Уравнения высших степеней

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Баян-Талинская средняя общеобразовательная школа

Дзун-Хемчикского кожууна Республики Тыва

Научно-исследовательская работа

по теме: « Уравнения высших степеней»

Выполнил: Монгуш Комбу,

ученик 10 класса

МБОУ Баян-Талинской СОШ

Руководитель: Ондар Кан-Демир Семенович,

учитель математики и физики

МБОУ Баян-Талинской СОШ

Содержание

Введение…………………………………………………………………….…...3

Уравнения высшей степени и способы их решения…………...……………..5

Разложение многочлена на множители…………………..….……..................8

Способ группировки………………………………………………………...…..8

Решение уравнений высших степеней с помощью формулы сокращенного умножения………………………………………………………………………..9

Решение уравнений высших с помощью теоремы Безу………………………10

Схема Горнера……………….…………………………………………………..13

Метод введения новой переменной……....………………….……………......15

Биквадратные уравнения.……………………………………..………………..16

Возвратные уравнения…………………………………………………………..18

Функционально-графический метод…………………………………………..21

Заключение………………………………………………………………………24

Список литературы……………………………………………………………..25

Введение

Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Значимость ее заключается не только в теоретическом значении для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, в основном это уравнения второй степени (квадратные уравнения), но существуют и уравнения высшей степени.

В школьной программе рассматривается только 2 способа решения уравнений высших степеней: 1) Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения; 2) Ведение новой переменной. Готовясь к предстоящим экзаменам, я заинтересовался другими способами решения этих уравнений. Поэтому я выбрал тему «Уравнения высших степеней».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением различных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать уравнения, что также пригодится и при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

      Цель работы: изучить уравнения высшей степени и различные способы их решения.

        Задачи:

• рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения уравнений высшей степени;
• выявить наиболее удобные способы решения;
• научиться решать уравнения высшей степени различными способами.

Объект исследования: уравнения высшей степени.

Предмет исследования: способы решения уравнений высшей степени.

       Методы исследования: изучение и анализ литературы,  сравнение, обобщение, практический метод.

Результат исследования: Я научился решать возвратные уравнения, а также изучил теорему Безу и схему Горнера.

Гипотеза: Существует много различных видов и методов решения уравнений высших степеней, о которых не рассказывается в школьной программе 9 класса.

.

Уравнения высшей степени и способы их решения

Уравнение – это математическое выражение, являющееся равенством, содержащее неизвестное. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например: соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях x [2] .

Уравнение вида:

 называется уравнением n-ой степени.

Если n=1, уравнение  называется линейным.

Если n=2, уравнение  называется квадратным.

Если n=0, уравнение  называется однородным.

Процесс отыскания решений уравнения заключается обычно в замене уравнения равносильным. Замена уравнения равносильным основана на применении четырёх аксиом:

1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.

2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.

3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.

4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны [6].

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х3 – 1)2 + х5 = х6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х5 – 2х3 + 3 = 0 пятой степени [7].

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Рn (х) = (х - α)·Qn - 1(x), где Qn - 1(x) – многочлен степени (n – 1).

4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р3(х) = ах3 + bx2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р3(x) = а (х - α)(х - β)(х - γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р3(x) = а(х - α)(х2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f (x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x)·q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу) [1].

10. Теорема Виета: Если х1, х2, …, хn – действительные корни многочлена

Р(х) = а0хn + а1хn - 1 + … + аn, то имеют место следующие равенства:

х1 + х2 + … + хn = -а1/а0,

х1 · х2 + х1 · х3 + … + хn - 1 · хn = a2/а0,

х1 · х2 · х3 + … + хn - 2 · хn - 1 · хn = -a3/а0,

х1 · х2 · х3 · хn = (-1)n an/а0.

Способы решения уравнений высших степеней

1. Разложение многочлена на множители:

1. Способ группировки
2. По формулам сокращенного умножения
3. По теореме Безу
4. Схема Горнера

2. Метод введения новой переменной

1. Биквадратные уравнения
2. Возвратные уравнения

3. Функционально-графический метод

1. Разложение многочлена на множители

1.1 Способ группировки.

Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена. Вынести этот общий множитель за скобки [8].

