Секреты аликвотных дробей

VI научно-практическая конференция студентов и школьников

«Актуальные вопросы естественных наук и пути их решения»

Секция: «Математика»

СЕКРЕТЫ АЛИКВОТНЫХ ДРОБЕЙ

Автор: Сафонова Мария,

обучающаяся 6 «Б» класса ГБОУ СОШ №2                                                                                                                 п.г.т. Усть-Кинельский

Научный руководитель: Фролова Елена Юрьевна,

почётный работник общего образования Российской Федерации,

учитель математики ГБОУ СОШ №2 п.г.т. Усть-Кинельский

п.г.т. Усть-Кинельский, 2020 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

«Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!»

Цицерон

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков в процессе деления добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Я познакомилась с дробями в пятом классе, в середине учебного года. Сначала было нелегко, но потом эта тема мне очень понравилась, и мне захотелось узнать о дробях намного больше. Стала искать дополнительный материал и натолкнулась на интересную задачу, в которой надо было вычислить сумму, состоящую из дробей с единицами в числителях. Эта задачка оказалась мне не по силам, но заинтересовала меня. Учитель математики объяснил мне, что речь идёт об аликвотных дробях.

Актуальность. Понятие аликвотных дробей не рассматривается в курсе школьной математики, но представляет большой интерес, так как позволяет найти ключ к решению большого класса нестандартных задач.  

Цель работы: познакомиться с аликвотными дробями и обосновать закономерность применения теории аликвотных дробей к решению математических задач.

В соответствии с поставленной целью в работе определены основные задачи:

•  отобрать научную литературу по данной теме;
•  найти информацию об аликвотных дробях;
•  узнать о происхождении аликвотных дробей;
•  получить алгоритмы  разложения дробей на аликвотные дроби;
•  научиться применять разложение дробей на аликвотные дроби при решении задач с практическим содержанием и нестандартных задач по математике.

Объектом исследования служат аликвотные дроби, а предметом исследования является изучение приёмов решения нестандартных задач, основанных на использовании теории аликвотных дробей.

 Характер исследования обусловил необходимость применения комплекса следующих общенаучных методов исследования: 

1. теоретический анализ литературы по данной проблеме;
2. сравнительный анализ;
3. наблюдение;
4. синтез;
5. моделирование.

Теоретическая значимость исследования заключается в применении теории аликвотных дробей к решению нестандартных задач.

Практическая значимость состоит в совершенствовании вычислительных навыков при выполнении действий с аликвотными дробями и возможном их использовании при подготовке  к математическим олимпиадам.  

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1. Происхождение аликвотных дробей

Немного из истории математики.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так. Её название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть, а затем – четверть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида  так называемые единичные дроби или аликвотные, то есть дроби с числителем, равным единице .

 Единичные дроби встречаются в дошедших до нас древнейших математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.

Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть представляли их в виде сумм дробей .

Например, ,    

И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей .

Например,   .

Для записи аликвотных дробей египтяне применяли иероглиф «Глаз Хора»

.    

Существовали и специальные символы для дробей  и  

Такие формы записи дробей использовались для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, из чего следует, что аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса представлена таблица, в которой все дроби вида  для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами аликвотных дробей. Возможно, египтяне стремились к тому, чтобы минимизировать знаменатели дробей в разложении, если даже для этого приходилось увеличивать число слагаемых . Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Египетские дроби использовались и в Древней Греции, и впоследствии  математиками всего мира, до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» . В его книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские. Выполненные им вычисления использовали десятичные и обычные дроби, которые со временем вытеснили египетские дроби.

Но, не смотря на это, интерес к аликвотным дробям не утрачен и сегодня, ведь не случайно в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

1.2. Понятие египетской дроби

В математике египетская дробь — это сумма нескольких дробей вида  (так называемых аликвотных дробей) . Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример:

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида , к примеру, египетскую дробь, записанную выше, можно переписать в виде дроби .

Для представления какого-либо числа в виде египетской дроби порой приходится проявлять незаурядную изобретательность. Скажем, число  выражается так:

.

В большинстве случаев для разложения некоторой правильной дроби в сумму различных аликвотных дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида . Например, зная разложения

дробь  можно легко представить в виде египетской дроби:

Нетрудно заметить, что разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, дробь  может быть представлена как сумма  и , либо как сумма  и .

1.3. Разложение аликвотных дробей по формуле

В процессе решения задач на разложение аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать такое разложение в виде формулы.

Полученная формула выглядит следующим образом:

  (1),

то есть любую аликвотную дробь можно представить суммой двух меньших аликвотных дробей.

