Изучение затухающих колебаний математического маятника

МАОУ «Лицей № 4»

Изучение затухающих колебаний

математического маятника

Работа выполнена Хоченковой Дарьей,

ученицей 8 А класса

Руководитель: Хоченкова Т.Е.,

учитель физики

Рязань

2019

Содержание

1. Введение

Актуальность исследования                                                          стр. 3

Цели и задачи исследования                                                          стр. 3

Предмет исследования                                                                    стр. 3

Гипотеза исследования                                                                   стр. 3

Методы исследования                                                                    стр. 4

2. Теоретическая часть

Физика колебаний                                                                           стр. 4

Методика проведения эксперимента по измерению коэффициента затухания колебаний в среде                                                                 стр. 6

3. Практическая часть

Эксперимент № 1. Определение коэффициента затухания колебаний математического маятника в воздушной среде                                   стр. 7

Эксперимент № 2. Определение коэффициента затухания колебаний математического маятника в воде, насыщенном растворе соли           стр. 8

4. Заключение                                                                                  стр. 9
5. Использованные источники                                                    стр. 10
6. Приложение                                                                           стр. 11-16

1. Введение

Мир, в котором мы живем,

удивительно склонен к колебаниям…

Колеблются даже атомы,

из которых мы состоим.

Ричард Бишоп

Колебания – достаточно распространенная форма движений в природе. В повторяющихся движениях участвует трава на ветру, струны музыкальных инструментов, атомы кристаллической решетки, маятник часов и многие другие тела. Колебания играют немаловажную роль в нашей жизни, а законы их описывающие, являются общими. Для изучения колебаний в школьном курсе физики рассматриваются модели – идеализированные механические системы, в которых движения тел строго повторяются во времени. Но в реальном мире существуют силы трения, которые изменяют колебательный процесс маятника, делая колебания затухающими. Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Мне всегда было интересно понять, почему все системы колеблющихся тел, которые я наблюдала, после некоторого времени переходили в состояние покоя. Каковы законы, которыми описываются движения реальных колебательных систем? Чем отличаются собственные колебания системы в среде от незатухающих колебаний идеализированной системе? Как свойства среды влияют на параметры колебаний? Поиск ответов на эти вопросы определяет актуальность исследования.

Область исследования: механика колебательного движения реальных систем в вязких средах.

Объект исследования: свободные затухающие колебания математического маятника.

Предмет исследования: характеристики колебательного движения – период, частота, коэффициент и логарифмический декремент затухания.

Цель исследования: измерение амплитуды затухающих колебаний математического маятника в разных средах, вычисление периода, изучение зависимости декремента затухания от рода вещества.

Гипотеза: наличие сил трения приводит к рассеянию энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период колебаний, в более плотной среде колебания затухают быстрее.

Задачи исследования:

1. Изучить физику колебательного движения математического маятника.
2. Познакомиться с экспериментальными методами оценки декремента затухания колебаний;
3. Произвести эксперимент по изучению свободных затухающих колебаний математического маятника в различных средах;
4. Сравнить зависимости графиков координаты колеблющегося тела от времени для гармонических и затухающих колебаний;
5. Использовать методы визуализации полученных данных на основе построения диаграмм;
6. Выявить как влияет вязкость среды на декремент затухания колебаний в различных средах;
7. Проанализировать результаты эксперимента и сделать выводы о влиянии свойств среды на декремент затухания механических колебаний математического маятника.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: теоретические: изучение специальной литературы, анализ результатов эксперимента, формулирование выводов; экспериментальные: измерение амплитуды затухающих колебаний, вычисление периода колебаний, построение графиков колебательного движения, исследование факторов, влияющих на декремент затухания.

Исследование проводилось в три этапа:

• Подготовительный: выбор темы, формулирование целей, составление плана исследований.
• Содержательный: изучение теории механических колебаний математического маятника, знакомство с методами измерения параметров затухающих колебаний, проведение экспериментальных исследований по определению декремента затухания, анализ факторов, влияющих на изменение декремента затухания колебаний в различных средах.
• Заключительный: систематизация данных, анализ результатов, представление результатов исследования.

Практическая значимость: материалы исследования могут быть использованы на уроках физики, во внеклассной работе.

Теоретическая часть

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, описывается с помощью некоторой периодической функции координаты от времени х = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление об изменениях параметров колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, которая колеблется под действием силы тяжести (Приложение, рис.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания нитяного маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Элементарным видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

x = xm×Cos (ωt + φ0),

где x – смещение тела от положения равновесия, xm  – амплитуда колебаний, т. е. максимальное отклонение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса.

Если t = 0, φ = φ0, поэтому φ0 называется начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T (Приложение, рис. 2). Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний. Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

ω = 2π×ν =

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс в природе невозможен. Свободные колебания любого маятника рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому в практической деятельности обычно встречаются именно с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний xm является убывающей функцией. В реальных колебательных системах помимо возвращающей силы действуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к уменьшению энергии колебательной системы и убыванию амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими, механическая энергия постепенно расходуется на совершение работы по преодолению силы сопротивления воздуха и превращается во внутреннюю энергию. Чем больше сила сопротивлению движению, тем быстрее прекращаются свободные колебания. В более вязких средах, например, в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе.

Поскольку скорость движения при колебаниях небольшая, будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения Fс ~ υ:

Fc = – r ×υ = – r × , где r- коэффициент сопротивления среды;

На основании II закона Ньютона, учитывая действие сил сопротивления и сил упругости, получим:

m×a = – r × x – r × υ

,

Если разделить правую и левую часть на m и ввести обозначения , а  = 2β, то получим, что решением такого уравнения будет функция:

x = xm×e-βt×Cos(ωt+φ0).

Эта зависимость является уравнением свободных затухающих колебаний, в котором амплитуда убывает по экспоненциальному закону (Приложение, рис. 3).

Период таких затухающих колебаний равен:

T =  .

Степень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания колебаний β

β =

За время t =  амплитуда уменьшается в e ≈ 2,72 раз.

Методика проведения эксперимента по измерению коэффициента затухания, декремента затухающих колебаний.

Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожно мала по сравнению с массой груза, деформации нити невелики, поэтому ими можно пренебречь. Пример такого маятника – тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити, совершающий колебания небольшой амплитуды. Измерение параметров собственных (незатухающих) колебаний системы предполагает отсутствие внешней среды. Движение же маятника в среде приводит к появлению сил вязкого трения, которые постепенно уменьшают первоначально сообщенную системе энергию. Это выражается уменьшением собственной частоты колебаний ω0 и постепенным уменьшением амплитуды колебаний (приложение, рис. 4). Анализ графиков затухающих колебаний, изображенных на рисунке 4, показывает зависимость степени уменьшения амплитуды от вязких свойств среды, а, следовательно, при различных значениях коэффициента затухания колебаний маятника.

Затухающие колебания можно разделить на два класса периодические (осуществляется при небольших коэффициентах трения среды) и непериодические (при сильном трении).

Установка для изучения затухающих колебаний представляет собой математический маятник, который совершает колебания относительно точки подвеса. На самодельной проградуированной шкале фиксируется амплитуда отклонения маятника от положения равновесия. В ходе эксперимента измеряется период затухающих колебаний, отмечаются значения амплитуды колебаний двух последующих отклонений хm маятника в одну и ту же сторону (Приложение, фотография 1). Оценивается декремент затухания – количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Физический смысл декремента – величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Декремент затухания характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний.

Декремент затухания λ равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений хm колеблющейся величины в одну и ту же сторону (Приложение, рис. 5):

     [1]

Расчетная формула для вычисления коэффициента затухания колебаний:

β = [2].

Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника, характеризующий интенсивность затухания, то есть уменьшение амплитуды за один период колебаний вычисляется по формуле

λ = β×T                [3].

Практическая часть

Эксперимент 1. Определение коэффициента и декремента затухания колебаний математического маятника в воздушной среде.

Цель: измерение параметров колебательных движений математического маятника, расчет коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания колебаний.

Приборы и материалы: штатив с муфтой и лапкой, математический маятник, секундомер (таймер телефона), самодельная шкала для установления угла отклонения маятника.

Ход работы:

1. Собрать экспериментальную установку (Приложение, рис. 6).
2. Вывести маятник из положения равновесия, отклонив шарик от первоначального состояния на угол φ0. Отпустить шарик без толчка.

Пoд действием результитующей силы (суммы сил тяжести Fт = mg и силы упругости, возникающей в нити), шaрик начнет движение в сторону положения равновесия, через некоторое время пройдет его, по инерции, затем отклонится в другую сторону от положения равновесия на некоторый угол φ1 меньший, чем φ0 и, под действием равнодействующей силы снова начнет движение в сторону положения равновесия. При отсутствии внешних действующих на шарик сил он будет совершать oписанное движение в oдной плoскости. В этом случае, траектoрией движения шарика будет дуга окружности радиуса l. В результате того, что на шарик действует сила сопротивления со стороны среды, в которой он движется, колебания математического маятника будут затухающими и после каждого прохождения равновесия он будет отклоняться от него на всё меньший и меньший угол.

3. С помощью секундомера измерить время, за которое амплитуда колебаний математического маятника уменьшается в два раза, и рассчитать коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды колебаний с течением времени, по формуле [2]:
4. Полученные экспериментальные данные занесем в таблицу (Приложение, таблица 1,2).
5. Пользуясь формулами [1] и [2],[3] произвести вычисление коэффициента и декремента затухания.

Расчет:

Коэффициент затухания колебаний:

     β=)

Логарифмический декремент затухания колебаний в воздушной среде:

     λ = 0,18×1,28=0,23

Вывод: коэффициент затухания колебаний математического маятника, измеренный при неизменной длине нити 50 см, полученный в эксперименте для движения в воздухе, составляет 0,18 с-1, логарифмический декремент затухания – 0,23. Сравним параметры затухающих колебаний в различных средах, а для этого проведем эксперимент 2.

Эксперимент 2. Определение коэффициента и декремента затухания колебаний математического маятника в воде, насыщенном растворе соли.