Примеры решения уравнений способом группировки:

Пример 1. x³-5x²-16x+80=0
x(x²-16)-5(x²-16)=0
(x-5)(x²-16)=0
(x-5)(x-4)(x+4)=0

x-5=0 или x-4=0 или x+4=0

x=5           x=4            x=-4

Ответ: -4; 4; 5.

Пример 2. x³-3x²-4x+12=0

x²(x-3)-4(x-3)=0

(x²-4)(x-3)=0

(x-2)(x+2)(x-3)=0

x-2=0 или  x+2=0 или x-3=0

x=2             x=-2           x=3

Ответ: -2; 2; 3.

Пример 3. x⁴-5x³-16x²+100x-80=0

x⁴-5x³-20x²+4x²+100-80=0

x²(x²-20)-5x(x²-20)+4(x²-20)=0

(x²-5x+4)(x²-20)=0

x²-5x+4=0          или       x²-20=0

D=25-16=9 x²=20

x1=(5+3)÷2=4x=±√20

x2=(5-3)÷2=-1

Ответ:-√20; -1; 1; √20.

1.2 Решение уравнений высших степеней с помощью формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. Квадрат разности: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

3. Разность квадратов: а2- b2 = (a - b) (a + b)

4. Куб суммы: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5. Куб разности: (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

6. Сумма кубов: a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

7. Разность кубов: a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Примеры решения уравнений с помощью формул сокращённого умножения:

Пример 1. (2x)³-8=0
(2x)³-2³=0
(2x-2)(4x²+4x+4)=0
2x-2=0 или 4x²+4x+4=0

x=1             D=16-64=-48      корней нет

Ответ: 1.

Пример 2. +18a⁴+108a²+216=0

(a²+6)³=0

a²+6=0

a²=-6

Ответ: корней нет.        

Пример 3. 8x(1+2x)-(4x+3)(4x-3)=2x.

8x+16x2-(16x2-9)=2x,

8x+16x2-(16x2-9)=2x,

8x+16x2-16x2+9=2x,

8x-2x=-9,

6x=-9,

x=-1,5

Ответ: -1,5

1.3 Решение уравнений высших степеней с помощью теоремы Безу

Остаток от деления многочлена  Р(х) на двучлен (х – а)  равен Р(а).

Следствие из теоремы Безу: Число a является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится на (x ‑ a) без остатка [1].

Примеры решения уравнений с помощью теоремы Безу:

Пример 1. Решить уравнение 2х3-3х2+5х-14=0

Возможные рациональные корни: ±; ±1; ±2; ±; ±7; ±14.

P(x)=2х3-3х2+5х-14 = 0

P(1)= 2 – 3 + 5 – 140

P(-1)= -2 – 3 – 5 - 140

P(2)=16 – 12 + 10 - 14 = 0      

(x-2)( 2х2+х+7)=0

x = 2     D=1-56=-55

корней нет

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение 3х4 – 2х3 -8х2 – х + 2 = 0

Возможные рациональные корни: ±; ±; ±1 ; ±2.

P(x)= 3х4 – 2х3 -8х2 – х + 2 = 0

P(1)= 3 – 2 – 8 – 1+ 2 0

P(-1)=3 +  2 – 8 + 1 +2 = 0

(х+1)(3х3-5х2-3х+2)=0

Решим уравнение 3х3 – 5х2 – 3х + 2 = 0.

Возможные рациональные корни: ±; ±1; ±; ± 2 .

P(x)=3х3 – 5х2 – 3х + 2 = 0

P(1)= 3 – 5 – 3 + 20

P(-1)= - 3 – 5 + 3 – 2 0

P(2)= 24 – 20 – 6 + 2 = 0

(х+1)(х-2)(3х2+х-1)=0

х+1=0   х-2=0  3х2+х-1=0

х= -1     х= 2     D=1+12=13

х1=

х2=

Ответ: -1;; ; 2.

Пример 3. Решить уравнение x3 - 2x2 - 6x + 4=0

Возможные рациональные корни: ±1 ; ± 2 ; ±4.

P(x)= x3 - 2x2 - 6x + 4 = 0

P(1)= 2 – 2 – 6 + 40

P(-1)= - 1 – 2 + 6+ 40

P(2)= 8 – 8 – 12 + 40

P(- 2)= - 8 – 8+ 12 + 4 = 0

(х+2)( х2-4х+2) = 0

х+2=0   х2-4х+2 = 0

х= -2     D=16-8= 8

              х1=

        х2=

Ответ: -2; ; .

