О новых точных решениях обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау и нелинейного уравнения Шрёдингера

О некоторых новых решениях обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау и нелинейного уравнения Шрёдингера.

Введение:

Уравнение Гинзбурга-Ландау ( Г- Л) – это одно из основных нелинейных уравнений физики и впервые оно возникло в теории сверхпроводимости .

Оно возникает при описании диффузионного хаоса и диссипативных структур: тепловой конвекции Рэлея-Бенара, плоского течения Пуазейля, течения Тейлора-Куэтта между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами, химических реакций при наличии диффузии . Оно имеет вид, общепринятая запись которого появилась в работе Ньюэлла и Вайтхедта .

(1).

Здесь - комплекснозначная функция от координаты  x и времени t, , ,  – постоянные действительные числа.

Это уравнение (1) также известно как уравнение Курамото-Цузуки .

Иногда уравнение (1) представляют в виде эквивалентной системы двух уравнений в частных производных   :

(2),

где   .

Система (2) в настоящее время хорошо изучена  и имеет следующие простейшие решения:

(3)

В     работе  показано, что (2) имеет также автомодельные решения вида :

(4),

   и             – зависят только от x .

В справочнике  приводятся ещё несколько точных решений уравнения (1) в виде бегущей волны. Там же указывается на одно свойство уравнения  (в модификации   ), что если   – решение уравнения Г- Л, то функция ,                                                                                  (5),                                                         где– произвольные действительные постоянные , тоже будет решением этого уравнения.

В книге     Кудряшова Н.А. приводятся решения (1) , полученные методом гиперболического тангенса при некоторых ограничениях на значения параметров исходного уравнения, в виде уединенных волн:

,   ,                                                    (6)

- действительные постоянные.

Известно также, что уравнение (1) при некоторых значениях параметров не имеет регулярных решений, они принимают стохаcтический характер. .

Целью данного исследования является нахождение точных решений уравнения (1) , которые не были найдены ранее по тем или иным причинам. При этом не ставятся какие-то конкретные начальные и граничные условия.

Глава 1:

Стационарные решения уравнения Гинзбурга - Ландау:

Будем искать решения уравнения (1) , не зависящие от времени, то есть  .

(8)

Разделяем действительную и мнимую части уравнения (8) :

(9)

Рассмотрим частные случаи.

1) Пусть V=0 , тогда получим:

при   уравнения (10.1) и (10.2) тождественны.

Уравнение (10.1) – это уравнение Дуффинга  , поиску решений которого будет посвящена в данной работе отдельная глава. Многие решения этого уравнения давно известны, но тем не менее удалось найти ещё несколько новых, неизвестных ранее решений.  

2) Пусть , тогда система (9) переходит в систему  (11) :

(11)

Видно,  что при  получаем опять уравнение Дуффинга. Следует заметить, что во многих работах рассматривают случай, когда        ,                                  считая, что можно путём замены переменных перейти к этому случаю.  Но из вышеизложенного становится понятно, что тогда и должны быть равны нулю и решения, о которых пойдет речь позднее будут потеряны.

3) Ищем частные стационарные решения вида: .    (12)

После подстановки выражений  (12)  в  (9)  находим, что   , если  , и  , если , причём              A – любое число.

Таким образом,                                                (13)

- решение уравнения (1) при  , а также                    (14)

 при - также частное решение уравнения Г- Л  (1).

Легко убедиться, глядя на уравнение (1), что если известно какое-то частное решение этого уравнения   , то решение  – тоже решения,

и – также является решением , поэтому кроме выражения (13) и (14) есть решения:

(13a)

(13б)

А   кроме того,

(14а)

и

(14б)

Глава 2 :

Решения вида:

Сделаем подстановку   в исходное уравнение (1) Г- Л:

(15)

Если    , то разделяя действительную и мнимую части уравнения (15), получаем:

Частный случай  , приводит к системе:

(16)

При этом  , 1) ,  , 2) -любое число,

А другой частный случай  ,  приводит к аналогичной системе:

(17)

Решение точное есть только, если  ;  ,  или

; -любое число,

Функции a(x) и b(x) удовлетворяют уравнению Дуффинга, решения которого(известные и полученные в данной работе впервые) представлены в следующей главе.

Глава 3:

Уравнение Дуффинга с кубической нелинейностью.