Докажем равенство (1), преобразовав его правую часть.

Приведя дроби к общему знаменателю и сократив дробь, получаем требуемое.                    

Применим формулу (1) для разложения аликвотных дробей:

;

;

.

Перепишем равенство (1) иначе и получим следующую полезную формулу:

  (2),

то есть аликвотную дробь, знаменатель которой есть произведение последовательных натуральных чисел, можно представить разностью двух аликвотных дробей. Верно и обратное утверждение: разность двух аликвотных дробей, у которых знаменатели являются последовательными числами,  равна  их  произведению.

 или

 или

1.4. Представление единицы в виде суммы аликвотных дробей

Формула (1) применима в случае, когда требуется разложить аликвотную дробь на две аликвотные дроби. А как быть, если требуется аликвотную дробь представить суммой трёх, четырёх и более аликвотных дробей?

Продемонстрируем это на примере разложения единицы.

Истинность следующего равенства очевидна.

.

Для представления единицы суммой трёх различных аликвотных дробей дробь  разложим по формуле (1) еще на две аликвотные дроби:

Для разложения единицы на сумму различных аликвотных дробей четырьмя слагаемыми, распишем аликвотную дробь  по формуле (1) следующим образом:

 .

Представление единицы в виде суммы пяти аликвотных дробей проведём по тому же алгоритму.

.

Возможны и другие варианты разложения единицы на аликвотные дроби. Например,  или

        Подведём итог. Теперь любую аликвотную дробь возможно представить в виде суммы нескольких меньших аликвотных дробей по формуле (1). Осталось выработать алгоритм для правильной несократимой дроби, и хотя трудность представления произвольной дроби в виде египетской осложняется неоднозначностью подхода к разложению, попробуем решить этот вопрос.

1.5. Алгоритм разложения правильной несократимой дроби в сумму различных аликвотных дробей

Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби.

Рассмотрим алгоритм, позволяющий разложить несократимую правильную дробь  в сумму различных аликвотных дробей не более чем за (a - 1) ход.

Пусть b = ak + r, где 0 < r < a. В качестве первой дроби возьмем дробь с числителем a и знаменателем a(k+1), являющимся кратным числителя, большим знаменателя данной дроби. Вторую дробь найдём как разность между данной дробью и сокращённой первой. Получим:

Так как r > 0, то а – r < а. Значит, можно сделать вывод, что числитель второй дроби уменьшился. Следовательно, повторяя проделанную процедуру несколько раз, мы добьемся требуемого разложения, причем оно наступит не более чем через (а-1) ход.

В частности, все дроби вида  могут быть разложены в сумму аликвотных дробей за один ход.

,  

Приведем примеры разложений дробей по алгоритму в зависимости от числа шагов:

• разложение за один ход:

     ;

• разложение за два хода:

;

• разложение за три хода:

В последнем случае пришлось сделать максимальное число ходов.

Разложение по алгоритму оптимально в том смысле, что каждая дробь в разложении есть наилучшее приближение аликвотной дроби на соответствующем этапе разложения. Однако такое разложение имеет и недостатки. Например, из-за большого числа слагаемых или быстрого роста знаменателей процесс получается трудоёмким. Заметим, что есть и другое разложение дроби

В этом разложении и слагаемых меньше, и знаменатели маленькие. Из практических соображений оно более предпочтительно. Значит, несовершенство нашего алгоритма очевидно. Попробуем его модифицировать.

После первого шага алгоритма мы имели:

Далее применим алгоритм уже для дроби . Полученные разложения изменятся. Они будут иметь либо меньшие знаменатели, либо меньшее число слагаемых в разложении.

Вероятно, такие разложения более предпочтительны.

Замечание. В случае, когда числитель дроби нечетный, а знаменатель четный, можно на первом шаге выделить одну долю, после чего вторая дробь сократится, её числитель уменьшится, а, следовательно, сократится число ходов и уменьшится число слагаемых в разложении.

Например, .

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Решение задач с практическим содержанием

Перейдём к задачам, в которых требуется разделить какие-либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Их решение оформим в соответствии с теорией аликвотных дробей.

Задача 1. Требуется разделить 5 одинаковых яблок поровну между восемью мальчиками. Можете это сделать с наименьшим числом разрезов? 

Решение. 

Имеем:  (см. замечание).

Таким образом, каждый мальчик получил одну вторую и одну восьмую части яблока. Следовательно, четыре яблока надо разделить пополам и только одно яблоко разделить на 8 частей, сделав при этом 4 + 7 = 11 разрезов.