1.4 Схема Горнера

Схема Горнера  - это алгоритм вычисления значения многочлена при определенном значении переменной. Использование схемы Горнера значительно упрощает вычисления, а также помогает эффективно подбирать корни.

Примеры решения уравнений с помощью схемы Горнера:

Пример 1. Решить уравнение: 4х3 - 19х2 + 19х + 6=0

Возможные рациональные корни уравнения:±; ±; ±; ±1; ±; ±2; ±3; ±6.

P(x)=4х3 - 19х2 + 19х + 6 = 0        

P(1)= 4 – 19 + 19 + 6 ≠0

P(-1)= -4 – 19 – 19 + 6 ≠0

P(2)=32–76+38+6=0

Остаток равен 0, значит:

(х-2)(4х2-11х-3)=0

x = 2     D= 121 + 48 = 169

х1=3

х2= -0,25

Ответ:-0,25, 2, 3.

Пример 2. Решить уравнение: 5х3 +5х2 +х – 11 = 0

Возможные рациональные корни уравнения: .

P(x)=5х3 +5х2 +х – 11= 0

P(1)= 5+5 + 1 – 11 = 0

(х-1)(5х2+10х+11)=0

х-1=0   5х2+10х+11=0

х=1       D=100 - 220=-120

             корней нет

Ответ: 1.

Пример 3. Решить уравнение: х3 - 7х - 6=0

Возможные рациональные корни уравнения: ±1; ±2; ±3; ±6.

P(x)= х3 - 7х – 6 = 0

P(1)= 1 – 7 – 6 ≠ 0

P(-1)= - 1 + 7 – 6 = 0

(х+1)(х2-х+6) = 0

х+1=0   х2-х+6 = 0

х= -1     D= 1- 4= -3

             корней нет

Ответ: -1.

2. Метод введения новой переменной

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xn или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни: (t1, t2, …, tn). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t1, q(x) = t2, … , q(x) = tn, из которых находят корни исходного уравнения [3].

Примеры решения уравнения методом введения новой переменной:

Пример 1. (x2+4x)(x2+4x-17)=-60

Пусть = t, тогда

t( t – 17 ) = -60

 - 17t = -60
t2 - 17t + 60 = 0

 = 5

 = 12

При t = 5,

= 1

= -5

При t = 12,

= 2

= -6

Ответ: -6, -5, 1, 2.

Пример 2. (x-3)(x-4)(x-5)=(x-2)(x-4)(x-5)

Пусть (x-4)(x-5)=t, тогда

t(x-3)= t(x-2)

tx-3t = tx-2t

tx-3t-tx+2t = 0

-t = 0

t = 0

Вернёмся к замене:

(x-4)(x-5)= 0

x-4 = 0   x-5 = 0

x=4        x=5

Ответ: 4; 5.

Пример 3. (x2-5x+7)(x-2)(x-3)=0

(x2-5x+7)(x2-5x+6)=0

Пусть х2-5=t, тогда

(t+7)(t+6)=0

t1= -7  

t2= -6

Вернёмся к замене:

х2-5=-7        х2-5=-6

x2= -12        x2=-11

Ответ: корней нет. 

2.1 Биквадратные уравнения.

    К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax4 + bx2 + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х2 = y, следовательно, ay² + by + c = 0. Найдём корни полученного квадратного уравнения y1,2 =

заменим y на x и получим [7]

Примеры решения биквадратных уравнений:

Пример 1. 2x⁴-19x²+9=0

Пусть y=x², тогда

2y²-19y+9=0

y1=9

y2=0,5

Вернёмся к замене:

При у=9, x²=9

x=±√9

x=±3

При у=0,5, х²=0,5

х=±√0,5

Ответ:-3; -√0,5; √0,5; 3.

Пример 2. 10х4-12х2+1=-10х4

10х4+10х4-12х2+1=0

20х4-12х2+1=0

Пусть х2=t, тогда

20t2-12t+1=0

D=144-80=64

t1=0,5

t2=0,1

Вернёмся к замене:

При t=0,5, x²=0,5

x=±√0,5

При t=0,1, х²=0,1

х=±√0,1

Ответ: -√0,1; -√0,5; √0,1;  √0,5.