Общее решение уравнения вида                                 (18) , 

где  ,

до сих пор не найдено, но известны частные решения. В работе  приведено решение через эллиптический интеграл 1-го рода:

(19)

где  –корни кубического уравнения  ;    .

На самом деле, гораздо проще выразить периодические решения этого уравнения (18) через эллиптические функции Якоби, почти так же, как это было представлено в работе.

Но есть и небольшое «ноу-хау».

Во-первых, мы будем искать решения уравнения (18) в комплексных числах, опираясь на сведения о свойствах эллиптических функций:  ;   и  и их производных :

;                                                                             (20.1)

;                                                                             (20.2)      (20)

(                                                                              (20.3)  

Во-вторых, вид решений будет отличаться от представленных в работе  выражений и появятся в связи с этим новым подходом неизвестные ранее решения. А именно, согласно труду Л. Милна-Томсона   ,

если учесть мнимое преобразование Якоби:

(21)

где m- параметр, а   -дополнительный параметр эллиптических функций Якоби.

Подстановка выражения (20.1) в уравнение (18) с использованием выражений для нахождения производных от эллиптических функций Якоби  

;        

;                                                          (22)

дает следующие решения:

а) если  , то

(23)

б) если  , то

        (24)

Выражение (24) получено с учетом (21) и того, что .

Подстановка выражения (20.2) в уравнение (18) даёт решение в виде:

(25)

При    k=1 эллиптическая функция  sn           вырождается в гиперболический тангенс  ( th)  (в англоязычной литературе обозначается tanh ) :

(26)

Выражения (25) и (26) – известные достаточно давно решения уравнения Дуффинга, чего не скажешь про решения (23) и (24). Эти решения получены в данной работе впервые, причем, если выражение (23) – в комплексных числах, то (24) – функция действительного переменного.

Если искать решения уравнения (18) в виде (20.3), то можно получить еще одно новое решение в комплексных числах:

(27)

Это выражение с учетом (21) преобразовывается в выражение:

(28)

Заметим, что при  , и выражение (28) становится равным:

(29)

Это натолкнуло на идею, что функция  , возможно, являются частными решениями уравнения Дуффинга с произвольными коэффициентами:                                                              (30)

В дальнейшем эти предположения были проверены и это подтвердилось.

Кроме того,  функции также являются частными решениями уравнения Дуффинга (30) с  произвольными коэффициентами, но именно частными и в комплексных числах.

В процессе исследования уравнения (18) выдвигались некоторые гипотезы в плане поиска других новых аналитических решений. В частности, предполагалось, что функции:

А.      

Б.        (31)

В.        

Также могут являться решениями уравнения (18) в комплексных числах.

И действительно, была найдена еще одна серия точных решений, а именно:

(31.1)

(если )               (31.2)

(31.3)

(31.4)

=- дополнительный эллиптический модуль.

Причем, выражения (31.3) и (31.4) – в действительных числах.

В заключение этой главы стоит упомянуть еще об одной группе(серии) частных решений уравнения (18).

Поиск последних в виде:

привел к такому результату:

(32) 

Причем, здесь c – произвольная действительная константа. Это решение также получено в данной работе впервые. Оно соответствует решению уравнения Г- Л: ,где

И если решение, соответствующее (26) (26a)

упоминается в работе , то, например, решения, соответствующее выражению (25) почему-то обойдено стороной:

(33)

Это решение представляет собой целое семейство решений при разных (а при k=1 оно в точности переходит в (26а))

Глава 4:

Решения уравнения Гинзбурга-Ландау, зависящие от автомодельных переменных  .

Ищем решения уравнения (1) в виде:

(4.1)

(4.2)

Разделяем действительную и мнимую части:

(4.3)

Так как эти уравнения должны быть тождественны, то ;

(4.4)

Откуда получаем, что

Здесь не будем приводить решения (4.3), ранее найденные в работах других авторов. Остановимся лишь на новых решениях.

Первое семейство решений вида или типа ударной волны:

Семейство решений вида или типа ударной волны

(4.5)

Подстановка (4.5) в (4.3) дает:

,,                                   (4.6)

Таким образом, =, ,   ,        - любые действительные числа.

