследования: изучение литературы, анализ, синтез, моделирование.

1. Кто такой Мебиус и что он открыл.

Август Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием.

В 1858 г. установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса).

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего, отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Лента Мебиуса – это удивительное по своей красоте и простоте математическое изобретение. Существует легенда, что это открытие было сделано совершенно случайно, как многие великие изобретения. Математическое открытие Мебиуса послужило началом нового раздела науки – топология.

Что же это за таинственная лента - лист Мёбиуса? Лента (лист) Мёбиуса – это замкнутая полоска, имеющая один край и одну сторону. Ведь попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

2. Как самому сделать ленту Мёбиуса?

Оказывается, сделать ленту Мебиуса самому совсем не сложно. Чтобы убедиться, что этот объект имеет только одну сторону и один край, сначала сделаю простое кольцо из полоски бумаги.

1. Вырежу из бумаги полоску.

2. Склею из полоски простое кольцо.

Совершенно очевидно, что у этой фигуры две стороны и два края.

Теперь изготовлю ленту Мёбиуса.

1. Снова вырежу из бумаги точно такую же полоску.

2. Поверну один из краев полоски на пол-оборота, т.е. на 180 град.

3. Соединяю края полоски и склеиваю их.

4. Лента Мебиуса готова!

Из обыкновенной полоски бумаги у меня получилась фигура, которая называется лента (лист) Мёбиуса. Этот простой объект имеет удивительные свойства, а именно, одну сторону и один край. Но как это возможно? Буду доказывать эти свойства самостоятельно.

3. Что удивительного в ленте Мёбиуса?

Если рассуждать, теоретически, то с лентой Мёбиуса можно производить немалое количество комбинаций.

Если обычную ленту разрезать вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (в два раза больше закручена оборотов, чем сама лента Мёбиуса) лента, которую называют в наше время «Афганская лента».

Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, то получаются уже две ленты, намотанные друг на друга.

Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края примерно на треть или четверть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами, а это значит, что получается снова «Афганская лента».

Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

 Свойства листа Мёбиуса с теоретической точки зрения:

1. Односторонность. Лист Мёбиуса имеет одну сторону, а значит и одну грань.
2. Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой, так как разрывов нет, а значит непрерывность полная.
3. Связность. Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска (части). Точно также если разрезать яблоко на две части, но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, а вот уже, например, телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат и ромашка — односвязны, кольцо и оправа от очков — двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры — многосвязны. На основе данных примеров можно сказать, что лист Мёбиуса также двусвязен, так как при разрезании его вдоль, получим не два кольца, а одну ленту.
4. Хроматическое число № 6.  Хроматическое число — это максимальное число областей на которые можно поделить поверхность так, что каждая будет иметь общую границу со всеми другими. Если по-разному выкрасить эти области, то любой цвет должен соседствовать со всеми остальными.  

Все эти свойства показывают, что этот лист и вправду необыкновенный!

Для подтверждения всех комбинаций и свойствах листа Мёбиуса решил провести ряд опытов и продемонстрировать их школьникам для расширения своего кругозора и развития логического мышления.

Опыт № 1(проверка свойств — односторонность и непрерывность) 

Сначала докажу, что эта простая фигура имеет одну сторону. Итак, возьму фломастер, ставлю точку в любом месте в середине полосы и начинаю рисовать линию вдоль полосы, не отрываясь.

Результат: В итоге, линия привела в исходную точку! Таким образом, линия нарисована по всей полосе, а это доказывает, что у этой фигуры только одна сторона. Вывод из этого эксперимента: лента Мёбиуса имеет одну сторону, а не две и нигде не прерывается.

Опыт № 2 (проверка на количество краёв в листе Мёбиуса) 

Закрасил непрерывной линией только один край колец как обычного кольца, так и кольца Мёбиуса.

Результаты: Обычное кольцо: один край кольца был закрашен, а второй край нет. Значит, имеет два края, так как второй остался чистым. Кольцо Мёбиуса: линия края получилась, оказалась закрашена вся. Следовательно, лист Мёбиуса имеет один край.

 Опыт № 3 (что же произойдет, если разрезать обычное кольцо и кольцо Мёбиуса?).

Разрезал данные кольца посередине.

Результат: Обычное кольцо: получилось 2 кольца с одинаковой длиной и шириной (ширина будет одинакова, только если разрезать пополам, а длина всегда остается неизменной). Кольцо Мёбиуса: получилось одно перекрученное кольцо, но уже в виде восьмёрки (или бесконечности), причем длина которого в два раза больше, а ширина в два раза уже.

Опыт № 4 (Что же произойдет, если разрезать разрезанный лист (ленту) Мёбиуса?)

Порезал данную, получившуюся ленту Мёбиуса на две равные части.

 Результат:  Два сцепленных друг с другом кольца, тем самым очередной раз подтвердил свойство непрерывности.