Пример 3. (х-4)4-5(х-4)2= -4

(х-4)4 -5(х-4)2 +4=0

Пусть (х-4)2=t

t2-5t+4=0

D=25-16=9

t1=4

t2=1

Вернёмся к замене:

При t=4, (х-4)2 =4

x1=6

x2=2

При t=1, (х-4)2=1

x1=5

x2=3

Ответ:2; 3; 5; 6.

2.2 Возвратные уравнения

Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение а0хn + a1xn – 1 + … + a1x +a0=0,  в котором ак = an – k, где k = 0, 1, 2 …n, причем, а ≠ 0.

Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером [6].

Алгоритм решения:

1. Разделить левую и правую части уравнения на х2.
2. Группировкой привести полученное уравнение к виду;
3. Ввести новую переменную t = , тогда выполнено t2 = x2+2+,  то есть x2+= t2-2
4. В новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:  at2 +bt+c = 0
5. Решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример 1. 2х⁴+9х³-х²+9х+2=0

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно разделить на х², получив 2х²+9х-1++= 0

2(х²+)+9(х+)-1=0

Сделаем замену у=х+;  у²-2=х²+

Тогда 2(у²-2)+9у-1=0

у1=-5

у2=0,5

Вернёмся к замене:
При у=-5, x²=-5     корней нет
При у=0,5, х²=0,5
х=±√0,5
Ответ:-√0,5; √0,5.

Пример 2. 6х4-35х3+62х2-35х+6=0

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно разделить на х², получив

Сделаем замену у=х+;  у²-2=х²+

6у2-35у+50=0

D=1225-1200=25

у1=

у2=

Вернёмся к замене:

При у=, х+=

х1=3

х2=

При у=, х+=

х1=2

х2=

Ответ: ; ; 2; 3.

Пример 3. 3х4-2х3+4х2-4х+12=0

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то уравнение можно разделить на х², получив 3х2-2х+4-=0

Сделаем замену у=х+;  у²-4=х²+

3(у2-4)-2у+4=0

3у2-2у-8=0

D=4+96=100

у1=2

у2= -

Вернёмся к замене:

При у=1

х+=4 Корней нет.

При у= -

х+= - Корней нет.

Ответ: корней нет

3. Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем, находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения [8].

Примеры решения уравнений функционально-графическим методом:

Пример 1. Решить уравнение √х=

Построим в одной системе координат графики функций y= и y=

Пример 2. Решение уравнение х3-√х=0.

Построим в одной системе координат графики функций y= х3  и y=√х

Пример 3. Решить уравнение = -х2 -1

Построим в одной системе координат графики функций y=-х2 -1  и y=

Пример 4. Решить уравнение .

Решение:

 – кубическая парабола сдвинута в вниз на 45 единиц

-парабола ветвями в вниз, сдвинута по оси OX вправо на 0,9 единиц и по OY вверх 0,81 единиц.

По графику видно, что графики нашей функций пересекаются в трех точках, значит наше уравнение имеет три корня .

Ответ: -5; -3; 3

Заключение

Практически всё, что окружает нас, связано в той или иной мере с математикой. А достижения в физике, технике, информационных технологиях только подтверждают это. И что очень важно – решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Наша гипотеза, выдвинутая в начале работы, оказалась верна. В ходе исследовательской работы я научился решать возвратные уравнения, познакомилась с теоремой Безу и схемой Горнера. По-моему мнению, интерес вызывает возможность подбора уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также мы интересовались различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи, но особый интерес обычно вызывают графические методы решения.

Литература

1. Брадис, В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы/ В.М, Брадис-М.: Просвещение, 1990-83с.
2. Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.
3. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И., «Алгебра и начала анализа». М.: 1 Федеральная книготорговая компения, 1998 – 736 с.
4. Ященко И.В. «ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты» - М.: Национальное образование», 2019. – 240 с.
5. http://www.hintfox.com/article/reshenie-yravnenij-visshih-stepenej-razlichnimi-metodami.html
6. http://www.yotx.ru/
7. https://studfiles.net/preview/3973852/

8.https://www.tutoronline.ru/blog/uravnenija-vysshih-stepenej