Цель: измерение параметров колебательных движений математического маятника, расчет коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания колебаний в различных средах, анализ зависимости вязких свойств среды на параметры затухающих колебаний.

Приборы и материалы: штатив с муфтой и лапкой, математический маятник, секундомер (таймер), самодельная шкала для установления угла отклонения маятника, емкость с водой, насыщенный раствор соли.

Ход работы:

6. Собрать экспериментальную установку (Приложение, рис. 6).
7. Вывести маятник из положения равновесия, отклонив шарик от первоначального состояния на угол φ0. Отпустить шарик без толчка.
8. Определить время, с помощью таймера, за которое амплитуда колебаний математического маятника уменьшится в два раза, и рассчитать коэффициент затухания, характеризующий как быстро убывает амплитуда колебаний с течением времени, по формуле [2]:
9. Полученные экспериментальные данные для сравнения занести в таблицу 2 (Приложение, таблица 1,2).
10. Пользуясь формулами [1] и [2],[3] произвести вычисление коэффициента и декремента затухания.

Расчет:

Коэффициент затухания колебаний в воде и насыщенном растворе соли:

     βв =)

     βнс =)

Логарифмический декремент затухания колебаний в воде и насыщенном растворе соли:

     λв = 0,13×1,54=0,20

 λнс = 0,10×1,62=0,16

11. Прoизвести анaлиз пoлучившихся зависимостей, нa оснoве данных таблиц 1 и 2 прилoжения.

Вывод: сравнение результатов, полученных в хoде измерения коэффициента затухания и логарифмического декрементa затухания колебаний математического маятников в различных средaх, позволяет сделать вывод, на основе сравнения данных таблиц 1 и 2, о том, что в более вязких средах с возрастанием коэффициента сопротивления среды увеличиваются действующие силы сопротивления движению, что приводит к ускорению процесса затухания колебаний. Расположив среды по возрастанию коэффициента трения (воздух, вода, насыщенный раствор соли), наблюдаем уменьшение коэффициента зaтухания и логарифмическогo декремента зaтухания кoлебаний мaтемaтического мaятникa. Проведенный анализ позволяет сделать заключение о том, что колебания в более плoтных средах затухают быстрее.

Представим полученные результаты в виде диаграмм (приложение 1, диаграммы 1,2).

Заключение

В процессе выполнения работы я исследовала параметры затухающих колебаний математического маятника, происходящие в реальных средах. Наблюдая за процессом реальных колебаний в вязких средах, где действуют силы сопротивления и, сопоставляя значения амплитуд в разные моменты времени, периодов колебаний, коэффициентов затухания и логарифмических декрементов затухающих колебаний, можно сделать вывод, что гипотеза исследования подтверждена. Изучение колебательных процессов позволило установить закономерность: чем более плотной оказывается среда, тем быстрее будет уменьшаться амплитуда колебаний, увеличиваться период и уменьшаться коэффициент затухания и логарифмический декремент затухающих колебаний математического маятника. На преодоление сопротивления среды затрачивается энергия. Вследствие этого механическая энергия колеблющегося тела непрерывно уменьшается. Практическая деятельность по изучению затухающих физических колебаний, происходящих в средах с наличием сил трения, позволила мне на более высоком уровне изучить теорию колебаний, получить практические навыки исследователя, которые необходимы для глубокого знакомства с физической наукой.

Использованные источники

1. Блудов М.И. Беседы по физике. М.: Просвещение, 2012 г.
2. Перельман Я. И. Знаете ли вы физику? Домодедово «ВАП», 2010г.
3. Перышкин А.В., Гутник Е.М. 9 кл.: Учеб. для общеoбразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2017. – 256 с.
4. Физика. Механика. 10 кл. Профильный уровень: учебник для общеобразовательных учреждений /М.М. Балашов, А.И. Громова, А.Б. Долицкий и др.; под ред. Г.Я. Мякишева, - 14 -е изд., 2016.
5. Физика: учебник для 10 класса с углубленным изучением физики /А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др. под ред. А.А. Пинского, О.Ф. Кабардина. - м.: Просвещение, 2018.
6. Савельев И.В. Курс обшей физики, Т.2. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 2010.
7. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2014
8. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Издательский центр «Академия», 2014.
9. Колебания математического маятника https://lektsii.org/10-13324.html

Приложение.

Рисунок 1. Колебания математического маятника.

Рисунок 2. График x(t) для гармонических колебаний.

Рисунок 3. График x(t) затухающих колебаний.

Рисунок 4. Уменьшение амплитуды собственных механических колебаний системы при различных значениях коэффициента затухания

Рис. 4

Рисунок 5. Параметры затухающих колебаний

Рисунок 6. Экспериментальная установка.

Таблица 1. Сравнение результатов эксперимента 1,2. Определение коэффициента затухания колебаний математического маятника в различных средах.

Таблица 2. Сравнение результатов эксперимента 1,2. Определение логарифмического декремента затухания математического маятника в различных средах.

Диаграмма 1. Коэффициент затухания колебаний математического маятника в различных средах.

Диаграмма 2. Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника в различных средах.