Ответ: 11 разрезов.

Задача 2. К школьному завтраку надо 13 арбузов одного размера разрезать на 42 одинаковые порции. Как это сделать, не разрезая ни одного арбуза больше чем на 7 частей? 

Решение. 

Для решения задачи нужно число 13 разделить на 42. Преобразуем дробь , раскладывая её на сумму таких аликвотных дробей, чтобы их знаменатели не превосходили семи:

Такое представление указывает на то, что каждый из шести арбузов надо разделить на 7 частей, а каждый из остальных семи арбузов разделить на 6 частей, тогда получится 42 части одного объема и 42 части другого.

Каждый ученик получит по одной части каждого из двух объемов, при этом будет соблюдено условие задачи.

Задача 3 (старинная задача). Разделите 7 хлебов между 8 людьми . 

Решение. 

Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 7 · 7 = 49 разрезов. Не самый лучший вариант решения. Используем знания об аликвотных дробях.

 (см. замечание, п. 1.5).

Значит, каждому человеку дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Для этого четыре хлеба режем пополам (4 разреза), два хлеба режем на четыре части (6 разрезов) и один хлеб – на восьмушки (7 разрезов). При таком раскладе получается 17 разрезов. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

2.2. Решение олимпиадных задач

Задачи на аликвотные дроби составляют обширный класс нестандартных задач, для решения которых нужно проявить не только сообразительность и смекалку, но и прочные знания о свойствах таких дробей. В этом разделе собраны олимпиадные задачи на вычисление различных сумм, состоящих из аликвотных дробей.

Задача 4. Вычислите сумму  .

Решение.

Воспользуемся формулой (2), представив каждое слагаемое данной суммы в виде разности аликвотных дробей:

    … , и так далее.

         Тогда исходная сумма примет вид:

=

        В результате приведения подобных слагаемых получим:

Ответ: 

Задача 5. Найдите сумму  .

Решение.

Применяя формулу (2), преобразуем данную сумму к виду:

Ответ: 0,09.

Задача 6. Вычислите .

Решение.

        Знаменатели дробей представим произведением последовательных натуральных чисел, а каждое слагаемое суммы – разностью двух аликвотных дробей.

Ответ: 0,9.

Задача 7. Вычислите сумму  .

Решение.

Каждую из дробей перепишем в виде разности аликвотных дробей:

.

        Подставим эти разности в исходное выражение, получим:

        Ответ:

        Задача 8. Найдите сумму  .

Решение.

Ответ:

Различные приёмы по осуществлению операций над аликвотными дробями позволяют отточить рабочее орудие математика – умение вычислять и преобразовывать выражения с дробями.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Работа над данной темой позволила овладеть новыми приёмами решения нестандартных задач с дробями. Впервые столкнувшись с необходимостью печатать дроби и дробные выражения, пришлось познакомиться с редактором формул и совершенствовать компьютерные навыки.

В ходе проведённого исследования сделаны выводы:

• первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби;
• любую единичную дробь можно представить суммой меньших аликвотных дробей;
• каждое рациональное число вида  может быть разложено на единичные дроби;
• разложение правильной несократимой дроби  не единственно;
• разложение дробей на две аликвотные дроби можно систематизировать в виде формулы (1);
• аликвотную дробь, знаменатель которой есть произведение последовательных натуральных чисел, можно представить разностью двух аликвотных дробей;
• формула (2) упрощает подход к решению олимпиадных задач по математике;
• аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

          Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов. Кто знал дроби, был в почете. Автор старинной славянской рукописи XV века пишет: «Несть се дивно, что … в целых, но есть похвально, что в долях …».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако аликвотные дроби продолжают представлять интерес для всех, кто увлекается математикой. Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач, решая которые можно совершенствовать вычислительный аппарат и повышать математическую культуру.

Поиск новых приёмов решения задач и вариантов доказательства обогащает нас знаниями, развивает инициативу, логическое мышление и математическую интуицию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.
2. Бредихин Б.М. Аликвотная дробь. //Математическая энциклопедия. Т.1. М. Советская Энциклопедия, 1977.
3. Гаврилова Т.Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.
4. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. «Удивительный мир чисел» – М: «Просвещение», 1999.
5. Кордемский Б.А. Развернем на минутку египетские папирусы. //Математика в школе, 1999, №1.
6. Левитас Г.Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА, 2007.
7. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики /Пер.с нем. М, Наука. 1978.
8. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.
9. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.
10. http://ru.wikipedia.org/wiki.