В работе рассматривается теорема и следствия к этой теореме. Хороший материал для практического использования при решении задач.
Вложение | Размер |
---|---|
parallelogramm_varinona.pptx | 779.84 КБ |
Слайд 1
МКОУ СОШ с.Новый Урух Научный руководитель учитель математики : Надгериева Джульетта Игнатовна 2017год Проектно-исследовательская работа учащегося 7 класса Хамицаева Тедо Параллелограмм ВариньонаСлайд 3
Объект исследования: Параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее. Предмет исследования: Планиметрические задачи Цель исследования: изучить теорему Вариньона, исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами. Гипотеза исследования: Параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении планиметрических задач. Проблемы: Выяснить, действительно ли параллелограмм Вариньона позволяет рациональней получить решение задачи. Задачи исследования: Изучить теоретический материал: параллелограмм Вариньона,бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и следствия из нее. Рассмотреть различные приемы решения планиметрических задач Сравнить решения одной и той же задачи, применяя теорему Вариньона и традиционный подход. Выяснить практическое применение данной теоремы в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах. Сравнить количество времени, необходимое для решения задач традиционным способом и используя теорему Вариньона. Показать решение олимпиадных заданий с помощью параллелограмма Вариньона.
Слайд 4
Методы исследования: изучение литературы, сбор информации о параллелограмме Вариньона, выполнение чертежей к задачам, осмысление собранной информации. Практическая значимость исследования: подбор и обобщение информации о параллелограмме Вариньона могут быть представлены школьникам и учителям для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ. Также изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах. Актуальность темы: 1. Данная тема является дополнением изученных в курсе геометрии свойств. 2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень логической культуры. 3. Изучение данной темы поможет подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах. 4. Данная работа может быть использована для проведения практических занятий на элективных курсах с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену и поступлению в ВУЗ.
Слайд 5
Теоретическая часть Вариньон Пьер [1] (1654–1722) Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики...», в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).
Слайд 6
Теоре́ма Вариньо́на Теоре́ма Вариньо́на — геометрический факт, доказанный Пьером Вариньоном и утверждающий, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Точнее Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым .
Слайд 8
Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND Доказать: 1) KLMN – параллелограмм; 2) S KLMN = S ABCD /2
Слайд 9
Доказательство: Доказательство: Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN , например KL . KL – средняя линия треугольника ABC (по определению) ,следовательно, KL ║ AC . Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC, то MN ║ AC . Так как KL ║ AC и MN ║ AC следовательно, KL ║ NM и KL=MN=AC/2 . Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника, т.е. S KBL = S ABC /4, S MDN =S ADS /4. Следовательно, S 1 +S 3 =S ABCD /4. Аналогично, S 2 +S 4 =S ABCD /4. Следовательно, S 1 +S 3 + S 2 +S 4 = S ABCD /4 + S ABCD /4 = S ABCD /2. Т.е., SKLMN = S ABCD /2. Что и требовалось доказать.
Слайд 10
Определение . Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)
Слайд 11
Следствие 1 Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны. Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD Доказать: KLMN – ромб
Слайд 12
Доказательство: Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника).
Слайд 13
Параллелограмм c равными сторонами является ромбом. Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; KM и LN перпендикулярны Доказать: KLMN – ромб Доказательство: Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба). Что и требовалось доказать.
Слайд 14
2 следствие : Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны Доказать: KLMN – прямоугольник Доказательство: Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
Слайд 15
2) бимедианы равны Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; бимедианы KM и LN – равны Доказать: KLMN – прямоугольник Доказательство: Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника). Что и требовалось доказать.
Слайд 16
Следствие 3 Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны 1) Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD Доказать: KLMN – квадрат Доказательство : Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
Слайд 17
Дано: четырехугольник ABCD; KLMN – параллелограмм Вариньона; бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN Доказать : KLMN – квадрат Доказательство: Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата). Что и требовалось доказать.
Слайд 18
Задача 1 : Д окажите , что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Доказательство: а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1); Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1). б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2); Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).
Слайд 19
Задачи Задача 2 У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Решение: Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b . Задача 3 Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Решение: См. теорему Вариньона. Задача 4 Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам. Доказательство: Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.
Слайд 20
Олимпиадная задача 1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий . Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD Доказать: S ABCD = KM*LN Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать.
Слайд 21
2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны. Доказательство: Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем: S BKL + S DMN = (S ABC + S ADC )/4 = S ABCD /4 = (S ABD + S CBD )/4 = S AKN +S CLM Что и требовалось доказать.
Слайд 22
Заключение «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер. Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки. Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами. Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.
Слайд 23
Список литературы Интернет-ресурсы ru.wikipedia.org/ wiki / Вариньон,_Пьер Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50 В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл . общеобразовательных учреждений /Л. С. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др , – М.: Просвещение, 2008. Геометрия: Доп. главы к шк . учеб. 8 кл .: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996. Интернет-ресурсы easymath.com.ua/
Никто меня не любит
Астрономический календарь. Декабрь, 2018
Мост из бумаги для Киры и Вики
Как Дед Мороз сделал себе помощников
Лягушка-путешественница