Исследовательская работа по теме: "Функционально-графический метод решения уравнений"

Слайд 1

Подготовила: Гребеникова Софья Викторовна 10 класс Руководитель: Товменко Светлана петровна учитель математики Функционально-графический метод решения уравнений

Слайд 2

Содержание 1.Суть функционального метода 2.Применение функционального метода при решении уравнений и неравенств 3.Решение задач из КИМ ЕГЭ по теме «Функционально-графический метод решения уравнений» 4.Заключение 5.Список литературы

Слайд 3

Суть функционального метода В ряде случаев точное решение уравнений f (x) = g (x) по изученным правилам затруднительно и ли даже невозможно. Однако бывает достаточно обратить внимание на свойства функций f и g , как сразу решается вопрос о наличии решений уравнения или выявляется наиболее рациональный приём его решения. Основу для таких утверждений даёт нам одно из определений уравнения, как равенства двух функций. Значит , суть функционального метода: использование свойств Функций или построение графиков для решения уравнений. Выделим следующие компоненты метода:

Слайд 4

Отыскание области определения функций Отыскание области значения функции Исследование функций на монотонность Исследование функций на чётность Соотнесение свойств функций, входящих в уравнение, с условием Построение графиков функций, входящих в уравнение Отыскание корней уравнения методом подбора Учитывая компоненты метода, выделим способы реализации: Доказательство отсутствия решения уравнения на основе использования области определения, области значения, свойств монотонности и т.д. Отыскание одного или нескольких корней уравнения с последующим доказательством Выяснение того, что область определения содержит один элемент и проверка этого значения на основании определения корня уравнения Преобразование функций, входящих в уравнение к виду, удобному для установления монотонности одной из частей уравнения (или обеих) либо оценки её множества значений Графическое решение уравнений

Слайд 5

Применение функционального графического метода при решении уравнений Графический метод решения уравнений На практике довольно часто оказывается полезным г рафический метод решения уравнений. Он заключается В следующем: пусть нам дано уравнение вида f(x)=g(x). Мы строим два графика y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абцисса точки пересечения (координата по Х) – это и есть решение нашего уравнения.

Слайд 6

Пример. Решить уравнение: √x+1=|x− 1| Решение. Построим графики функций, на одной координатной плоскости: y=√ x+1 и y=|x− 1| Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек. Ответ: х=0 и х=4.

Слайд 7

Функциональный метод Пример Решим уравнение х5 + 5х – 42 = 0 По виду это уравнение относится к числу тех, которые решаются методом разложения на множители. Этот метод требует значительных усилий. Представив это уравнение в виде: х5 = 42 – 5х и заметив, что функция у=х5 возрастает, а функция у=42-5х убывает, можно с делать вывод, что уравнение имеет не больше одного корня. Подбором выясняем, что этот корень х=2

Слайд 8

Применение области определения функции Пример Решений нет Ответ

Слайд 9

Пример Проверим, является ли корнем уравнения : ответ:х=0

Слайд 10

Использование области значений функции Пример нет решений Ответ: 

Слайд 11

Решение уравнений и неравенств с использованием области о пределения, области значения и монотонности функции Пример Подбором находим

Слайд 12

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности функции Пример 1. где убывающая  – убывающая, то уравнение по утверждению имеет хотя бы одно решение. Подбором выясняем

Слайд 13

Решение задач из КИМ ЕГЭ по теме «Функционально-графический метод решения уравнений» Найти все значения p , при которых уравнение /х-2/ + /х-3/ = р имеет хотя бы один корень Решение: Построим два графика функций: у= /х-2/ + /х-3/ и у=р Для построения графика функции у= /х-2/ + /х-3/ найдем нули выражений х-2=0 и х-3=0; х1=2,х2=3. Рассмотрим, как поведёт себя функция на промежутках: 1.(- ∞; 2) 2. [2;3 3.(3 ; + ∞)

Слайд 14

Заключение Выполнив работу, изучив теоретическую часть и изучив примеры решения уравнений, я пришла к выводу, что функциональный метод решения уравнений имеет несколько преимуществ, против других способов решения: упрощённое и ускоренное решения уравнений В современной жизни решение уравнений именно функционально-графическим методом является неотъемлемой частью выпускных и вступительных экзаменов в различные учебные заведения, поэтому очень важно понять и разобраться с этой темой ещё в школе. Для того, чтобы научиться решать уравнения функционально-графическим методом, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе .