Теорема Пифагора

Тема работы: « Теорема Пифагора»

  Оглавление.

1. Введение                                                                                 стр.3
2. Основная часть (исследовательская часть)                         стр.4-7
3.  Заключение                                                                           стр.8
4. Библиографический список                                                  стр.9
5. Приложение                                                                           стр.10-12

  Введение.

Цель работы:   выведение способа нахождения  сторон  египетских треугольников.

     Задачи:

1. Найти способ нахождения сторон египетских треугольников;
2. Найти как можно больше  таких треугольников.

      В этом учебном году со второй четверти  я стала изучать новый предмет, который называется «Геометрия». Этот предмет мне очень нравится, и я решила исследовать одну интересную задачу: найти как можно больше египетских пифагоровых треугольников. Треугольники со сторонами 3,4, 5;  8,15, 17;     5, 12, 13 и 7, 24,25 являются прямоугольными, так как 172=82+152 или 289= 64+225;  289=289. Решению названных задач было посвящено мое исследование, которым я занималась 2 месяца. Я занималась поиском и сбором информации – изучала печатный материал, работала с материалом в Интернете, обработкой собранными данными.  А сколько таких египетских треугольников? Мне стало интересным то, каким путем можно получить таких треугольников, зная, что их очень мало, например, 6 или 7.  И я поставила перед собой эту проблему. Если найду хотя бы один способ  вычисления сторон  египетских   треугольников, то обязательно расскажу своим одноклассникам про эту новость. Или будем применять на уроке при изучении этой темы в 8 классе.

                                 Основная часть.

      Термин «Египетский треугольник» дал Пифагор, побывав по настоянию  Фалеса в Египте…

     А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения  прямого угла. Вот требуемый способ. Веревка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы верёвки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними  людьми составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 - гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым.

     Боюсь, что большинство  людей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлются на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако обратная теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей.

  Для своего исследования я вначале изучила вопрос о теореме Пифагора по школьным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрела в данных учебниках задачи по теореме Пифагора. В Интернете я ознакомилась   с практическим применением теоремы и историческими задачами. Вопрос о практическом применении теоремы Пифагора и о самом Пифагоре в школьном учебнике геометрии Атанасяна, по которому занимаюсь я,  не освещен. Упоминается лишь немного о биографии Пифагора и о том, как древние египтяне строили прямые углы с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей (3,4,5).                        

        Исследовав литературные источники, я не нашла в них вопроса о  способах нахождения египетских треугольников с помощью теоремы Пифагора. Поэтому  этот вопрос пришлось изучать самостоятельно.

          А  

         в         с2 =а2+в       C

        с

С                а                       В           а=3, в=4, с=5

                                  32+42=52,  9+16=25, 25=25

        Пусть,

1 ряд: а=3,в=4,с=5

2 ряд: а=6,в=8,с=10

3 ряд: а=9,в=12,с=15

4 ряд: а=12,в=16,с=20

5 ряд: а=15,в=20,с=25

Если вы заметили, первое число  каждый раз увеличивается на 3,  второе число -  на 4, а третье – на 5. Проверим, выполняется ли равенство по теореме Пифагора? 62+82=102  или 36+84=100 или 100=100-выполняется. Значит, треугольник со сторонами 6,8,10 является прямоугольным. Этот треугольник  - египетский. Так же можно проверить и пятый ряд: 152+202=252  или 225+400=625 или 625=625.

Таким образом, я нашла, какие числа стоят в 42 ряду: а=126, в=168, с=210 (1262+1682=2102). Каждый раз, увеличивая в таком порядке, дошла до 70 ряда чисел. Поступая, таким образом, можно найти сколь угодно таких египетских треугольников. Думала, думала, и задала себе вопрос: чему равны

числа  а, в и с  в двухтысячном ряду? Может, существует какая-то формула для решения этой проблемы?  В общем, я долго голову ломала и придумала такой способ: пусть а1=3, а2=6, а3=9 ит.д. Каждое число увеличивается на 3 и увеличенное число обозначим через букву t, t=3. Тогда а2=а1+t, а3=а1+t+t=а1+2t=3+2t, а4=3+3t, получается вот что:

а5=а1+4t

а6=а1+5t

……….

а10=а1+9t=а1+(10-1)t

а100=а1+99t=3+(100-1)*3=3+297=300. Значит, можно найти в100=в1+99*4=4+396=400, зная, что t=4. Так же найти с100, зная t=5:

с100=с1+99*5=5+495=500.

Проверим равенство: 3002 +4002=5002 или 90000+

+160000=250000 или 250000=250000.

Итак, я проверила по этой найденной формуле, чему  равны а, в и с в двухтысячном ряду?

а2000=а1+(2000-1)*3=3+1999*3=2+5997=6000

в2000=в1+(2000-1)*4=4+1999*4=4+7996=8000

с2000=с1+(2000-1)*5=5+1999*5=5+9995=10000

Проверим, выполняется ли равенство?

60002+80002=100002

                 36000000+64000000=100000000

               100000000=100000000.  Ура!!!  Я добилась своей цели: вывела формулу для нахождения сторон египетских треугольников.

Вывод.

 Таким образом,  египетских треугольников со сторонами  а, в и с – бесконечное множество, если аn=а1+(n-1)*t,  

 где t- увеличенные числа, а именно: 3,4 и 5.

 Заключение.

             Математическое исследование, проведенное мною, оказалось не только интересным, но и полезным. Своей работой я удовлетворена полностью, так как  эта задача для меня была повышенной сложности. Главное  не результат, а сам процесс этой работы (сбор информации, попытка самостоятельно  разобраться в незнакомой мне задаче).

Ур-ра! Я нашла  один способ нахождения сторон египетских треугольников!

Библиографический список.

1. Журнал МШ  №13, 2008 год, «Проектная деятельность»
2. Журнал МШ  №20, 2009 год, «Об организации исследовательской деятельности школьников»
3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина
4. «Геометрия 7-9», Москва «Просвещение» 2007 г.
5. «Геометрия 7-11», М, «Просвещение»  2003 г.

Приложение.

а    в    с        

                                                      135  180  225

3    4    5        138  184  230

6    8    10        141  188  235

9    12  15        144  192  240

12  16  20        147  196  245

15  20  25        150  200  250

18  24  30        153  204  255

21  28  35        156  208  260

24  32  40        159  212  265

27  36  45        162  216  270

30  40  50        165  220  275

33  44  55        168  224  280

36  48  60        171  228  285

39  52  65        174  232  290

42  56  65        177  236  295

42  56  70        180  240  300

45  60  75        183  244  305

48  64  80        186  248  310

51  68  85                                           189  252  315

54  72  90                                           192  256  320

57  76  95        195  260  325

60  80  100        198  264  330

63  84  105        201  268  335

66  88  110        204  272  340

69  92  115        207  276  345

72  96  120        210  280  350        

75  100  125        

78  104  130

81  108  135

84  112  140

87  116  145

90  120  150

93  124  155

96  128  160

99  132  165

102  136  170

105  140  175

108  144  180

111  148  185

114  152  190

117  156  195

120  160  200

123  164  205

126  168  210

129  172  215

132  176  220

Последний ряд:  210  280  350 - семидесятый ряд чисел, которых нашла способом сложения  чисел 3, 4 и 5.

Сотый ряд чисел: 300  400  500 –                      нашла по формуле.

Двухтысячный ряд чисел: 6000  8000  10000 –