В работе  приводится также общее решение уравнения, аналогичного (4.3) через эллиптическую функцию Якоби (эллиптический синус):

(4.7)

Но это не единственное решение через эллиптические функции. По-видимому, их много, но нам удалось найти лишь следующие решения (и поиск продолжается):

,                                                 (4.8)

2)( )                                               (4.9),

(4.11)

где    ,             любые вещественные числа, (квадрат эллиптического модуля при этом .

Следует также отметить, что если функция  - является решением уравнения Г-Л, то и функция = - тоже является решением этого же уравнения.

В заключение этой главы приведём еще одно новое полученное нами решение (4.3) в параметрическом виде (за основу взято решение из справочника :

                                                                                         (4.12)

любые вещественные числа.

Глава 5.

Решения нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ)

Рассмотрим НУШ в классическом варианте

(5.1)

Здесь  комплекснозначная функция, зависящая от времени и одной координаты   .

Будем искать решения (5.1) в виде:

   ,       где .                                 (5.2)

Получим для  уравнение:

(5.3),

Обычно полагают  +=в результате для функции  получают уравнение Дуффинга с кубической нелинейностью и при  находят самое знаменитое и интересное решение – солитон огибающей волнового пакета:

(5.4),

B=,

Первый интеграл уравнения

                           (5.5)                              

выглядит следующим образом:

-                                                  (5.6)

 – потенциальная функция (рис.1 Приложение 1). Фазовый портрет имеет три особых точки – два центра и одно седло. Внутри «потенциальных ям»  - периодические решения вида

=(

а  при:

=( или   =(.                         (5.7)

Покажем, что уравнение (5.5) имеет бесконечное множество решений в виде солитонов типа (5.4).

Будем искать решение этого уравнения в виде:

(5.8)

Нетрудно убедиться в том, что действительно выражение (5.8) является семейством точных решений уравнения (5.5), при этом

(5.9)

Здесь  - любое действительное число, хотя возможно обобщение и на случай комплексных чисел.
                                      (5.10)

Кстати, решение (5.4) является частным случаем решения (5.8), когда   Тогда

=(5.11)

На рис.3 Приложения 1 показано, как выглядит семейство солитонов огибающей волнового пакета (5.8) при разных .

Обратим внимание на то, что уравнение (5.3) по сути является обобщением уравнения (4.3) на область комплексных чисел и все полученные в главе 4 результаты применимы не только для уравнения Г-Л, но и для НУШ.

Исследования показали, что есть ещё много решений (5.5), которые возможно, будут найдены позднее. Приведём ещё одно решение, недавно полученное.

Будем искать решение уравнения (5.5) в виде:

      (                                                                        (5.12)

Подстановка выражения (5.12) в (5.5) дала следующий результат:

                                                                            (5.13)

 =)))                                                       (5.14)        

                                                    (5.15)

Литература.

1. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости.//ЖЭТФ, 1950, т.20, с.1064-1091.

2.Newell A.C.,Whitehead J.A. Review of the finite bandwidth concept, in “Integrability of continuous Systems Ed. H.H.E. Leipholz/ Berlin:  Springer-Verlag, 284.

3. Н.М.Рыскин, Д.И.Трубецков. Нелинейные волны.-М.:Ленанд, 2017.-312с.

4. Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау. Математическое моделирование, т.1, №9, 1989, с.151-158.

5. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures in reaction diffusion systems//Prog.Theor.Phys.-1975.-v.54, №3.-p.687-689.

6. Берман В.С., Данилов Ю.А. О групповых свойствах обобщенного уравнения Ландау-Гинзбурга.-ДАН СССР.-1981.-т.258, №1.- с.67-70.

7. Т.С.Ахромеева, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий, А.А.Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос.- М.:Наука, 1992.-543 с.

8. А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин. Лекции по теории колебаний и волн. Нелинейные колебания. Саратов, 2011, 314 с.

9. И.В.Алименков. Точные решения нелинейного уравнения Шредингера и комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау на R(3+1). Вестник СамГУ.- Естественнонаучная серия. 2006, №3(43), с.5-14.

10. Н.А.Кудряшов. Методы  нелинейной математической физики . М.:МИФИ, 2008.-352 с.

11. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М.Абрамовица и И Стиган. М.Наука, 1979. Л.Милн-Томсон. Эллиптические функции Якоби и тэта-функции. Гл.16, с.381-400.

12. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

13. А.Д.Полянин, В.Ф.Зайцев. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002.-432 с.

14. Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.:Наука,1966, - 228 с.