Опыт № 5 (Что же произойдет, если разрезать ленту Мебиуса на небольшом расстоянии от края?)

Разрежу ленту Мёбиуса на небольшом расстоянии от края.

Результат:  Получились два кольца разного размера, сцепленные между собой!

Это похоже на фокусы! Какие еще сюрпризы таит в себе это изобретение? Наверно, ученые, математики, конструкторы, архитекторы смогут найти немало способов использования этого удивительного открытия, сделанного много лет назад астрономом и математиком Мебиусом.

4. Как люди использовали открытие Мёбиуса.

Лента Мебиуса вдохновила людей многих профессий на создание необычных и сложных творений.

Архитекторы и скульпторы сконструировали и воплотили в жизнь необыкновенные проекты зданий и сооружений.

Конструкторы и изобретатели придумали сложные технические устройства, например, головокружительные аттракционы.

В виде парадоксальной геометрической фигуры изготавливаются также лопасти обычного бытового миксера.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

В большинстве матричных принтеров, внутри находящееся красящее устройство также имеет вид листа (ленты) Мёбиуса для увеличения его ресурса.

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, ведь именно он предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, следовательно, сразу с двух сторон.

Удивительные свойства листа Мёбиуса использовали фокусники, ювелиры, художники, писатели-фантасты!

5. Что еще можно придумать?

Если пофантазировать, то можно придумать еще больше способов использования удивительных свойств ленты Мёбиуса, например, гоночные треки для велосипедных и автомобильных гонок, или специальные конструкции подъемников на горнолыжных трассах.

Мне кажется, что принцип ленты Мебиуса может быть полезен и космической отрасли. Он может быть использован, например, в конструкции тренажера, на котором космонавты могут готовиться к полетам.

В настоящее время космонавты тренируются в центрифуге, чтобы смоделировать перегрузки, которые они будут испытывать при старте ракеты и спуске на Землю.

Космонавт размещается в специальной кабине, и вся конструкция начинает крутиться с большой скоростью. Специальные датчики показывают состояние человека и дают сигнал, если требуется остановка агрегата. Таким образом, тренируют вестибулярный аппарат и оценивают готовность космонавта к перегрузкам.

Я думаю, что для этих целей может быть сконструирован тренажер, основным элементом которого является лист Мебиуса. Этот тренажер представляет собой большую пластину, скрученную в ленту Мебиуса. По всей длине пластины в центре расположен монорельс, на котором крепятся устройства с электродвигателем и специальным крепежом для космонавта. Мной был изготовлен макет такого тренажера.

Космонавты в скафандрах прикрепляются с помощью специальных устройств к монорельсу, оператор задает скорость и направление движения и запускает электродвигатели. Можно также установить кабинки, подобные спускаемому аппарату.

Преимущества такого тренажера заключаются в следующем:

1. Благодаря свойствам данной конструкции обеспечивается непрерывное движение и вращение, а это позволяет тренировать координацию движений космонавтов.
2. На таком тренажере могут одновременно заниматься несколько человек.
3. Можно установить крепежи как неподвижные, так и шарнирные. Это позволит разнообразить тренировки и нагрузки космонавтов.

Вот на такие идеи натолкнул меня этот удивительный объект – лист Мебиуса!

Заключение

Исследуя этот простой геометрический объект, я понял, что гениальные открытия иногда спрятаны в самых обычных предметах, но чтобы их совершить, надо много знать, а значит хорошо учиться!

В заключение можно сделать вывод о том, что я полностью подтвердил свойства, которыми обладает лента Мёбиуса: непрерывность, односторонность, неориентируемость листа Мёбиуса. В ходе работы над проектом проанализировал и систематизировал информацию по применению листа Мёбиуса. Выяснил, что свойства этого листа применяются в архитектуре, живописи, техники и во многом другом. Предложил свой вариант использования ленты Мёбиуса в конструкции тренажера.

Самое главное для меня в этом проекте это формирование умения познавать новое, планировать свою работу и осуществлять её. Получая знания сам — поделись с другими!

Закончить свою работу хотелось бы следующим строками стихотворения:

Когда-то жил обычный астроном,

Смотрел на звезды, изучал планеты.

Но день настал,  и мир узнал о нём,

А он лишь повернул кусочек ленты!

Лист Мёбиуса прост, но в этом - суть,

Ведь гениальность – в простоте идеи!

Лишь тот, кто знаний открывает путь,

Увидеть сложное в простом сумеет!

(В. Майорова, В. Митрикас)

Литература

1. Интернет- ресурс: « https://ru.wikipedia.org/wiki».
2. Интернет-ресурс: «https://ppt4web.ru/geometrija»
3. Энциклопедия «Я познаю мир. Математика» Изд. АСТ.
4.  «Большая энциклопедия «Почемучек» Изд. РОСМЭН

.