Математика ан клетчатой бумаге
Решение задач – практическое искусство, подобное
плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;
научиться ему можно, только подражая хорошим
образцам и постоянно практикуясь»
Д. Пойя
Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возник 2.Задачи на нахождение площади многоугольника. Формула Пика.
Формула Пика
Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.
Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить.
Рис. 1
Но тут нас ждёт много хлопот. Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВСD, и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.
Итак, хотя многоугольник и выглядел достаточно просто, для вычисления его площади нам пришлось потрудиться. А если бы многоугольник выглядел более причудливо?али вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Математика на клетчатой бумаге | 13.57 КБ |
 Математика на клетчатой бумаге | 385.5 КБ |
Предварительный просмотр:
"Математика на клетчатой бумаге"
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге
Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.
Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов.
Основная цель исследования заключается в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:
- Подобрать необходимую литературу
- Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
- Проанализировать и систематизировать полученную информацию
- Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
- Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.
Гипотеза: возможно, многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении. Предположим, что при более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.
Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.
При решении задач на клетчатой бумаге нам будут нужны смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.
При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание. Глава 1. Введение. Цель и задачи работы. Глава 2. Формула Пика. Глава 3. Задачи на клетчатой бумаге в материалах ЕГЭ Глава 4. Заключение. Глава 5 . Библиография.
«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» Д. Пойя
Глава.1 Введение. Цель и задачи работы. При решении задач обучающиеся часто оказываются в затруднении при встрече с задачами на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
Гипотеза : многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении При более внимательном исследовании задач на клетчатой бумаге, мы убедимся в их востребованности, оригинальности, полезности.
Глава 2. Формула Пика Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах (рис. 1) и найдем его площадь. Искать её можно по-разному. Например, можно разрезать многоугольник на достаточно простые фигуры, найти их площадь и сложить. Но тут нас ждёт много хлопот (попробуйте!). Давайте «схитрим»: вычислим площадь заштрихованной фигуры, которая «дополняет» наш многоугольник до прямоугольника АВС D , и вычтем её из площади прямоугольника. Заштрихованная фигура легко разбивается на прямоугольники и прямоугольные треугольники, и её площадь вычисляется без усилий.
Пусть АВС D – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки. Обозначим через В количество узлов , лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна S = В + + 4 · = В + -1
Это и есть формула Пика. S = В + - 1 .
. Проверить формулу Пика для многоугольника на рисунке 1. В = 14, Г = 8. По формуле Пика: S = В + - 1 . S = 14 + 8/2 – 1 = 17 Ответ: 17 кв. ед.
Если многоугольник можно разрезать на треугольники с вершинами в узлах сетки, то для него верна формула Пика. Попробуйте вычислить площади многоугольников с рисунка , используя формулу Пика. Правда ведь, легко получается!
Глава 3. Задачи на клетчатой бумаге в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по математике.
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник . Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. По формуле Пика: S = В + - 1 . В = 12, Г = 6 S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²) Ответ: 14
Найдите площадь четырехугольника, изображённого на рисунке с квадратной сеткой 1 × 1(см) Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1 В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)
Глава 4. Заключение. В процессе исследования рассмотрены задачи на вычисления площади фигур, заданные на клетчатой бумаге, которые отличаются от обычных задач, изложенных в действующих учебниках и задачниках по математике. Данная тема достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны.
Глава 5. Библиография Жарковская Н. М., Рисс Е. А . Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ. Смирнова И. М., Смирнов В. А . Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009. Смирнова И. М., Смирнов В. А . Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.
Юрий Визбор. Милая моя
Астрономический календарь. Февраль, 2019
Загадочная система из шести экзопланет
Солнечная система. Взгляд со стороны
Пятёрки